نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2020: الرياضيات - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques du Concours National Commun (CNC) 2020, filière MP, concours d'accès aux écoles d'ingénieurs marocaines après les classes préparatoires (CPGE). Le document (6 pages, intitulé « Énoncé de Maths CNC .mp.2020 ») comporte deux exercices d'analyse notés 4 points chacun (une intégrale à paramètre, une série de fonctions) et un problème d'algèbre linéaire : recherche des hyperplans de M_n(ℂ) stables par le produit matriciel. La durée et le coefficient ne figurent pas sur le scan. Type : exercices + problème. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les deux exercices sont des applications directes du cours (théorème de dérivation sous le signe ∫, critère spécial des séries alternées, dérivation terme à terme) : traitez-les en premier, en citant précisément les hypothèses de domination et de convergence uniforme. Dans le problème, chaque partie réutilise la précédente : la partie 1 (T_A : M ↦ Tr(AM) et le résultat « Ker T_A ⊂ Ker T_B ⇒ B = λA ») est l'outil de toute la partie 3. Attention, l'énoncé contient quelques coquilles (signalées ci-dessous) : corrigez-les explicitement sur votre copie plutôt que de « démontrer » un résultat faux.

Exercice 1 — Fonction définie par une intégrale

On pose f(x) = ∫_−∞^+∞ e^tx−t² dt.

1. Intégrabilité de t ↦ e^tx−t²

La fonction est continue sur ℝ. Pour x fixé, t² · e^tx−t² = exp(2 ln|t| + tx − t²) → 0 quand t → ±∞, donc e^tx−t² = o(1/t²) en ±∞ : elle est intégrable sur ℝ par comparaison à une fonction de Riemann intégrable.

2. f est de classe C^∞ et f^(p)(x) = ∫ t^p e^tx−t² dt

• h(x,t) = e^tx−t² est C^∞ en x, avec ∂^ph/∂x^p(x,t) = t^p e^tx−t², continue en x et en t.
• Domination locale : pour a > 0 et |x| ≤ a, |t^p e^tx−t²| ≤ φ_p(t) = |t|^p e^a|t|−t², indépendante de x et intégrable sur ℝ (même argument qu'en 1 : t²φ_p(t) → 0).
• Le théorème de dérivation sous le signe intégrale (Leibniz), appliqué pour tout p sur tout segment [−a, a], donne f ∈ C^∞(ℝ) et f^(p)(x) = ∫_ℝ t^p e^tx−t² dt (récurrence sur p).

3. f'(0) = 0

f'(0) = ∫_ℝ t e^−t² dt : intégrande impaire et intégrable sur ℝ, donc f'(0) = 0.

4. f(x) + x f'(x) = 2 f''(x)

Soit k(t) = t e^tx−t². Alors k'(t) = e^tx−t² + t(x − 2t) e^tx−t² = e^tx−t² + x t e^tx−t² − 2t² e^tx−t². Comme k(t) → 0 en ±∞, ∫_ℝ k'(t) dt = [k]_−∞^+∞ = 0, d'où, avec la question 2 : f(x) + x f'(x) − 2 f''(x) = 0.

5. x f(x) − 2 f'(x) = 0

Posons g(x) = x f(x) − 2 f'(x). Alors g'(x) = f(x) + x f'(x) − 2 f''(x) = 0 : g est constante sur ℝ, et g(0) = −2 f'(0) = 0. Donc x f(x) = 2 f'(x) pour tout x. (Autre méthode directe : intégrer d/dt(e^tx−t²) = (x − 2t) e^tx−t² sur ℝ.)

6. Expression de f

f est solution de l'équation linéaire y' = (x/2) y, donc f(x) = f(0) e^x²/4, avec f(0) = ∫_ℝ e^−t² dt.

Coquille de l'énoncé : l'intégrale de Gauss vaut ∫_ℝ e^−t² dt = √π (et non √2). Le résultat correct est donc f(x) = √π · e^x²/4. Avec la valeur admise dans l'énoncé on obtiendrait f(x) = √2 e^x²/4 ; la formule f(x) = e^x²/4 demandée est incompatible avec f(0) = ∫ e^−t² dt ≠ 1. Sur la copie : établir f(x) = f(0) e^x²/4, puis conclure avec la vraie valeur de f(0).

Exercice 2 — Série de fonctions et calcul de sa somme

u_n(x) = (−1)ⁿ⁺¹ e^−nx/n, pour n ≥ 1 et x ≥ 0.

