نموذج مباراة ولوج المدرسة الكبرى للمعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE 2014 - الرياضيات 2

استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.

Groupe ISCAE
COURS D'ACCES 4 LA GRANDE ECOLE
ANNEE 2014
MATHEMATIQUES 1
DUREE :3 heures
1.11 n’est fait usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matérie
électronique est interdite.
2. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
3. Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints.
4. Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuée en complément di
sujet.
5. Il ne sera admis qu'une seule réponse par question.
6. Le barème suivant sera adopté:
Réponse correcte: +2
Réponse fausse: -1
Pas de réponse: 0
117 a 20 questions totalement indépendantes.
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

Question1: Soit X une variable aléatoire réelle ayant une densité de probabilité f définie par:
ٍ fi x <0 |
fois ‏لط‎ où c est une constante (éventuellement à calculer).
LE SOL si 0
La variance de X est égale à:
1 1 2
A) — B) — C)1—— D)1 EVAutre réponse
2 27 7
Question 2: Soit & un réel non nul. On considère la suite (p,),,, définie par: VrelN*, p,= nn. La
n—1l)!
suite (p,),., définit une loi de probabilité pour à égal à: 0
A) 2e+l : B) 22-1: © In(e-2) ; D) In(d-e) ; E) Autre réponse
Question 3 : Soit / la fonction définie sur RxR par:
vé y)ER, f(x y)= ‏الات‎ :
01656016 un extremum :
A) local en A(1,0); Bjlocalen A(-1,0); C) global en A(-1,0); D) global en A(1,0):
E) Autre réponse
Question 4 : Pour toute matrice M de M, (R) , on note ‘A{ la transposée de M, et @ l'endomorphisme de
M, (R) qui à toute matrice M de Âf,(R) associe
o(M)=M+'M.
La dimecsion du sous-espace vectoriel 1m @ est égale à: |
A) 1 B}) 2 0803 D) 4 E) Autre réponse
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

Question 5: Soit (m1; Oo) EeRx R° et X une variable aléatoire réelle ayant une densité de probabilité ÿ
définie par:
P Si x< 0
[1 )«( < x—m), .
cexp(— LE SE ‏از‎ 0
où c est une constante qui dépend de m et © (éventuellement à calculer).
On désigne par © la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. |
L'espérance mathématique de X est ‘gelé à: |
2 oD(—) 2
A) | 71 B) m+ ‏ب‎ exp(— ‏ب‎ C)m+ ‏ل‎ Exp(—
D(—)V27 "+ à +
D) 7202 + —— E) Autre réponse
D(—)V27
Question 6 : Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire X, définie sur IR par :
0 si x<0
le 2 jé ‏0ج‎
‎L’espérance de X est :
A) ٍ : 8( ًَ : © Æ : D) Ÿr : E) Autre réponse
= 1 ٍ ne n'+n+l
Question 7 : On considère la série de terme général 4, = a ‏ل‎
‎Cette série est convergente ‏عل‎ somme: |
e e 3e ,
À) 5 B) 6 1 = D) e E) Autre réponse
‏نماذج المباردريات من مو قع و ظبفة إن - دج‎
wadifa-info.com ‏ج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

‘Question 8 : Soit la fonction réelle de la variéble réelle x définie par f(x) = (x + 18 00
Un équivalent de f(x)—x quand x — +00 est:
1 * 4 _ À
‏ع ز(خر‎ B) ‏سات‎ EC) ‏ست‎ D) — E) Autre réponse
x 2% 2x
Question 9 : Trois enfants A ,B,C jouent à la balle.
- Lorsque À a la balle, la probabilité pour qu'il la lance à B est : , la probabilité pour qu'il
la lance à C est 4" 5 :
- Lorsque B a la balle, la probabilité pour Qu'il la lance à A est 4° la probabilité pour qu'il
la lance à C est 4:
- C envoie toujours Ja balle à B ٠ :
Pour neN , ‏ده‎ désigne par À, (respectivement B; ,C;) l'événement : " A (respectivement B,C)
a la balle à l'issue du n°% lancer " .
Au départ la balle est lancée à l'un des trois joueurs : c'est par convention le lancer numéro 0 .
Donc on pose : a, = p(4),b, = p(B,),c, = p(C,) avec a, +b,+c, =1.
On pose, pourneN, À =|b |.
Il existé une matrice D € MW, (R) telle que:
VneN, À = D',X, , où :
fi 3 7. 1 |
— 0 1 0 — 0 0 = 1
4 4 4
1 3 1
À) D=|0 — 0 B) D=|— 0 1 €) D=|- 0 0
4 4 4
3 1 1 3 3
_ 0 — - 0 — — À
4 4 4 4 4 4
10( 17-0 à 0 E) Autre réponse
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

