نموذج مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين - المباراة الوطنية المشتركة CNC - دورة 2013 - الرياضيات 1 - شعبة MP

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المملكة المغربية
‎ROYAUME DU MAROC‏
‎Fe:‏
‎RES‏
Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche
Scientifique de la Formation des Cadres
Présidence du Concours National Commun
Ecole Hassania des Travaux Publics
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’admission aux Etablissements de Formation d’Ingénieurs et
Établissements Assimilés
Session 2013
ÉPREUVE DES MATHÉMATIQUES I
Filière MP
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit
page de garde

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Concours National Commun - Session 2013 — MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit.
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec précision les | références |des questions abordées.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.
Quelques aspects de la transformée de Laplace
Ce problème est composée de quatre parties.La deuxième partie utilise essentiellement le résultat de la
question 1.2.3. de la première partie. La troisième partie est largement indépendante de la seconde et la
quatrième fait appel à la troisième ainsi qu'au lemme de Littlewood faisant l'objet de la section 1.3. et le
théorème de Césaro établi à la section 2.5. ; ces deux résultats n'interviennent que dans la quatrième partie.
Dans ce problème K désigne R ou C ; si ‏ل‎ est un intervalle de R, C(Z, K) désigne l’espace vectoriel
des applications continues de 7 dans K et C?(1,K) désigne l’espace vectoriel des applications de
classe C? de I dans ‏كا‎ p > 1.
+00
51 ‏م‎ 6 C(R*, K), on rappelle que l'intégrale Î (6) dt est dite convergente lorsque la fonction
0
2
+00
‏برج‎ Î ‏)م‎ dt possède une limite dans K lorsque # tend vers +00 ; on note alors [ gt) di la
0 0
valeur de cette limite. Lo
On rappelle aussi que Î g(t) dt peut converger sans que la fonction ‏م‎ soit intégrable sur 1 ٠
0
Toute fois, pour les fonctions positives, il y'a équivalence entre l’intégrabilité de la fonction sur un
intervalle et la convergence de son intégrale sur cet intervalle.
+00
Soit f 6 0) , © ; pour tout z € © tel que l'intégrale Î e7# f(t) dt converge, on note 7)/()2(
0
la valeur de cette intégrale. La fonction L(f) ainsi définie est appelée la transformée de Laplace ‏عل‎
‎Pour mener à bien cette épreuve, les candidats sont invités à manipuler les inégalités avec la
plus grande vigilance surtout quand les objets concernés sont desnombres complexes,
1#® partie
Résultats préliminaires
1.1.  Soitz€e C; on note ‏ه‎ sa partie réelle et y sa partie imaginaire : r = Re(z) et y = Im(z).
1.1.1. Montrer que la fonction t + e”* est intégrable sur R* si, et seulement si, Re(z) > 0.
112. Montrer que si 7 est un réel non nul, alors la fonction t ++ cos(yt) n’admet pas de
limite en +00. En déduire que la fonction ‏جر ع‎ e7# possède une limite dans © lorsque { tend vers
+00 si, et seulement si, y = 0.
+00
113. Montrer que l'intégrale Î e7% dt converge si, et seulement si, Re(z) > 0.
0
+
CO
1.2. Soient f 6 C(R*,C) et x € C tels que l'intégrale 1 et f(t) dt soit convergente, et soit
0
z un complexe tel que Re(z) > Re(29) ; on désigne par F la fonction définie par
F() = F ‏)لزانت‎ dt, 2 > 0.
Épreuve de Mathématiques I 1/5 Tournez la page 17