1. Convergence uniforme sur [0, +∞[

Pour x ≥ 0 fixé, la série Σ u_n(x) est alternée et |u_n(x)| = e^−nx/n décroît vers 0 (produit de deux suites positives décroissantes, l'une tendant vers 0). Le critère spécial des séries alternées donne la convergence et la majoration du reste :

|R_n(x)| = |Σ_k≥n+1 u_k(x)| ≤ |u_n+1(x)| = e^−(n+1)x/(n+1) ≤ 1/(n+1).

Donc sup_x≥0 |R_n(x)| ≤ 1/(n+1) → 0 : convergence uniforme sur [0, +∞[. (La convergence n'est pas normale sur [0, +∞[ : ‖u_n‖_∞ = 1/n.)

2. Continuité de g sur [0, +∞[

Chaque u_n est continue sur [0, +∞[ et la convergence est uniforme sur cet intervalle : g est continue sur [0, +∞[ (théorème de continuité de la limite uniforme).

3. g est C¹ sur ]0, +∞[ et calcul de g'

• Les u_n sont C¹, avec u_n'(x) = (−1)ⁿ e^−nx.
• Sur [a, +∞[ (a > 0) : |u_n'(x)| ≤ e^−na, terme général d'une série géométrique convergente : Σ u_n' converge normalement donc uniformément sur tout [a, +∞[.
• Σ u_n converge simplement : par le théorème de dérivation terme à terme, g est C¹ sur tout [a, +∞[, donc sur ]0, +∞[.

g'(x) = Σ_n≥1 (−e^−x)ⁿ = −e^−x/(1 + e^−x), soit g'(x) = −1/(1 + e^x).

4. Expression de g

Une primitive de −e^−x/(1 + e^−x) est ln(1 + e^−x). Pour 0 < ε < x : g(x) − g(ε) = ln(1 + e^−x) − ln(1 + e^−ε). En faisant ε → 0 (continuité de g en 0, question 2) et avec g(0) = ln 2 : g(x) = ln 2 + ln(1 + e^−x) − ln 2, d'où

g(x) = ln(1 + e^−x) pour tout x ≥ 0.

Contrôle : c'est le développement ln(1 + y) = Σ (−1)ⁿ⁺¹ yⁿ/n avec y = e^−x ∈ ]0, 1].

Problème — Hyperplans de M_n(ℂ) stables par produit

Partie 1 — Un isomorphisme canonique de M_n(ℂ) sur son dual

• 1.1 M ↦ AM est linéaire et la trace est linéaire, donc T_A(αM + N) = Tr(αAM + AN) = αT_A(M) + T_A(N) : T_A est une forme linéaire.
• 1.2.1 Pour tout M : T_αA+B(M) = Tr(αAM + BM) = αT_A(M) + T_B(M), donc φ(αA + B) = αφ(A) + φ(B) : φ est linéaire.
• 1.2.2 Calcul clé : AE_i,j a pour seule colonne non nulle la j-ième, égale à la i-ième colonne de A, donc Tr(AE_i,j) = a_j,i. Si T_A = 0, alors a_j,i = 0 pour tous i, j, donc A = 0 : φ est injective. Comme dim M_n(ℂ) = dim M_n(ℂ)* = n², φ est un isomorphisme : pour toute forme linéaire ψ, il existe une unique A telle que ψ = T_A.
• 1.3 Un hyperplan est le noyau d'une forme linéaire non nulle ψ (supplémentaire de dimension 1, forme « coordonnée » associée). Par 1.2.2, ψ = T_A, et A ≠ 0 car ψ ≠ 0 : H = Ker T_A.
• 1.4 (Lire « λ ∈ ℂ » : coquille de l'énoncé.) Comme A ≠ 0, T_A ≠ 0 : on choisit M₀ avec T_A(M₀) = 1. Pour tout M, M − T_A(M)M₀ ∈ Ker T_A ⊂ Ker T_B, donc T_B(M) = T_A(M) T_B(M₀). Avec λ = T_B(M₀) : T_B = λT_A = T_λA, et l'injectivité de φ donne B = λA.
• 1.5 Tr(MN) = Σ_i Σ_k m_i,k n_k,i = Σ_k Σ_i n_k,i m_i,k = Tr(NM) : Tr(MN) = Tr(NM).
• 1.6 (Lire : A et B semblables, P ∈ GL_n(ℂ), A = PBP⁻¹.) Pour tout M : Tr(A · PMP⁻¹) = Tr(PBMP⁻¹) = Tr(BM) par 1.5. Donc PMP⁻¹ ∈ H_A ⇔ M ∈ H_B. Ainsi P H_B P⁻¹ ⊂ H_A, et tout N ∈ H_A s'écrit N = PMP⁻¹ avec M = P⁻¹NP ∈ H_B : H_A = P H_B P⁻¹.

