نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش ENSA 2007 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 25 juillet 2007. Durée : 1 h 30 ; documents, calculatrices et téléphones interdits. Chaque exercice comporte quatre affirmations dont une seule est juste d'après la consigne ; barème : juste +1, fausse −1, sans réponse 0, plus d'une case cochée −1. Pour chaque exercice, on donne l'affirmation juste et on montre pourquoi les autres sont fausses.

💡 Méthode : une seule affirmation étant juste, un contre-exemple ou un calcul rapide qui élimine trois propositions suffit. Commencez par l'affirmation la plus facile à tester (une valeur, un signe, une parité).

Exercice 1 — Limites de suites

Affirmation juste : 3. sin n n'a pas de limite : c'est un résultat classique (si sin n → l, la formule sin(n + 1) − sin(n − 1) = 2 cos n sin 1 donne cos n → 0, puis sin(2n) = 2 sin n cos n → 0 impose l = 0, ce qui contredit sin²n + cos²n = 1).

• 1 : fausse ; (2n² − (−1)ⁿ n + 1)/(n + 3) ~ 2n → +∞ : la limite existe (infinie).
• 2 : fausse ; ln((n + 1)/(n + 2)) → ln 1 = 0.
• 4 : fausse ; |−0,7| < 1 et 0,7 < 1, donc la somme tend vers 0.

Exercice 2 — Suites monotones, bornées

Affirmation juste : 4. Une suite croissante non majorée dépasse tout réel A à partir d'un rang N (non majorée), et reste au-dessus ensuite (croissante) : elle tend vers +∞.

• 1 : non ; uₙ = 1 − 1/n est croissante et converge vers 1.
• 2 : non ; uₙ = n + 2(−1)ⁿ tend vers +∞ sans être croissante (u₀ = 2 > u₁ = −1).
• 3 : non ; uₙ = (−1)ⁿ est bornée et divergente.

Exercice 3 — Nombres complexes

Discriminant Δ = 16 − 24 = −8 : z₁ = 2 + i√2, z₂ = 2 − i√2.

• 1 : fausse ; z₁ + z₂ = 4, réel.
• 2 : fausse ; l'affixe de I est (z₁ + z₂)/2 = 2, réel.
• 3 : exacte ; (OI) est l'axe des réels, et M₁M₂⃗ a pour affixe z₁ − z₂ = 2i√2, imaginaire pur : (M₁M₂) est verticale, donc perpendiculaire à (OI).
• 4 : exacte elle aussi ; OM₁ = OM₂ = |z₁| = √6, mais M₁M₂ = 2√2 = √8 ≠ √6 : le triangle est isocèle, pas équilatéral.

Réponse probable : 3. Tel qu'il est imprimé, l'énoncé contient deux affirmations exactes (3 et 4), contrairement à la consigne. L'affirmation 3 est vraie pour toute paire de racines conjuguées ; la 4 semble être une coquille de l'énoncé (« est équilatéral » attendu comme affirmation fausse). Le jour de l'épreuve, cocher une seule case.

Exercice 4 — Polynôme et équations associées

P(1) = 2 + 1 − 5 + 2 = 0, donc P(X) = (X − 1)(2X² + 3X − 2) = (X − 1)(2X − 1)(X + 2) : racines 1, 1/2, −2.

Affirmation juste : 3. Avec X = ln x : ln x ∈ {1, 1/2, −2}, soit x ∈ {e, √e, 1/e²}.

• 1 : fausse ; P(−1) = −2 + 1 + 5 + 2 = 6 ≠ 0 (la racine est 1, pas −1).
• 2 : fausse ; avec X = eˣ > 0 : eˣ = 1 ou eˣ = 1/2 (−2 exclu), soit S = {0 ; −ln 2}, et non {ln 2 ; 0}.
• 4 : fausse ; sin x = 1/2 ou sin x = 1 donne une infinité de solutions (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ, π/2 + 2kπ) ; l'ensemble proposé n'en donne que trois.

Exercice 5 — Probabilités (tirage simultané de 3 boules parmi 10)

Nombre de tirages : C(10, 3) = 120. Multiples de 5 : {5, 10} ; multiples de 3 : {3, 6, 9}.

Affirmation juste : 3. P(aucun multiple de 5) = C(8, 3)/120 = 56/120, donc P(au moins un) = 64/120 = 8/15.

