نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني) 2006 - الرياضيات (الصيغة العربية)

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات في مباراة ولوج كلية الطب بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني)، دورة 2006. عدد الأسئلة: 6 (مقاربات دالة جذرية، عائلة دوال لوغاريتمية، مجموعة نقط في المستوى العقدي، معادلة من الدرجة الرابعة، متتاليتان، احتمالات). يُجاب في خانات؛ ما يلي تصحيح مقترح مع الخطوات.

💡 في عائلات الدوال fm ابحث دائماً عن الحد الذي يضرب m: النقطة المشتركة بين كل المنحنيات هي التي ينعدم فيها هذا الحد.

I) مقاربات المنحنى C_f

f(x) = (x² − 3x + 3)/(2x − 2)، معرّفة على ℝ \ {1}. بالقسمة الإقليدية: x² − 3x + 3 = (2x − 2)(x/2 − 1) + 1، إذن: f(x) = x/2 − 1 + 1/(2x − 2).

• limx→1 |f(x)| = +∞ (البسط يؤول إلى 1) ⇐ المستقيم x = 1 مقارب عمودي.
• limx→±∞ [f(x) − (x/2 − 1)] = lim 1/(2x − 2) = 0 ⇐ المستقيم y = x/2 − 1 مقارب مائل بجوار +∞ و −∞.

II) الدالة fm(x) = (x² − 4)/4 − (m/2)·ln(x/2) على ]0, +∞[

1. limx→+∞ fm(x) = +∞ مهما كان m، لأن ln x / x² → 0 فيغلب الحد x²/4.
2. بجوار 0⁺: (x² − 4)/4 → −1 و ln(x/2) → −∞:
   • m < 0: −(m/2)·ln(x/2) → −∞ ⇐ lim = −∞.
   • m = 0: f0(x) = (x² − 4)/4 ⇐ lim = −1.
   • m > 0: lim = +∞.
3. f'm(x) = x/2 − m/(2x) = (x² − m)/(2x).
4. جداول التغيرات:
   • m < 0: x² − m > 0 ⇐ f'm > 0: f_m تزايدية قطعاً على ]0, +∞[ من −∞ إلى +∞.
   • m = 0: f'0(x) = x/2 > 0: f₀ تزايدية قطعاً على ]0, +∞[ من −1 إلى +∞.
   • m > 0: f_m تناقصية على ]0, √m] (من +∞) وتزايدية على [√m, +∞[ (إلى +∞)، وتقبل قيمة دنيا fm(√m) = (m − 4)/4 − (m/4)·ln(m/4).
5. النقطة المشتركة لا تتعلق بـ m ⇐ ln(x/2) = 0 ⇐ x = 2 و y = (4 − 4)/4 = 0: A(2, 0).

III) المجموعة E

نضع A(3 − 4i) و B(−6). الشرط |Z − (3 − 4i)| = |Z − (−6)| يعني AM = BM: E هي واسط القطعة [AB].
معادلته: (x − 3)² + (y + 4)² = (x + 6)² + y² ⇐ −6x + 8y + 25 = 12x + 36 ⇐ 18x − 8y + 11 = 0.

IV) المعادلة Z⁴ − 4Z³ + 14Z² − 36Z + 45 = 0

نضع Z = iy (y ∈ ℝ*)، فنحصل على y⁴ + 4iy³ − 14y² − 36iy + 45 = 0، أي: الجزء الحقيقي y⁴ − 14y² + 45 = 0 والجزء التخيلي 4y³ − 36y = 0. الثاني يعطي y² = 9، ويحقق الأول (81 − 126 + 45 = 0) ⇐ Z = 3i أو Z = −3i.
إذن Z² + 9 يقسم الحدودية: Z⁴ − 4Z³ + 14Z² − 36Z + 45 = (Z² + 9)(Z² − 4Z + 5).
Z² − 4Z + 5 = 0: Δ = 16 − 20 = −4 = (2i)² ⇐ Z = 2 ± i.

Z1 = 3i ، Z2 = −3i ، Z3 = 2 + i ، Z4 = 2 − i

V) المتتاليتان

1. Vn+1 = (Un+1 − 2)/(Un+1 + 2) = (Un + 4 − 2Un − 2)/(Un + 4 + 2Un + 2) = (2 − Un)/(3(Un + 2)) = −(1/3)·Vn
   ⇐ (V_n) متتالية هندسية أساسها −1/3 وحدها الأول V0 = (0 − 2)/(0 + 2) = −1.
2. Vn = −(−1/3)n.
3. |−1/3| < 1 ⇐ lim Vn = 0. من Vn(Un + 2) = Un − 2 نستنتج Un = 2(1 + Vn)/(1 − Vn) ⇐ lim Un = 2.

VI) الاحتمالات: البحث عن مكتب الكتابة

الطابق يضم 4 أبواب متماثلة، واحد منها فقط باب الكتابة. نعتبر أن الشخص يجرّب الأبواب واحداً بعد الآخر دون إعادة فتح باب سبق تجريبه، و A_k هو الحدث «يجد باب الكتابة في التجربة رقم k (لأول مرة)».

1. P(A1) = 1/4
2. P(A2) = (3/4) × (1/3) = 1/4
3. P(A3) = (3/4) × (2/3) × (1/2) = 1/4
4. P(A4) = (3/4) × (2/3) × (1/2) × 1 = 1/4

إجابة مرجّحة: النص لا يحدّد إن كان الشخص يعيد تجريب الأبواب. إذا كان يختار في كل مرة باباً عشوائياً من الأربعة (مع الإحلال) فإن P(Ak) = (3/4)k−1 × 1/4، أي 1/4 ، 3/16 ، 9/64 ، 27/256.