Partie 2 — Ker T_A pour A ∈ M₂(ℂ) non nulle de trace nulle

• 2.1 A ≠ 0 ⇒ T_A ≠ 0 (injectivité de φ) : H_A = Ker T_A est un hyperplan de M₂(ℂ), de dimension 4 − 1 = 3.
• 2.2.1 R = diag(λ, μ) est semblable à A, donc λ + μ = Tr R = Tr A = 0, soit μ = −λ. Si λ = 0, alors R = 0 et A = PRP⁻¹ = 0, exclu. Donc μ = −λ ≠ 0.
• 2.2.2 Pour M = (a b ; c d) : RM = (λa λb ; μc μd), donc T_R(M) = λa + μd = λ(a − d). Comme λ ≠ 0 : M ∈ H_R ⇔ d = a, d'où H_R = { (a b ; c a) : (a, b, c) ∈ ℂ³ }.
• 2.2.3 E_1,2 et E_2,1 sont dans H_R (a = d = 0), mais E_1,2E_2,1 = E_1,1 = (1 0 ; 0 0) a a = 1 ≠ d = 0 : H_R n'est pas stable par produit.
• 2.2.4 Par 1.6, H_A = P H_R P⁻¹. Les matrices PE_1,2P⁻¹ et PE_2,1P⁻¹ sont dans H_A, et leur produit PE_1,1P⁻¹ n'y est pas (sinon E_1,1 ∈ H_R). H_A n'est pas stable par produit.
• 2.3.1 χ_A = X² − Tr(A)X + det A = X² + det A. Si det A ≠ 0, A a deux valeurs propres distinctes (les deux racines carrées de −det A), donc serait diagonalisable : ainsi det A = 0, χ_A = X² et A² = 0 (Cayley-Hamilton). Comme A ≠ 0, on choisit X avec AX ≠ 0 et on pose e₁ = AX, e₂ = X. Si ae₁ + be₂ = 0, en appliquant A : bAX = 0 donc b = 0, puis a = 0 : (e₁, e₂) est une base. Ae₁ = A²X = 0 et Ae₂ = e₁, donc avec P = (AX | X) on a A = PRP⁻¹, R = (0 1 ; 0 0) (α = 1 ; pour α ∈ ℂ* quelconque, prendre e₁ = αAX).
• 2.3.2 RM = (0 α ; 0 0)(a b ; c d) = (αc αd ; 0 0), donc T_R(M) = αc, et α ≠ 0 : H_R = { (a b ; 0 d) : (a, b, d) ∈ ℂ³ }, les matrices triangulaires supérieures.
• 2.3.3 Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur : H_R est stable. Pour M' = PMP⁻¹, N' = PNP⁻¹ dans H_A = P H_R P⁻¹ : M'N' = P(MN)P⁻¹ avec MN ∈ H_R, donc H_A est stable.

Partie 3 — Hyperplans stables de M_n(ℂ) : n = 2 nécessairement

H = Ker ψ (ψ ≠ 0) est un hyperplan stable par produit.