• 1 : fausse ; P(5 et 10 tirés) = C(8, 1)/120 = 8/120 = 1/15 (et non 2/15).
• 2 : fausse ; P(au plus un) = 1 − 1/15 = 14/15 (et non 13/15).
• 4 : fausse ; P(3, 6 et 9 tirés) = 1/120 (et non 1/60).

Exercice 6 — Suites uₙ et vₙ = 3^uₙ

(uₙ) est arithmétique de raison −1 : uₙ = −n, donc vₙ = 3−n = (1/3)ⁿ.

Affirmation juste : 1. v_n+1/vₙ = 3^{u_n+1 − uₙ} = 3⁻¹ : suite géométrique de raison 1/3.

• 2 : fausse ; vₙ → 0.
• 3 : fausse ; Sₙ = (1 − (1/3)ⁿ⁺¹)/(1 − 1/3) → 3/2, et non 1/2.
• 4 : fausse ; wₙ = ln vₙ = −n ln 3 est arithmétique (w₀ = 0, w₁ = −ln 3 : elle n'est pas géométrique).

Exercice 7 — uₙ₊₁ = uₙ² + 1, u₀ = −1

Affirmation juste : 2. un+1 − uₙ = uₙ² − uₙ + 1 = (uₙ − ½)² + ¾ > 0 : la suite est strictement croissante.

• 1 : fausse ; u₀ = −1 < 0.
• 3 : fausse ; u₁ = 2, u₂ = 5, u₃ = 26 > 16√2 ≈ 22,6.
• 4 : fausse ; une limite l vérifierait l = l² + 1, soit l² − l + 1 = 0, sans solution réelle (Δ = −3). Croissante et non convergente, elle tend vers +∞.

Exercice 8 — f(x) = cos x · e^{√(1 − cos²x)}

Remarque clé : √(1 − cos²x) = √(sin²x) = |sin x|, donc f(x) = cos x · e^{|sin x|}.

Affirmation juste : 2. cos(π − x) = −cos x et |sin(π − x)| = |sin x|, donc f(π − x) = −f(x), soit f(2 · π/2 − x) = 2 · 0 − f(x) : I(π/2, 0) est centre de symétrie.

• 1 : fausse ; f(π − x) − f(x) = −2f(x), non nul en général (par exemple en x = 0 : −2).
• 3 : fausse sur ℝ ; la formule n'est valable que là où sin x ≥ 0 (on a alors f = cos x e^{sin x}) ; là où sin x < 0, f = cos x e^{−sin x}.
• 4 : fausse pour la même raison : (e^{sin x})' = cos x e^{sin x} ne coïncide avec f que là où sin x ≥ 0.

Exercice 9 — f(x) = ln((x − 1)/(x² − x − 2))

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Signe de (x − 1)/((x − 2)(x + 1)) : négatif sur ]−∞, −1[, positif sur ]−1, 1[, négatif sur ]1, 2[, positif sur ]2, +∞[.

• 1 : exacte ; D_f = ]−1, 1[ ∪ ]2, +∞[.
• 2 : fausse ; sur ]−1, 1[, x − 1 < 0 et ln(x − 1) n'existe pas (l'écriture vaut seulement sur ]2, +∞[).
• 3 : exacte elle aussi ; sur chaque intervalle, f(x) = ln|x − 1| − ln|x + 1| − ln|x − 2|, d'où f'(x) = 1/(x − 1) − 1/(x + 1) − 1/(x − 2) (on peut le vérifier : (2x − 1)/((x − 2)(x + 1)) = 1/(x − 2) + 1/(x + 1)).
• 4 : fausse ; sur ]2, +∞[, f(x) → +∞ quand x → 2⁺ et f(x) → −∞ quand x → +∞ ; par exemple f'(3) = 1/2 − 1/4 − 1 < 0 : f est décroissante.

Réponse probable : 1. Comme pour l'exercice 3, l'énoncé imprimé contient deux affirmations exactes (1 et 3). L'affirmation 1 (domaine) est la plus directe ; cocher une seule case.

Exercice 10 — f(x) = (√(1 + x²) − 1)/x, f(0) = 0

Forme utile (quantité conjuguée) : f(x) = x/(√(1 + x²) + 1) pour x ≠ 0.

Affirmation juste : 4. En +∞, f(x) = x/(√(1 + x²) + 1) ~ x/x = 1 : la droite y = 1 est asymptote (au voisinage de +∞).

