نموذج مباراة ولوج المدرسة الكبرى للمعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE 2024 - الرياضيات 2
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة طالب - السلك العالي (المدرسة الكبرى) لدى المعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE (28 ماي 2024)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE
- الدرجة
- طالب - السلك العالي (المدرسة الكبرى)
- التخصص
- الرياضيات 2
- الدورة
- 28 ماي 2024
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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السو اماج ji gl لمارا CONCOURS ÉCRIT D'ACCÈS A LA GRANDE ÉCOLE » -GROUPE ISCAE- Année Universitaire : 2024-2025 Épreuve: Mathématiques 2 Durée: 2 Heures Date : Mardi 28 mai 2024 INSTRUCTIONS IMPORTANTES AU VERSO!! نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com uestion 1 : Soi 5 [0,3] et Y sui Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. X suit une loi uniforme sur l'intervalle Us uit une loi géométrique de paramètre . Nous nous intéressons à la variable aléatoire Z = 1 9 variable aléatoire Z n’admet pas d'espérance ; B) L'espérance de Z est égale à 3 C) L’espérance de Z est égaleà4; D) L’espérance de Z est égale à À E) Autre réponse Question 2 : En supposant que À est un nombre réel différent de 0, on peut affirmer que 1 te”/fdt : A) Est divergent : égale à À: égale à = gente ; B) Est convergente et égale à 1 ; C) Est convergente et égale à -; © convergente et égale à 1 ; E) Autre réponse Question 3 : Soit X et Y deux variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par le tableau ci-dessus, p et و étant 2 nombres réels compris entre 0 et 1 éventuellement à déterminer : EE ,٠ لقيبالل__ | لأسب لل ف _ ل لع 6 | 6ل | قفا L’espérance de la variable aléatoire X est égale à : as by = D) 0 E) Autre ré ) 7 ) 7 ) : ) ) Autre réponse Question 4 : Soit la fonction réelle de trois variables f(x,y,z) = x? + 2.x.y.z+2.y—2.z . On peut affirmer que : V d إى A) La fonction f n’admet pas de point critique 5 ie B) La fonction f admet un point critique qui n’est pas extremum global (C)La fonction f'admet un maximum global À La fonction f'admet un point critique qui est un extremum global AP) Autre réponse ET هي 1 de vu aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur l'intervalle a, b]. One n) la Suite de variables aléatoires donné = mi F5 em a ires donnée par Ÿ, = min (X:,X2,.…,X,). On peut A) La suite (Y,) converge en probabilités vers la loi uniforme sur l’intervalle à 1 a, b B) La suite (Ya) converge en'probabilités vers la loi certaine égaleà a - C) La suite (YA) converge en probabilités vers la loi exponentielle D) La suite (YA) converge en probabilités vers la loi certaine égale à تح 5 E) Autre 0003 : wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ) VA E. On dési و 1,J,K) une : ésigne pa 8 ectoriel sur R de dimension ? et ( 1 5 1 Question 6 : Soit E un espace vec l’endomorphisme défini par : [email protected] 0ر+ء2) + .ورد دوا + رج ام + ) Quel est le noyau de Le? 5 24 1 : selle d’équation |, ب A) Un plan vectoriel B) Une droite vectorielle d €q - 1 مان 8 ٍ - 4د : torielle d’équation { ِ ) Une droite vectorielle d’équation f 20 D) Une droite vec 2-0 8) Autre réponse Question 7 : Soient X et Y deux variables aléatoires vérifiant : V (i,j)e N°, P[CX=i)n(r=;j)]= 52e Pour que la formule précédente définisse une loi de probabilité conjointe du couple (X , Y ), la constante a est: 1 0 1 1 1 ٍ A) — حبر © — D) - E) Autre réponse Ve 2Ve 2e 2 Question 8: À un péage autoroutier n voitures franchissant au hasard et indépendamment l’une des trois barrières de péage mises à leur disposition. On note X,, X, et X; les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières. Sachant que