Question 10 : Soit (4. À oi la suite réelle définie par 4, - 0 et u =]
et par (Vn ‏جح‎ N) ‏وملا‎ = U,, + 4,. La suite est strictement positive à partir du rang 1.
‎On pose (VreN} v ‏لقت‎
lim(v )= |
3 13+45 Di |
À) +00 BE) ‏نحن م_ح_ح'ت ب ب‎ Lu E) Autre réponse
2 16 2
2 1 ‏ب‎ 5
Question 11 : La limite de la suite ‏ىو(را)‎ définie par: u, = est:
2e] 5
‏نهذ‎ 1 : B) ——- ; C)2 ; D)+æ : E) Autre réponse
Question 12 : On note M, (CR) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
2 0 #1
Soit la matrice 4=| 0 1 0
=1 )0 2
On considère l'ensemble Æ des matrices T de M, (R) qui commutent avec A. |
E est un sous-espace vectoriel de M, (R) de dimension égale à:
A) 1 B) 3 00.5 Di 7 E) Autre réponse
Question 13 : On désigne par ® la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. L'intégrale
EXp(—x° +4x- 2)dx est égale à:
A) e"®D(2)Vr : B) e*V2x (D(2)- 5 : © ex )©)2(- 0. ; D) 27 D(2);
E) Autre réponse
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

Question 14 : Soient X, ef ‏ول‎ deux variables aléatoires discrètes finies, indépendantes, et de même
loi de probabilité, avec:
: 1 1 - 1
Vieil.2}, pieds du (ES z 4 P (FX =2)= à
On pose: S=X +X, et P=AXX,
Le coefficient de corrélation linéaire de 5 et P est égel à :
À) 0 B) -1 0 3 _ D) 2 E) Autre réponse
: . ٍِ ñ Et a k : | ;
Question 15 : Pour ‏ابرعم‎ *, on pose: S,= 3 412-17 La suite (S,), ‏بي‎ converge vers :
À) e+1 : B) ; : © 8 : D)in2 : E) ‏عن‎ réponse
‏ب‎ FT
4 —6 0
Question 16: On considère la matrice 4=| 3 5 0
| 3 6 5
Après avoir montré que À est diagonalisable, on aboutit à ‏"ار‎ pour # entier naturel non nul, égal à:
eu + 5 1“ 1 2 x 5" 5 ñ 2 ‏27ب "5 + 27ب‎ + 2 0. 5 5?
2(-1)-2" 2)-[("-27 0 2(-1) =2° 2-1)-2x2 0
27+57 -27+12x5" 5” 27 +7 275 5
E) Autre réponse
Question 17: On considère deux pièces truquées À et B ; À donne pile avec la probabilité a
(0<a<1) ,etB donne pile avec la probabilité b ) 0 > 5 > 1٠.
On choisit une pièce au hasard et on la lance: si on obtient pile, on relance la même pièce, sinon on
lance l'autre pièce. On poursuit ce processus k fois ) <٠
La limite de la probabilité de lancer la pièce A au °°° lancer lorsque £ tend vers l'infini est égale à:
b 1-b l-a a '
À) ‏بست‎ Fe ‏ست‎ 6 Em à D) —— E) Autreréponse
a+b a—-b+l 1-a+b a+b
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

Question 18 On désigne par tr(M) la trace d'une matrice carrée à coef£cients réels M.
Soient À et B 6 Mr(R), des matrices vérifiant AB - BA = A |
Pourtoutp 611, tr(4) =
A) tr(A) B)tr(AB) C)0 D) (B) E) Autre réponse
Question 19 On considère [a matrice ٠
1-4 1 1 :
A = 3 —2—À -4 où À est un paramètre réel.
—2 1 3-1
et jf l’endomorphisme associé à À relativement à la base canonique de 1:
Les valeurs de À pour lesquelles la dimension de Ker f est égale à 1, sont:
A) Aef —1,1,3 } : ( ‏اعون ; | يبب‎ —3 Ë | + © ael-4,14 | ;
22 | 3 4
E) Autre réponse
Question 20 Soient ox, ‏رق‎ 6, À quatre nombres réels vérifiant les conditions:
0> : 0<B<—
0-> 5 : Max(0,In(25))<À
ct soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition F définie par,
Bexp(at) ‏زى‎ + > 0
18 ‏ج-‎ ]0:1[ 1 |
Fe est la fonction suivante: F(f) = > — STE [ 0;1 [
tH Proba[X<t] 2
1-00 exp(-A#) ‏ى‎ <1
Proba]X<m]> 5
On appelle médiane de X, tout nombre réel m vérifiant la condition suivante: 1
2:08] < ‏زد‎ < 5
Alors l'ensemble des médianes de X est
A) Ë ‏انول الول‎ D)[0;1] ‏هق‎ Autre Réponse
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