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Concours National Commun - Session 2013 - MP
1.2.1 Montrer que F est de classe C! et bornée sur R*.
12.2. Montrer que la fonction ++ e-(:-#)tF(4) est intégrable sur R*.
+00
123. À l'aide d'une intégration par partie, montrer que l'intégrale [ e7% f(t) dt converge
et que °
+00 +00
Î ‏وار‎ dt = (z— 20) Î eG-2)tp(t) dt.
0 0
1.3. Un lemme ‏عل‎ Littlewood : Soit y € 0200, +oo[, © une fonction de limite nulle ‏من‎
‎telle que la fonction x ++ z#"{(x) soit bornée sur ]0, ‏.إذه+‎ On prolonge Ÿ par continuité en 0 en
posant #(0) = 0, et on note
M = sup ‏.)"نز‎
‎150
‎1.3.1. Montrer, pour tout ‏ع‎ > 0 et tout €]0, 1], la formule
az
lez) — (a) = (a 1)aÿ'(e) + [ (ae - ‏)لون‎ dt.
2
1.3.2. En déduire, pour tout ‏ع‎ > 0 et tout ‏ب]1 ,0]€ به‎ l'inégalité
1- ©
su (| + M.
sup OI + ‏حي‎
> (2ه) العا
1-0
1.3.3. Montrer alors que la fonction ‏جر ع‎ xf'(x) est de limite nulle en 0+.
2ème partie
Exemples et propriétés de la transformée de Laplace
2.1. Ici fs € C(RT,C) désigne la fonction t + et, À € C. Préciser le domaine de définition de
L(f;} et donner l'expression de L(f\)(z) lorsque cette quantité est définie.
2.2. Abscisse de convergence
Montrer que, pour toute fonction f € C(R*, C), il existe un unique o € RU {—oo, +00} tel que
L(F)(2) soit défini si Re(z) > ‏ه‎ et ne le soit pas si Re(z) > 0. Si le domaine de définition de L(f)
n'est pas vide, on pourra considérer la borne inférieure dans RU {—co} de {Re(z) ; L(f) (2) existe }.
© est appelé l’abscisse de convergence de L(f) et est noté o(f).
2.3. Quelques propriétés
Soit f € C(R*,C) une fonction telle que o(f) > +oo. D'après ce qui précède, la transformée
de Laplace L(f) est définie sur le demi plan ouvert H(o(f)) = {z € C; Re(z) > c(f)} du plan
complexe, donc aussi sur l'intervalle ouvert jo(f), +oof.
Dans la suite du problème, on note aussi L(f) la restriction à l'intervalle Je(f}, +oo[ de la
transformée de Laplace de f. .
Dans les questions qui suivent, on pourra utiliser avec profit le résultat de la question 1.2.3, ci-dessus et
exploiter au mieux les propriétés de la fonction F définie en 1.2.
2.3.1. Montrer que l'application L(f) est continue sur sur le demi plan I(o(f)).
2.32. OnposeN, = ‏(لارة))‎ ER ; x > o(f}};il s’agit d’un ouvert de R? sur lequel on défini
l'application notée Ly : par:
Life, y) = L(f}(e + iv), (x, y) € Q(o()).
Épreuve de Mathématiques I 2/5 ‏جب‎

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Montrer que l'application L} est de classe 61 sur © et que
7 +00 L 8:
‏وماك‎ = - [7 tete (1 at, (en) ‏رقع‎
2.3.3. Montrer que la restriction à l'intervalle ]o(f), +oo[ de la transformée de Laplace de f
est de classe C® et donner, pour tout ‏م‎ 6 N*', une expression intégrale de la dérivée d'ordre ‏م‎ de
L(f), notée L(f)(). On pourra raisonner par récurrence sur p.
2.3.4. Montrer que l'application x ++ L(f)(x), définie sur l'intervalle [6 )7(, +co[, admet une
limite nulle en +.
1— cost
Z t> 0; on la prolonge par continuité en 0.
2.4. Soit w la fonction définie par : w(£) =
2.4.1. Préciser la valeur en 0 de la fonction et montrer que o{w) > 0.
2.4.2. Pour tout x > 0, calculer la dérivée seconde de l'application x ‏جك‎ L(w)(r) définie sur
l'intervalle ]0, +oof.
2.4.3. En déduire, pour tout x > 0, l’expression de (Z(w))'(x) puis celle de L(w)(x) à l’aide de
fonctions usuelles. On pourra utiliser la question 2.3.4. pour calculer les constantes d'intégration.
2.5. Un théorème de Césaro : Soit g € C(R*,R) une fonction à valeurs positives telle que
o(g) > 0 ; on suppose de plus que la fonction ‏جص ع‎ xL(g)(x) admet 1 comme limite en 0*.
2.5.1. Montrer que, pour tout x > 0 et toute fonction À continue par morceaux sur [0, 1] et à
valeurs réelles, la fonction ‏جاع‎ e-%#g{t)h(e-%?) est intégrable sur {0, ‏.]مه+‎ On pose alors
+00
AG) = 2 Î ‏)وا‎ di.
0
2.5.2. Si P est un polynôme à coefficients réel, on désigne également par P la restriction au
1
segment {0, 1] de la fonction polynomiale associée. Montrer que A, (P) tend vers Î P(t) dt lorsque
0
2 tend vers 07. On pourra exploiter la linéarité ‏ماعل‎
2.5.3. En donnant un énoncé précis du théorème utilisé, établir que la propriété précédente
s'étend aux fonctions continues sur ]0, 1] et à valeurs réelles.
2.5.4. On admet ici que le résultat de la question précédente s'étend aux fonctions continues
par morceaux sur [0, 1] et à valeurs réelles, et on considère la fonction h; définie sur ]0, 1] par:
0 si O<t<i,
hift)=< 1 .
10 8 1»:»1
1
Pour tout x > 0, exprimer l'intégrale Î ° g(t) dt en fonction de x et de A, (h1} puis en déduire
0
0
que la fonction a + L Î g(t) dé, définie sur ]0, +oo, tend vers 1 lorsque a tend vers +00.
0
3ème partie
Comportement au voisinage de l'origine
Soit f € C(R*,C) ; on s'intéresse dans cette partie à l'étude du comportement au voisinage de 0+ de la
transformée de Laplace L(f) en rapport avec l'existence de L(f)(0).
Épreuve de Mathématiques I 3/5 Tournez la page S.V.P.

