نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2018: الرياضيات 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2018, filière MP, commun aux écoles d'ingénieurs marocaines (classes préparatoires). L'énoncé fait 4 pages, calculatrice interdite. C'est un problème en quatre parties : « À propos des zéros des fonctions de Bessel d'indice entier » (séries entières et équation de Bessel, lemmes d'analyse, zéros des solutions de y'' + ψy = 0, irrationalité des zéros). Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : repérez les deux fils du sujet. Le premier est l'identité G_n^(p) = G_n+p et l'équation x G_n'' + (n+1) G_n' = G_n, qui simplifient toute la partie 2. Le second est l'argument « entier non nul qui tend vers 0 » de la partie 4. Les parties 2.2 (relèvement) et 2.3 (intégration par parties itérée) sont des questions de cours indépendantes, à traiter rapidement pour prendre des points. Notation : on écrit G pour G_n quand n est fixé.

Partie 1 : solutions de l'équation de Bessel (B_n)

1.1. Changement de fonction v = √t u

Avec u = t^-1/2 v : u' = t^-1/2v' − ½ t^-3/2v et u'' = t^-1/2v'' − t^-3/2v' + ¾ t^-5/2v. En reportant :
t²u'' + tu' + (t² − n²)u = t^3/2 v'' + (¾ − ½ + t² − n²) t^-1/2 v = t^3/2 [ v'' + (1 + (1 − 4n²)/(4t²)) v ].
Donc v'' + σ_n v = 0 sur ]0,+∞[ : v est solution de (E_σn), non nulle car t^1/2 ne s'annule pas.

1.2.1. Relation de récurrence

Par dérivation terme à terme sur ]−R,R[ : t²y_n'' + ty_n' − n²y_n = Σ ((n+k)² − n²) a_k t^n+k = Σ k(2n+k) a_k t^n+k, et t²y_n = Σ_k≥2 a_k−2 t^n+k. L'équation donne, après division par tⁿ (t ≠ 0, puis continuité en 0) et unicité du développement en série entière :

• coefficient de t¹ : (2n+1)a₁ = 0, d'où a₁ = 0 ;
• coefficient de t^k+2 : (k+2)(2n+k+2) a_k+2 + a_k = 0.

1.2.2. Coefficients

a_k+2 = −a_k/((k+2)(2n+k+2)) : par récurrence a_2k+1 = 0. Pour les rangs pairs, a_2k+2 = −a_2k/(4(k+1)(n+k+1)), d'où a_2k = (−1)^k a₀ / (4^k k! (n+1)(n+2)…(n+k)) = a₀ n! (−1)^k / (2^2k k! (n+k)!).

1.3. Rayons de convergence

Pour Σ z^k/(k!(n+k)!), le rapport des coefficients vaut 1/((k+1)(n+k+1)) → 0 : R = +∞. Pour la seconde série (lacunaire), on applique d'Alembert à la série numérique : le rapport des termes vaut |z|²/(4(k+1)(n+k+1)) → 0 pour tout z : R = +∞.

1.4. J_n est solution de (B_n) sur ℝ

J_n(t) = Σ a_k t^n+k avec a₀ = 1/(2ⁿ n!), a_2k = (−1)^k/(2^n+2k k!(n+k)!), a_2k+1 = 0 : ce sont exactement les coefficients de 1.2.2, de rayon +∞ (1.3). Ils vérifient a₁ = 0 et la récurrence de 1.2.1 ; or le calcul de 1.2.1 montre que t²y'' + ty' + (t² − n²)y = (2n+1)a₁tⁿ⁺¹ + Σ_k≥2 (k(2n+k)a_k + a_k−2) t^n+k. Tous ces coefficients sont nuls : J_n est solution de (B_n) sur ℝ.