• 1 : fausse ; f(x) → 0/2 = 0 = f(0) : f est continue en 0.
• 2 : fausse ; pour x ≠ 0, f'(x) = (1 − 1/√(1 + x²))/x² = (√(1 + x²) − 1)/(x²√(1 + x²)) (signe « − », pas « + »), et la formule n'a pas de sens en 0.
• 3 : fausse ; en −∞, √(1 + x²) ~ |x| = −x, donc f(x) → −1.

Exercice 11 — Dérivées

Affirmation juste : 4. (esin²x)' = 2 sin x cos x · esin²x = sin 2x · esin²x.

• 1 : fausse ; cos(x + 1) sin(x + 1) = ½ sin(2x + 2), de dérivée cos(2x + 2) = cos(2(x + 1)), pas cos(4(x + 1)).
• 2 : fausse ; sin x/(1 + cos x) = tan(x/2), et (ln tan(x/2))' = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) = 1/sin x, pas 1/sin²x.
• 3 : fausse ; (ln(√(x² − 1) − x))' = (x/√(x² − 1) − 1)/(√(x² − 1) − x) = −1/√(x² − 1), sans le facteur x au numérateur.

Exercice 12 — Intégrales I et J

I = ∫₀^{π/4} sin x cos²x dx = [−cos³x/3]₀^{π/4} = (1 − (√2/2)³)/3 = (1 − √2/4)/3 = (4 − √2)/12.

I + J = ∫₀^{π/4} sin x (cos²x + sin²x) dx = [−cos x]₀^{π/4} = 1 − √2/2.

Affirmation juste : 2 (I + J = −√2/2 + 1).

• 1 : fausse ; sin x cos²x est impaire, son intégrale sur [−π/4, π/4] est nulle, alors que 2I ≠ 0.
• 3 : fausse ; I = (4 − √2)/12, et non (4 + √2)/12.
• 4 : fausse ; J = 1 − √2/2 − (4 − √2)/12 = (8 − 5√2)/12 > 0, alors que (5√2 − 8)/12 est négatif.

Exercice 13 — f(x) = ∫₀ˣ dt/(1 + t²)

f est la primitive de 1/(1 + x²) nulle en 0 : f(x) = arctan x.

Affirmation juste : 4. Pour tout x, arctan x < π/2 ≈ 1,57 < 2.

• 1 : fausse ; f est impaire (intégrande paire, borne inférieure 0).
• 2 : fausse ; f'(x) = 1/(1 + x²).
• 3 : fausse ; f' > 0 : f est strictement croissante.

Exercice 14 — Intégrales et primitives

Affirmation juste : 2. cos|x| = cos x (cos est paire), et ∫₋π^π cos x dx = [sin x]₋π^π = 0.

• 1 : fausse ; la fonction intégrée est positive, continue et non identiquement nulle : l'intégrale est strictement positive (elle vaut 5 + 4 + 5 = 14).
• 3 : fausse ; (1/cos²x)' = 2 sin x/cos³x ; une primitive de sin x/cos²x est 1/cos x.
• 4 : fausse ; ((1/3)(1 + x²)^3/2)' = x√(1 + x²), et non x²√(x² + 1).

Exercice 15 — Plan et droite dans l'espace

Un vecteur normal à P est n⃗ = u⃗ ∧ v⃗ = (1, 1, 0) ∧ (1, −1, 1) = (1, −1, −2).

Affirmation juste : 1. w⃗ = (1, 1, −2) vérifie w⃗ · u⃗ = 1 + 1 + 0 = 2 ≠ 0 : il n'est pas orthogonal à u⃗, donc pas normal à P (il n'est pas colinéaire à n⃗).

• 2 : fausse ; P : x − y − 2z + d = 0 passant par A(−1, 1, 2) : −1 − 1 − 4 + d = 0, d = 6, soit x − y − 2z + 6 = 0. L'équation proposée x + y − 2z + 6 = 0 n'est pas vérifiée par A (−1 + 1 − 4 + 6 = 2).
• 3 : fausse ; D : x = 1 + t, y = t, z = −1 − 2t. Alors y + x − 1 = 2t n'est pas nul pour tout t (le bon système est x − y − 1 = 0 et z + 2x − 1 = 0).
• 4 : fausse ; en reportant dans P : (1 + t) − t − 2(−1 − 2t) + 6 = 9 + 4t = 0, t = −9/4, point d'intersection (−5/4, −9/4, 7/2).