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3.1. Dans cette question on suppose que L(f)(0) existe, ce qui est équivaut à la convergence de
+00
l'intégrale f{t) dt ; on en déduit que o{f) > 0.
0
+00
3.1.1. Montrer que, pour tout x > 0, L(f){x) — L(f)(0) ‏ع ح‎ [ (F() — L(f)(0))e-** dt, où
0
F désigne la primitive de f qui s’annule en 0.
312. En déduire que L(f)}(x) admet L(f)(0) comme limite lorsque z tend vers 07. On pourra
exploiter le fait que im F(t) = L(f)(0) puis découper l'intégrale précédente en deux.
co
3.2. Montrer par un exemple que la fonction L(f} peut être définie sur ]0, +oo[ et posséder une
limite dans © en 0* sans que l'intégrale de f sur R* soit convergente.
Dans la suite de cette partie, on se propose d'étudier une condition suffisante d'existence de L(f)(0)
lorsque la fonction L(f) possède une limite dans © en 01) théorème de Tauber).
3.3. Théorème de Tauber
Dans cette question, on suppose que la fonction ‏بجر‎ tf(t) tend vers 0 en +00.
3.3.1. Justifier que o(f) > 0
3.3.2. Montrer que la fonction a > À Î 1j (#)1 dt, définie sur 10, +oo[, tend vers 0 en +co.
0
3.3.3. Montrer que, pour tout réel u, 1 — ‏اا‎ > u.
3.3.4. Montrer que, pour tous ‏ع‎ et a réels strictement positifs, on a
+
a
اماك ]جع اوناك ] >
‎[rw‏ - مما
‎puis en déduire que
‏1 4
املا موجخ+ افارا | «>
‎jeunes - fre
‎3.3.5. Onsuppose de plus que la fonction L(f) possède une limite y € Cen0*. En choisissant
convenablement x en fonction de a, déduire de ce qui précède que L(f)(0) existe et vaut u.
‎aime partie
Une généralisation du théorème de Tauber dans le cas réel
‎Dans cette partie, on prend f dans C(R*, R) et on suppose que la fonction ‏ا‎ tf(t) est bornée
sur {0,+oo[. On pose M = sup|tf(t)| et on désigne par f1, f2 et fa les fonctions définie par :
1>0
‎h(s) fe)
‎fi(x) = F tft) dt, æ>0, fax) = ‏حك‎ 0 | et fa(x) = << 0.
‎4.1.  Justifier que les fonctions f2 et fa sont continues sur ]0,+oo[ et montrer qu’elles sont
prolongeables par continuité en 0. On pourra utiliser le théorème de Rolle pour traiter f3.
‎Dans la suite, on notera encore f2 et fa les prolongements par continuité ainsi obtenus.
4.2. Montrer que, pour tout x > 0, la fonction t + ‏*06-2)و/‎ admet 0 comme limite en +00.
‎Épreuve de Mathématiques 1 4/5 ‏ب‎

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4.3. Montrer que, pour toutz > 0, les fonctions t + ‏0)و/‎ 6-25 ett ‏جر‎ fa(t}e ** sontintégrables
sur R+. En particulier o(f2) > 0 et (fs) > ©
4.4. Montrer, pour tout triplet (u,v,x) de réels > 0, la relation
0 20 0
Î (be dt = fa(u)e ‏مووز - تت‎ Î (De? di + Î faltje % dt,
0 u u
puis en déduire que a(f) <0etque L(f)(x) = zL(f2)(x) + L(fs)(x), x > 0.
On suppose désormais que la fonction L(f)admet 0 comme limite en 0*.
4.5. On va montrer ici que la fonction £ ++ tfa(t) tend vers 0 en ‏.ممج‎ On note ‏و‎ la fonction
définie par g(t) = 1- #@
a +> 0 où M = sup|tf(t)|. Il est clair que g 6 C(R*,R), ‏و‎ > Det o(g) » 0.
80
4.5.1. Montrer, en utilisant le lemme de Littlewoode, que la fonction x ++ x(L(f))'(x) est de
limite nulle en 0*.
4.5.2. En déduire que la fonction x ++ zL(g)(x) admet 1 comme limite en 0*.
4.5.3. Montrer alors que la fonction x ++ xf3(x) tend vers 0 en +oo. On pourra utiliser
Césaro.
4.6. Montrer que la fonction x ++ æL(f2)(x) admet 0 comune limite en 01. On pourra utiliser
en le justifiant le fait que f2(x) ‏ما‎ 0.
4.7. En déduire que L(f3}(x) >. 0 puis montrer que L(f3)(0) existe et vaut 0.
‏ادج‎
4.8. Montrer alors que L(f}(0) existe et vaut 0. On pourra effectuer une intégration par partie.
4.9. On considère ici une fonction # € C(R*,R) telle que la fonction t + #g(t) soit bornée
sur [0, +co[ et on suppose de plus que la fonction L(é), définie sur ]0, +cof, admet en 07 une limite
‏نا‎ € R'. Montrer que L(@)(0) existe et vaut y.
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques 1 5/5 FIN