1.5. Première localisation des zéros

• 1.5.1. G_n(0) = 1/n! > 0. G_n est continue (série entière de rayon infini), donc il existe β > 0 tel que G_n > 0 sur ]−β, β[.
• 1.5.2. Pour t ≥ 0, tous les termes sont positifs, donc G_n(t) ≥ 1/n! > 0. Avec 1.5.1, G_n ne s'annule pas sur ]−β, +∞[ : ses zéros sont dans ]−∞, −β].
• 1.5.3. (t/2)ⁿ G_n(−t²/4) = (t/2)ⁿ Σ (−1)^k t^2k/(2^2kk!(n+k)!) = J_n(t). Si t > 0 et J_n(t) = 0, alors G_n(−t²/4) = 0, donc −t²/4 ≤ −β, soit t ≥ 2√β.

Partie 2 : résultats utiles

2.1.1. Dérivées de G_n

Série entière de rayon infini, donc C^∞ sur ℝ, et dérivable terme à terme :
G_n^(p)(x) = Σ_k≥p x^k−p/((k−p)!(n+k)!) = Σ_j≥0 x^j/(j!(n+p+j)!) = G_n+p(x).

2.1.2. ∫₀^x tⁿG(t)dt = xⁿ⁺¹G'(x)

On vérifie d'abord l'équation xG'' + (n+1)G' = G : xG'' + (n+1)G' = Σ_k≥1 k(k−1+n+1)x^k−1/(k!(n+k)!) = Σ_k≥1 x^k−1/((k−1)!(n+k−1)!) = G. Alors (xⁿ⁺¹G')' = xⁿ(xG'' + (n+1)G') = xⁿG. Les deux membres ont même dérivée et sont nuls en 0, d'où l'égalité. (Autre méthode : intégration terme à terme sur le segment, par convergence uniforme de la série entière.)

2.1.3.

(x^n+pG')' = x^n+p−1((n+p)G' + xG'') = x^n+p−1((n+p)G' + G − (n+1)G') = x^n+p−1(G + (p−1)G').

2.1.4. Polynômes A_p, B_p

p = 0 : A₀ = 0, B₀ = 1 (2.1.2). Hérédité : par 2.1.3 au rang p+2, t^n+p+1G = (t^n+p+2G')' − (p+1)t^n+p+1G'. Puis, par parties, ∫₀^x t^n+p+1G' = x^n+p+1G(x) − (n+p+1)∫₀^x t^n+pG. D'où :
∫₀^x t^n+p+1G = xⁿ⁺¹[ x^p+1G' − (p+1)x^pG + (p+1)(n+p+1)(A_pG + B_pG') ].
Donc A_p+1 = (p+1)(n+p+1)A_p − (p+1)X^p et B_p+1 = X^p+1 + (p+1)(n+p+1)B_p : coefficients entiers ; le terme −(p+1)X^p (resp. X^p+1) impose deg A_p+1 = p et deg B_p+1 = p+1. Exemple : A₁ = −1, B₁ = X + n + 1.

2.1.5. Valeurs en 0

A₁(0) = −1, puis A_p+1(0) = (p+1)(n+p+1)A_p(0) pour p ≥ 1 : A₀(0) = 0 et A_p(0) = −p!(n+p)!/(n+1)! pour p ≥ 1. De même B_p(0) = p!(n+p)!/n!. Toutes ces valeurs sont non nulles pour p ≥ 1.

2.1.6. Si G(x) = 0 alors G'(x) ≠ 0

Par l'absurde : G(x) = G'(x) = 0 (avec x ≤ −β < 0 d'après 1.5.2). Par (1), ∫₀^x t^p·h(t)dt = 0 pour tout p, où h(t) = tⁿG(t), donc ∫_x⁰ hP = 0 pour tout polynôme P. Weierstrass : il existe (P_k) qui converge uniformément vers h sur [x,0], d'où ∫_x⁰ h² = lim ∫ hP_k = 0. h est continue, donc h = 0 sur [x,0], ce qui contredit G > 0 sur ]−β, 0[. G'(x) ≠ 0. (Variante : Cauchy-Lipschitz pour xy'' + (n+1)y' − y = 0 sur ]−∞,0[.)

