نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بطنجة ENSA 2009 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Tanger (Université Abdelmalek Essaâdi), session du 24 juillet 2009. C'est un QCM de 25 questions à trois propositions (a, b, c), sur 4 pages, avec fiche-réponse, calculatrice non autorisée. Voici une correction proposée, avec le calcul de chaque question.

💡 Méthode : une seule réponse par question. Beaucoup de questions se règlent en une ligne (somme télescopique, série géométrique, changement de variable, dérivée d'une intégrale). Quand le calcul s'allonge, testez plutôt les propositions.

Suites et sommes (questions 1 à 6)

1) Réponse : b (x = 25). Les entiers de –22 à 22 se compensent deux à deux : leur somme est 0. Il faut ensuite ajouter 23 + 24 + 25 = 72. Donc L = {–22, …, 25} et x = 25.

2) Réponse : b (0). (–1)ⁿeⁿ / πⁿ⁺¹ = (1/π).(–e/π)ⁿ. Comme |–e/π| = e/π < 1 (e ≈ 2,72 < π ≈ 3,14), (–e/π)ⁿ → 0 : la limite existe et vaut 0.

3) Réponse : c. X_n = (1/e) Σ_k=1..n (2/e)^k, somme géométrique de raison q = 2/e avec 0 < q < 1. Donc
lim X_n = (1/e) . q/(1 – q) = (1/e) . (2/e) / ((e – 2)/e) = (1/e) . 2/(e – 2) = 2 / (e(e – 2)).

4) Réponse : a. Le côté de C₁ joint les milieux de deux côtés consécutifs de C₀ : il vaut √((a/2)² + (a/2)²) = a/√2. À chaque étape le côté, donc le périmètre, est multiplié par 1/√2. Les périmètres forment une suite géométrique de premier terme 4a et de raison 1/√2 :
S = 4a / (1 – 1/√2) = 4a√2 / (√2 – 1) = 4a√2(√2 + 1) = 4a(2 + √2).

5) Réponse : b (3/4). 1/(p² – 1) = ½ [1/(p – 1) – 1/(p + 1)]. La somme est télescopique :
w_n = ½ [1 + 1/2 – 1/n – 1/(n + 1)] → ½ × 3/2 = 3/4.

6) Réponse : c (I, II et III). Comme u_n > 0, le rapport u_n+1/u_n est positif, donc 0 < k < 1. Par récurrence, 0 < u_n ≤ u₀.kⁿ.

• (I) vraie : 0 < u_n ≤ u₀.
• (II) vraie : u₀.kⁿ → 0, donc u_n → 0 par encadrement.
• (III) vraie : (V_n) est croissante (on ajoute des termes positifs) et majorée, car V_n ≤ u₀(1 + k + … + kⁿ) ≤ u₀/(1 – k) ; elle converge.

Limites et intégrales (questions 7 à 17)

7) Réponse : b (π/18). On pose t = tg x, dt = dx/cos²x ; x = 0 → t = 0, x = π/3 → t = √3.
I = ∫₀^√3 dt/(9 + t²) = [ (1/3) arctg(t/3) ]₀^√3 = (1/3) arctg(√3/3) = (1/3)(π/6) = π/18.

8) Réponse : a (π). arctg(u) ~ u quand u → 0, donc arctg(πx)/x = π . arctg(πx)/(πx) → π (c'est aussi le nombre dérivé en 0 de x ↦ arctg(πx)).

9) Réponse : c (3). sin²(3x)/(3x²) = 3 . (sin 3x / 3x)² → 3 × 1² = 3.

10) Réponse probable : b (√2) ; le calcul exact donne 1. Si F est une primitive de la fonction continue f, alors (1/h)∫_π/4^π/4+h f(x)dx = (F(π/4 + h) – F(π/4))/h → F'(π/4) = f(π/4). Avec f(x) = 1/tg x tel que l'énoncé est imprimé, on obtient 1/tg(π/4) = 1, valeur qui ne figure pas parmi les propositions. La méthode, elle, est sans ambiguïté. La proposition b correspond au même exercice avec 1/sin x ou 1/cos x (1/sin(π/4) = √2) : c'est la plus vraisemblablement attendue ; a et c ne correspondent à aucune variante simple.

11) Aucune proposition ne correspond à l'énoncé tel qu'il est imprimé. Au voisinage de 0 : sin(√π.x) ~ √π.x et 1 – cos(πx) ~ π²x²/2. Donc
sin(√π.x) / (1 – cos πx) ~ 2 / (π√π . x), qui tend vers +∞ à droite de 0 et –∞ à gauche : le quotient n'a pas de limite finie. L'énoncé comporte donc vraisemblablement une coquille. Réponse probable : b (√π/π), qui est la limite de sin(√π.x)/(πx) = (√π/π) . sin(√π.x)/(√π.x) ; c'est la seule proposition qu'une variante simple du numérateur et du dénominateur permet d'obtenir.

