نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش ENSA 2007 - الرياضيات

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UNIVERSITÉ CADI AYYAD Année : 2006/2007

Ecole Nationale Des Sciences Appliquées Session du : 25 Juillet 2007
Marrakech Responsable : I. OUASSOU

Concours d’entrée en 196 année du cycle préparatoire

Epreuve de mathématiques (durée 1h30min)

Remarques importantes
1) Les documentations, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
2) Parmis les réponses proposées elle n’y a qu’une qui est juste.
3) Cocher la case qui correspond à la réponse correcte sur la fiche de réponses.

4) Règles de notation :

Réponse juste = 1 point ; Réponse fausse = -1 point ; Sans réponse = 0 point.

Noter Bien Plus qu’une case chochée = -1 point.

Exercice 1

2. lim In(n +1) — In(n +2) n'existe pas.

3. lim sin(n) ‏تامعن‎ pas.

Exercice 2
On considère une suite de réels (u,).

1. Une suite (un) croissante est-elle nécessairement divergente vers +00?
2. Une suite (un) divergente vers +oo est-elle nécessairement croissante?
3. Une suite (un) bornée est-elle nécessairement convergente?

4. Une suite (up) croissante et non majorée diverge-t-elle nécessairement vers ‏مه‎

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Exercice 3

Soient 7 et z les deux nombres complexes solutions de l’équation 2? — 42 +6 ‏0ح‎
‎Dans le plan complexe muni du repère orthonormal (O;d,v), on considère les points My
et M, d’affixes respectives 7 et ‏وق‎ puis I le milieu du segment [M,, Ma] ٠

1. Le nombre 21 + z9 est imaginaire pur.

2. L'affire du point I est imaginaire pure.

3. Les droites (OI) et (M1M3) sont perpendiculaires.
4. Le triangle OM,M› n'est pas équilatéral.

Exercice 4
Soit P le polynôme défini par P(X) = 2X* + X? - 5X +2.

1
1. Les réels —2, 5 -1 sont solutions de l’équation P(x) = 0.

2. L'ensemble S des solutions réelles de l’équation 2e** + e* — 5e? +2 = 0 est S = {ln2,0}.

3. L'ensemble S des solutions réelles de l’équation ‏ص20‎ x)* + (Inx)? — 5Inx +2 = 0 est

4. L'ensemble S des solutions réelles de l’équation 2sin* x + sin? x — 5sinx +2 = 0 est
9 { 7 57 7 }

Exercice 5
D'un sac contenant 10 boules numérotées de 1 à 10, on extrait trois boules simul-
tanément.

1. La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y ait toutes celles du sac dont le

numéro est un multiple de 5 est 15

2. La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y en aît au plus une dont le numéro

est un multiple de 5 est

3

3. La probabilité pour que, parmi ces trois boules, ‏أ‎ y en ait au moins une dont le

numéro est un multiple de 5 est

15°

La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y ail toutes celles du sac dont le

1
numéro est un multiple de 3 est 00

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Exercice 6
Soient les suites numériques (Un)nen €t (Vn)nen définies pour tout n € N par ‏من‎ = 0,
Un+1 = Un — 1 et Un = 3".

1. La suite (v,) est géomtrique.
2. La suite (v,) est divergente.

1
3. Pour tout entier n › 0, 7 ‏وي‎ = vo +v +... + Un, lim ‏حوري‎ 5

خخ معنا
‎La suite (w,) définie pour tout n € N par w, = \n(v,) est géométrique.‏ .4

Exercice 7
Soit (un) la suite définie par ‏من‎ = —1 et pour tout entier n , Un+1 = 42 +1.

1. La suite (u,) est positive pour tout n € N.

. La suite (un) est croissante.

3. Yn EN, Un ‹ 16/2.

. La suite (un) est convergente.

Exercice 8
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cosxeŸ!7°°*,

7
2. Le point I (3 ; 0) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé.

3. La dérivée de f est f'(x) = (cos? x — sin æ) que

4. Une primitive F de f est définie par F(x) = ‏رطقم‎
‎Exercice 9 1

Soit la fonction f définie par f(x) = ln FH ) ;
‏م 2و‎
1. La fonction f est définie sur | — ‏2زل|1,1‎ +o[.

2. La fonction f peut s’écrire f(x) = In(x — 1) — In(a? — x — 2) sur ] — ‏2زل]1,1‎ +o|.
1 1

1
3 f'(x

4. La fonction f est croissante sur 2, +]

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Exercice 10
4 ; ps 1+22—1
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = = et f(0) = 0.

1. La fonction f n’est pas continue en 0.

1 + 22 41

3. lim f(æ) =
4. La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe C représentative de f.

Exercice 11

1. La fonction x + cos(4(x + 1)) est la dérivée de la fonction x — cos(x + 1) sin(x +1).

; 1 CNE ‏ا‎ sin x
2. La fonction x ‏مب ج‎ est la dérivée de la fonction x — In 2e i
sin* x cosx +1

3. La fonction x + — › 7 est la dérivée de la fonction x + ‏ما‎ (Va? - —x).

sin? 2x si n2 2

4. La fonction x + (sin 2x)e' est la dérivée de la fonction x + ‏ع‎

Exercice 12

On considère les deux intégrales I = ] sinxcos?xdx et J = / sin® dx.
0 Jo

1. 21 - f sin x cos” xdx.

2
2.7712 EE +1
3. 1 ‏امد‎
‎12
‎5v2—8
‏م‎ ES
12

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Exercice 13

Soit la fonction f de la variable réelle x définie sur R par f(x) = J :
0

1+2
1. La fonction f est paire.
2x

3. La fonction f est décroissante sur R.
4. Pour tout x €]1,+oo[, f(x) › ٠
Exercice 14

2

2 f cos |x|dæ = 0.

1 ue sin x
+ est une primitive de la fonction x +

3. La fonction x — 5 - sur l'intervalle
0 cos? x

551
2,21
1
4. La fonction x ‏ج‎ 3 (1 + x2)3 est une primitive de la fonction x + 2° V2? +1 sur R.

Exercice 15
Soit (O, 1, J, k) 1 e repère or thonon mal de l’espace. Soit P le plan de repère (A,d,v) où

1. Le vecteur 0 ‏1ح‎ +7 - 2k n’est pas normal au plan P.
2. L’équation cartésienne du plan P ‏ح 6+ 22 - رب ماف‎ ٠

3. La droite D passant par le point B(1,0, —1) et de vecteur directeur est définie par

1
4. Le plan P et la droite D se coupent au point (- 3

5 ls

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