2.2. Théorème de relèvement

• 2.2.1. (g/f)' = (g'f − gf')/f² = 0 car g'f = f'g. Sur un intervalle, g/f est constante, égale à λ ∈ ℂ* puisque g ne s'annule pas : g = λf.
• 2.2.2. hh̄ = 1, donc h'h̄ + hh̄' = 2Re(h'h̄) = 0 : h'/h = h'h̄ est imaginaire pur, donc −i h'/h est réel, continu, et θ est réelle et de classe C¹, avec θ' = −i h'/h. Soit k = e^iθ : k'/k = iθ' = h'/h, donc h = λk par 2.2.1, et λ = 1 en t₀. Ainsi h = e^iθ.
• 2.2.3 (i). |f| = √(ff̄) où ff̄ = (Re f)² + (Im f)² est C¹ et strictement positive, et √ est C^∞ sur ]0,+∞[ : |f| est C¹.
• 2.2.3 (ii). h = f/|f| est C¹ de module 1, h(t₀) = e^iθ₀ : 2.2.2 donne l'existence. Unicité : si θ₁ et θ₂ conviennent, e^{i(θ₁−θ₂)} = 1, donc θ₁ − θ₂ est continue à valeurs dans 2πℤ, donc constante (TVI), nulle en t₀.

2.3. Intégration par parties itérée

Attention à deux coquilles de l'énoncé : la seconde fonction est g, et il faut lire f^(p−k) (et non f^(n−k)). Il faut aussi f et g de classe C^p. Formule : ∫_a^b f^(p)g = (−1)^p∫_a^b fg^(p) + Σ_k=1^p (−1)^k+1[f^(p−k)g^(k−1)]_a^b.
Récurrence sur p. p = 1 : c'est l'IPP ∫f'g = [fg] − ∫fg'. Hérédité (f, g de classe C^p+1) : on applique le rang p au couple (f', g) : ∫f^(p+1)g = (−1)^p∫f'g^(p) + Σ_k=1^p(−1)^k+1[f^(p+1−k)g^(k−1)]. Puis ∫f'g^(p) = [fg^(p)] − ∫fg^(p+1). Le crochet (−1)^p[fg^(p)] est le terme k = p+1 de la somme au rang p+1.

Partie 3 : zéros des solutions d'une équation d'ordre 2

3.1.

(E_φ,ψ) est linéaire, à coefficients continus sur I, et résolue en y'' : théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. Il existe une unique solution définie sur tout I pour chaque condition initiale (x₀, x'₀).

3.2.1. Zéros isolés

Si u(t₀) = u'(t₀) = 0, l'unicité donne u = 0 (la fonction nulle a les mêmes conditions initiales) : c'est absurde, donc u'(t₀) ≠ 0. Par continuité, u' garde un signe constant sur I ∩ ]t₀−η, t₀+η[, donc u y est strictement monotone et ne s'annule qu'en t₀.

3.2.2. Finitude sur un segment

Si Z_u ∩ [a,b] était infini, on en extrairait une suite de zéros deux à deux distincts. Par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite converge vers s ∈ [a,b], avec u(s) = 0 par continuité. Tout voisinage de s contient alors des zéros distincts de s, ce qui contredit 3.2.1. Z_u ∩ [a,b] est fini.