12) Réponse : b (π√3/18). x² + 6x + 12 = (x + 3)² + 3. Donc
I = [ (1/√3) arctg((x + 3)/√3) ]_–2⁰ = (1/√3) [arctg(√3) – arctg(1/√3)] = (1/√3)(π/3 – π/6) = π/(6√3) = π√3/18.

13) Réponse : a (ln 3). Sur [1, e²], f > 0 et f est de la forme u'/u avec u = 1 + ln x :
Aire = [ln(1 + ln x)]₁^e² = ln(1 + 2) – ln(1 + 0) = ln 3.

14) Réponse : b (1/2). Avec u = ln x : ∫ dx/(x(ln x)³) = ∫ u^–3du = –1/(2u²). Donc
U_n = [–1/(2 ln²x)]_eⁿ = 1/2 – 1/(2 ln²n) → 1/2.

15) Réponse : a. g(1) = ∫₁¹ = 0. Si F est une primitive de u ↦ e^u², g(x) = F(x²) – F(√x), d'où
g'(x) = 2x.e^x⁴ – (1/(2√x)).e^x, et g'(1) = 2e – e/2 = 3e/2.
Tangente : y = g'(1)(x – 1) + g(1) = (3e/2)(x – 1).

16) Réponse : c. On pose t = √x, dt = dx/(2√x), soit dx/√x = 2dt :
∫ tg(√x)/√x dx = 2∫ tg t dt = –2 ln|cos t| + K = ln(1/cos²√x) + K.
(b donne seulement la moitié : il manque le facteur 2 ; a ne contient pas √x.)

17) Réponse : a (0). n/(3n – 1) → 1/3 ; pour n ≥ 1, 0 < n/(3n – 1) ≤ 1/2. Donc 0 < (n/(3n – 1))^2n–1 ≤ (1/2)^2n–1 → 0.

Algèbre linéaire (questions 18 à 23)

18) Réponse : c (seulement E, S et A). Trois vecteurs de IR³ forment une base si et seulement si leur déterminant dans la base B est non nul.

• E : vecteurs (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) ; dét = 1(0 – 1) – 1(1 – 0) + 0 = –2 ≠ 0 : base.
• N : i + j + k = i + (j + k) : famille liée, pas une base.
• S : (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3) ; dét = 6 ≠ 0 : base.
• A : (1,0,0), (0,2,–1), (0,1,0) ; dét = 1 × (2×0 – (–1)×1) = 1 ≠ 0 : base.

19) Réponse : a. S est un plan vectoriel de IR³ (une équation linéaire non nulle), donc de dimension 2 : une base contient exactement deux vecteurs de S non colinéaires. (1,0,1) : 1 + 0 – 1 = 0 ; (0,1,2) : 0 + 2 – 2 = 0 ; ils ne sont pas colinéaires. b contient trois vecteurs (et (1,0,2) n'est pas dans S : 1 – 2 ≠ 0) ; c n'en contient qu'un. (L'énoncé écrit « une base pour E » : il s'agit de S.)

20) Réponse : a (seulement E et A). Un sous-espace vectoriel contient le vecteur nul. (0,0,0) ∉ N car 0 ≠ 1, et (0,0,0) ∉ S car 0 ≠ 2. E (y = 0) et A (x + y + z = 0) sont définis par une équation linéaire homogène : ils sont stables par somme et par multiplication par un réel.

21) Réponse : b ((III) et (IV) vraies). A² – A = 3I_n, soit A(A – I_n) = 3I_n, donc A . [(1/3)(A – I_n)] = I_n. A est inversible, dét A ≠ 0 (III), et A^–1 = (1/3)(A – I_n) (IV). (I) est donc fausse, et (II) aussi : 3I_n – A ≠ (1/3)(A – I_n) en général.

22) Réponse : c. A² – A = I_n, soit A(A – I_n) = I_n. En prenant le déterminant : dét(A) . dét(A – I_n) = 1, donc dét(A – I_n) = 1/dét(A).

23) Réponse : a. Les coefficients diagonaux de A + I_n sont a_ii + 1 : Tr(A + I_n) = Σ(a_ii + 1) = Tr(A) + n.

Calcul intégral (questions 24 et 25)

24) Réponse : b (1 + ln 2). En dérivant les deux membres par rapport à x (h continue) : h(x) = ln(1 + x²) + x . 2x/(1 + x²). h(1) = ln 2 + 2/2 = 1 + ln 2.

25) Réponse : b. Deux intégrations par parties : I = ∫ sin(ln x)dx = x sin(ln x) – ∫ cos(ln x)dx = x sin(ln x) – x cos(ln x) – I. D'où 2I = x[sin(ln x) – cos(ln x)] et I = (x/2)[sin(ln x) – cos(ln x)] + K.
Vérification par dérivation : ½[sin(ln x) – cos(ln x)] + (x/2) . (1/x)[cos(ln x) + sin(ln x)] = sin(ln x).

Récapitulatif