• 3.1.1 Par hypothèse (absurde) I_n ∉ H = Ker ψ, donc ψ(I_n) ≠ 0.
• 3.1.2 (i) Avec λ = ψ(M)/ψ(I_n) : ψ(M − λI_n) = ψ(M) − λψ(I_n) = 0, donc M − λI_n ∈ H, et par stabilité (M − λI_n)² ∈ H.
• (ii) (M − λI_n)² = M² − 2λM + λ²I_n (I_n commute avec M), donc λ²I_n − 2λM = (M − λI_n)² − M² ∈ H (sous-espace, M² ∈ H) : λ²I_n − 2λM ∈ H.
• (iii) 0 = ψ(λ²I_n − 2λM) = λ²ψ(I_n) − 2λ · λψ(I_n) = −λ²ψ(I_n). Comme ψ(I_n) ≠ 0 : λ = 0, soit ψ(M) = 0 et M ∈ H. Bilan : M² ∈ H ⇒ M ∈ H.
• 3.1.3 Pour i ≠ j : E_i,j² = δ_j,iE_i,j = 0 ∈ H, donc E_i,j ∈ H par 3.1.2.
• 3.1.4 Comme n ≥ 2, pour tout i il existe j ≠ i, et E_i,jE_j,i = E_i,i : produit de deux éléments de H, donc E_i,i ∈ H.
• 3.1.5 H contient toute la base canonique, donc H = M_n(ℂ) (en particulier I_n = Σ E_i,i ∈ H) : contradiction avec dim H = n² − 1. Donc I_n ∈ H. On écrit alors H = Ker T_A, A ≠ 0 (1.3).
• 3.2 Soit M ∈ H et N ∈ Ker T_A = H. Par stabilité MN ∈ H, d'où T_AM(N) = Tr(AMN) = T_A(MN) = 0 : Ker T_A ⊂ Ker T_AM. Par 1.4 (A ≠ 0), il existe λ_M ∈ ℂ avec AM = λ_MA, c'est-à-dire A(M − λ_MI_n) = O.
• 3.3 M = (M − λ_MI_n) + λ_MI_n avec M − λ_MI_n ∈ F : H ⊂ F + ℂI_n.
• 3.4 F est le noyau de l'application linéaire N ↦ AN : c'est un sous-espace vectoriel. (φ_A : X ↦ AX est un endomorphisme de M_n,1(ℂ), et non de M_n(ℂ) : coquille.) On pose Θ(N) = (X ↦ NX). Pour N ∈ F, A(NX) = (AN)X = 0, donc Θ(N) ∈ L(M_n,1(ℂ), Ker φ_A). Θ est linéaire ; injective car NX = 0 pour tout X impose N = 0 ; surjective : si u ∈ L(M_n,1(ℂ), Ker φ_A), la matrice N de colonnes u(e₁), …, u(e_n) vérifie Θ(N) = u et AN a pour colonnes Au(e_j) = 0, donc N ∈ F. Θ est un isomorphisme.
• 3.5 dim L(E, G) = dim E · dim G et, par le théorème du rang, dim Ker φ_A = n − rg(A). Donc dim F = n(n − rg A). Par 3.3 : n² − 1 = dim H ≤ dim(F + ℂI_n) ≤ n(n − rg A) + 1, d'où n · rg(A) ≤ 2.
• 3.6 A ≠ 0 donne rg A ≥ 1, donc n ≤ 2 ; avec n ≥ 2 : n = 2 (et rg A = 1). Conséquence : pour n ≥ 3, M_n(ℂ) n'a aucun hyperplan stable par produit.
• 3.7 Pour n = 2, H = Ker T_A avec A ≠ 0 et I₂ ∈ H, soit Tr A = T_A(I₂) = 0. Par 2.2.4, A ne peut pas être diagonalisable ; par 2.3, A est alors nilpotente non nulle (A² = 0, rg A = 1) et H = P T₂⁺ P⁻¹, où T₂⁺ est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. La réciproque est donnée par 2.3.3. Conclusion : les hyperplans de M₂(ℂ) stables par produit sont exactement les P T₂⁺(ℂ) P⁻¹, P ∈ GL₂(ℂ), c'est-à-dire les Ker T_A avec A nilpotente non nulle. Autrement dit, ce sont les ensembles {M ∈ M₂(ℂ) : M(D) ⊂ D}, où D est une droite de ℂ² (ici D = Im A = Ker A = ℂ · AX).

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : intégrales à paramètre (continuité et dérivation sous ∫ avec domination sur un segment, intégrale de Gauss ∫ e^−t² = √π) ; séries de fonctions (critère spécial des séries alternées avec majoration du reste, convergence uniforme ou normale, dérivation terme à terme, développements de ln(1 + x)) ; en algèbre, la dualité en dimension finie (hyperplan = noyau d'une forme non nulle, formes linéaires proportionnelles si les noyaux sont inclus l'un dans l'autre), la trace (Tr(MN) = Tr(NM), Tr(AE_i,j) = a_j,i), la réduction en dimension 2 (trace nulle et non diagonalisable ⇒ nilpotente) et le théorème du rang avec dim L(E, F) = dim E · dim F. Coquilles relevées dans cet énoncé retranscrit : √2 au lieu de √π (Ex. 1, Q6), « λ ∈ M_n(ℂ) » au lieu de λ ∈ ℂ (1.4), « GM_n » pour GL_n (1.6), φ_A endomorphisme de M_n,1(ℂ) (3.4).