3.3. Équation (E_ψ) avec ψ > 0 sur I = [α,+∞[

• 3.3.1. ρ(t) = 0 équivaut à u(t) = u'(t) = 0, donc u = 0 : exclu. ρ > 0.
• 3.3.2. u'' = −ψu est continue, donc u est C² et f = u + iu' est C¹, à valeurs dans ℂ* (|f| = ρ). Par 2.2.3, il existe θ C¹ telle que f = ρe^iθ, soit u = ρcos θ et u' = ρsin θ.
• 3.3.3. f'/f = ρ'/ρ + iθ', donc θ' = Im(f'f̄)/ρ². Or f'f̄ = (u' + iu'')(u − iu') a pour partie imaginaire uu'' − u'² = −ψu² − u'². D'où θ' = −(ψu² + u'²)/(u² + u'²) < 0 : θ est strictement décroissante.
• 3.3.4 (i). Si ψ ≥ λ : θ' ≤ −(λu² + u'²)/(u² + u'²) ≤ −min(1,λ), puisque λx² + y² ≥ min(1,λ)(x² + y²).
• 3.3.4 (ii). θ(t) ≤ θ(α) − m(t − α) avec m = min(1,λ), donc θ → −∞. θ est continue et strictement décroissante, donc (TVI) θ est une bijection de I sur ]−∞, θ(α)].
• 3.3.4 (iii). Comme ρ > 0, u(t) = 0 équivaut à cos θ(t) = 0, soit θ(t) = π/2 + kπ. Donc Z_u = {θ⁻¹(π/2 + kπ) ; π/2 + kπ ≤ θ(α)}. θ⁻¹ est décroissante et tend vers +∞ en −∞. Si k₀ est le plus grand entier admissible, t_j = θ⁻¹(π/2 + (k₀ − j)π), j ∈ ℕ, est strictement croissante et tend vers +∞.

3.4.

u restreinte à [γ,+∞[ est une solution non nulle (sinon u(γ) = u'(γ) = 0 et u = 0), et sur cet intervalle ψ ≥ λ > 0. Par 3.3.4, ses zéros dans [γ,+∞[ forment une suite strictement croissante qui tend vers +∞. Dans [α,γ], il n'y a qu'un nombre fini de zéros (3.2.2). Rangés par ordre croissant, les zéros forment une suite qui tend vers +∞, strictement croissante à partir d'un certain rang.

3.5. Application à J_n

Sur ]0,+∞[, les zéros de J_n sont ceux de v(t) = √t J_n(t), qui est solution non nulle de v'' + σ_nv = 0 (1.1). σ_n(t) → 1, donc il existe γ > 0 tel que σ_n ≥ ½ sur [γ,+∞[. On choisit 0 < α < min(γ, 2√β) et on applique 3.4 sur [α,+∞[ (σ_n y est continue). Par 1.5.3, J_n n'a aucun zéro dans ]0, α[. Les zéros positifs de J_n forment une suite qui tend vers +∞, strictement croissante à partir d'un certain rang.

Partie 4 : irrationalité des zéros

4.1. Les polynômes Q_p et R_p

U_p = (1/p!) Σ_j=0^p C(p,j)(−1)^j X^n+p+j, donc L_p = U_p^(p) = Σ_j=0^p c_j X^n+j avec c_j = (−1)^j C(p,j) C(n+p+j, p) ∈ ℤ. Pour x ≠ 0, le changement s = xt et 2.1.4 donnent : ∫₀¹ G(xt)t^n+jdt = x^−(n+j+1)∫₀^x s^n+jG(s)ds = x^−j(A_jG(x) + B_jG'(x)). D'où (i) avec :
Q_p = Σ_j c_j X^p−jA_j, R_p = Σ_j c_j X^p−jB_j (coefficients entiers).

• (ii) p = 0 : L₀ = Xⁿ, donc Q₀ = A₀ = 0 et R₀ = B₀ = 1. Pour p ≥ 1, seul le terme j = p subsiste en 0 : Q_p(0) = c_pA_p(0) ≠ 0 et R_p(0) = c_pB_p(0) ≠ 0 (2.1.5, et c_p ≠ 0).
• (iii) deg(X^p−jA_j) ≤ p − j + j − 1 = p − 1 et deg(X^p−jB_j) = p.

4.2.

On applique 2.3 avec f = U_p et g(t) = G(xt), toutes deux C^∞ sur [0,1], avec g^(p)(t) = x^pG^(p)(xt). Les termes de bord font intervenir U_p⁽ⁱ⁾(0) et U_p⁽ⁱ⁾(1) pour 0 ≤ i ≤ p−1 ; ils sont nuls car 0 est racine d'ordre n+p ≥ p et 1 racine d'ordre p de U_p. Donc T_p(x) = (−1)^px^p∫₀¹ G^(p)(xt)U_p(t)dt.

