نموذج مباراة ولوج سلك المهندسين: الإحصاء والمعلوميات القرارية (SID) - كلية العلوم والتقنيات طنجة - جامعة عبد المالك السعدي - دورة 23 يوليوز 2011 - التحليل

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UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI 23 Juillet 2011
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES Filière « SID »
TANGER
Concours: Cytle Ingénieur
Epreuve d'Analyse (Durée : 1 h 30 min)
Exercice 1 : [A] Distinguer le vrai du faux (justifier votre réponse). Soit ( u, ) une suite réelle.
a}- Si lim up L alors il existe ‏كم‎ N tel que 4, <0 ‏عسمم‎ tout ‏حم‎ "0
- Sili 7 1 - }=0.
b)- Si lim u, ste R , alors lim G&, +1 u,) 0
c)- Si &, 4174 ) converge vers 0, alors ( ‏اا‎ ( possède une limite finie.
]13[ @- Montrer que pour tout entier ‏صر‎ >0 : 7 <arctg(n+1l)-arcign<
nf +h+2 n° +1
(ii)- On pose 5, =1+ 1 +
. Montrer que pour tout n > 0:
n° +1
5, #17 1> arcig(n+1) < 5, :
7 7
En déduire que la suite ( Sn ‏وح‎ 6 limite 5 qui vérifie 3 < S <1+ 2
Exercice 2 : a)- En effectuant le DEL, (0) de: f(x) = Log , montrer que f se
2 + ند
prolonge par continuité en 0 et que son prolongement est dérivable en zéro.
b)- Soit a un nombre réel. Trouver une fonction simple équivalente en + à la fonction f
définie par f(x) = Jr.
ax
Exercice 3 : (i) Soit a et b deux réels. Donner le DL, (0) de f(x) = log ie + 5 x
+bx
(Gi) Soit f la fonction définie, lorsque cela a un sens, par: f(x) = "| +6x—10) Log it ; .
X+
Montrer qu’elle admet un développement asymptotique lorsque x tend vers l’infini, de la
forme f(x) =ax+/B+ - + ‏طل»‎ où &, Bet y sont des réels non nuls.
X X
En déduire le comportement de la courbe représentative dè f à +00 et à —æ. (Asymptote,
position par rapport à l’asymptote et dessin).
: : (a —€
Exercice 4 : Soit = Î ‏نس‎ dt. a- Montrer que I est convergente.
1
0
‏ذا‎ —2t —i
LI: : we —e 2e ‏ع‎
‎b- Pour ‏ع‎ > 0, établir, en posant x =2t, la relation : C ‏تت‎ di = £ Ps dt.
t .
c- En déduire la valeur de I.