4.3.

G^(p) = G_n+p (2.1.1), donc |G^(p)(y)| ≤ Σ|y|^j/(j!(n+p+j)!) ≤ Σ|y|^j/j! = e^|y|. Pour t ∈ [0,1] : |G^(p)(xt)| ≤ e^|x| et 0 ≤ U_p(t) ≤ 1/p!. D'où |∫₀¹ G^(p)(xt)U_p(t)dt| ≤ e^|x|/p!.

4.4.

Pour x ≠ 0 : Q_p(x)G(x) + R_p(x)G'(x) = x^pT_p(x), de module ≤ x^2pe^|x|/p! → 0 (terme général de la série exponentielle de x²). Pour x = 0, l'identité s'étend par continuité et donne 0 pour p ≥ 1. La suite tend vers 0.

4.5. Δ_p = Q_p−1R_p − Q_pR_p−1 est un monôme de degré 2(p−1) (p ≥ 1)

On élimine G' entre les deux identités : Δ_p(x)G(x) = x^p−1R_p(x)T_p−1(x) − x^pR_p−1(x)T_p(x) pour x ≠ 0. Par 4.2, T_p(x) = O(x^p) en 0, donc Δ_p(x)G(x) = O(x^2p−2). Comme G(0) ≠ 0, Δ_p(x) = O(x^2p−2). Or deg Δ_p ≤ (p−2) + p = 2p−2, donc tous ses coefficients de degré inférieur à 2p−2 sont nuls : Δ_p = cX^2p−2. Le coefficient est non nul :
c = lim Δ_p(x)/x^2p−2 = (−1)^p−1 R_p(0) G^(p−1)(0) ∫₀¹U_p−1 / G(0) ≠ 0,
car R_p(0) ≠ 0, G^(p−1)(0) = 1/(n+p−1)! > 0 et ∫U_p−1 > 0 (le second terme est O(x²)). Δ_p est un monôme non nul de degré 2(p−1).

4.6.

Si T_p−1(x) = T_p(x) = 0 avec x ≠ 0, le couple (G(x), G'(x)) est solution d'un système linéaire 2×2 homogène de déterminant Δ_p(x) = cx^2p−2 ≠ 0. Donc G(x) = G'(x) = 0, ce qui contredit 2.1.6. (T_p−1(x), T_p(x)) ≠ (0,0).

4.7. Les zéros de G_n sont irrationnels

Soit x un zéro de G (x ≤ −β, donc x ≠ 0). Supposons x = a/b avec a ∈ ℤ* et b ∈ ℕ*. Alors x^pT_p(x) = R_p(x)G'(x) et N_p = b^pR_p(a/b) ∈ ℤ (deg R_p ≤ p, coefficients entiers). Par 4.4, |N_pG'(x)| ≤ b^px^2pe^|x|/p! → 0. Comme G'(x) ≠ 0, N_p → 0, et un entier qui tend vers 0 est nul à partir d'un rang p₀. Donc T_p(x) = 0 pour tout p ≥ p₀, ce qui contredit 4.6. x est irrationnel.

4.8.

Si x ≠ 0 et J_n(x) = 0, alors par 1.5.3, G_n(−x²/4) = 0, donc −x²/4 est irrationnel (4.7). Ainsi x² est irrationnel, et x aussi (sinon x² serait rationnel).

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : séries entières (rayon, dérivation et intégration terme à terme, unicité des coefficients) ; équations différentielles linéaires d'ordre 2 (Cauchy-Lipschitz, zéros isolés, changement de fonction) ; relèvement C¹ d'une fonction à valeurs dans ℂ* ; théorème de Weierstrass ; Bolzano-Weierstrass ; formule de Leibniz et intégration par parties itérée ; la technique d'irrationalité « entier non nul majoré par une quantité qui tend vers 0 » (même schéma que pour e ou π). Sur la copie, citez toujours le numéro de la question utilisée : le barème le demande explicitement.