les trois barrières ont la même probabilité d’être franchi, le coefficient de corrélation linéaire entre les variables X; et X, est donné par : À) == B)> 003 D) 2 Ë) Autre réponse Question 9: Soit fla fonction définie pour tout réel x par: f(x)=e "In (1+ e* ) L'intégrale impropre 1 f(x)dx converge vers : In 3 In 2 À) — B) 21 — ) 5 ( 32 0) = D) 31n5 (E)hutre 0 Indication : On pourra 1 1 ss Pourra songer à exprimer simplement f (x) + f(x), puis à Calculer une de ses primitives. Question 10: Soit F la fonction réelle de la variable réelle x définie par F(:) = = JE : LÉ ? On remarquera que Fest définie sur R 0 Un équivalent de F(x) quand x — +50 est الو رق 1 T 0 — ب Indication : ب 7 | - ن E) Autre réponse "A POurra commencer Par cal 5) +7 ا deFsur R°.La comparaiso en 210) + FC +1) en fonction de x, puis par étudier la (x). © F(x) avec F{(x+1) Pérmettra de trouver un encadrement de wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو RÉ 4 à are s Ex : éntler naturel supérieur à 2 et À Ja matrice carrée d’ordre n définie par 1 Ga 0 0 zx: 0 1 1 وود اله sx de À la première ligne, la dernière ligne, la première colonne, et la dernière colonne de 4 ne contiennent que des » 1 » ; tous 165 autres coefficients de 4 sont nuls. Le spectre de 4 est : A)Q B) {0} © 40,2-V2n-3,2+V2n—3} D) {0,4-V4n-5,4+ Van —5} E) Autre réponse | | . Indication : On pourra commencer par identifier le rang de A et par identifier trivialement une valeur F propre. Par la suite, on écrira le système d’équations de recherche des valeurs propres. Question 12 : Soit م un nombre réel strictement supérieur à 1. On définit la suite réelle ua) = بو العام par (Vn € N°) u, (a) = . _ (l'intégrale est trivialement convergente). lim (u, (æ)) = A)1 B) a C) L D) 0 E) Autre réponse (04 امسر Indication : On pourra commencer par étudier la monotonie de la suite (ua) . Puis on effectuera une intégration par parties pour trouver le lien entre ومين — u,,,(œ)et (ه) ينه pour en déduire la nature d’une série dont le terme général dépend de ينه (a). Question 13 : Soit f l’application linéaire de IR? dans IR* définie par : Îx,y,2) = (x+2y+5z,2x-y+5z,x+2y,-x+2y-7) Soitu=(0,1,1,a)un vecteur de IR, où م est un nombre réel, L'ensemble des valeurs de a pour lesquelles le vecteur ا appartient au sous espace vectoriel Im(f) de IR est 4 2 7 4 ١ إِ A) 5 8 ©) {- 3 } TC) 5 } E) Autre réponse wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Question 14 : Soit E l’espace vectoriel des matrices carrées d ordre 2 à coefficients réels. 1 ا On rappelle que si Ur , U2, Us, Ua sont les matrices définies par : à \ ue É 1 , la famille ) Ui,Uz, Us, Ua) à امن 1١ 0 0 1 EE oJ* o 1 : ندا ألا est une base de E, qui est donc de dimension 4. | | de Eet gas l'application qui, à toute matrice M de E , associe la matrice هذا لبس Soient A et B est un endomorphisme de E. قرم AM -MB. Dans le cas particulier où À = | Ë, = 1 et B= 2 1 , la matrice carrée d’ordre 4 qui représente dans la base ( Ui,U2,U3,Us ) est alors égale à : قد J =2 2 0 2 % 1 0 2 =2 «= 0 B) 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 )4 À [1 =1 2 © -1 0 2 = 1- 10 21 0 0 1- 0 2 0 0 1 1 1 د 0 1-: 0 1 1ب 1- 0 0 0 D) 2 0 1 0 E) Autre réponse 2 2 1- 0 ج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques 2 du concours écrit d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE, année universitaire 2024-2025, session du mardi 28 mai 2024. Durée : 2 heures. L'épreuve comporte 14 questions à choix multiples (probabilités, intégrales, algèbre linéaire, fonctions de plusieurs variables), chacune avec une option « Autre réponse ». Voici une correction proposée, avec le calcul qui justifie chaque choix.
💡 Attention à l'option E « Autre réponse » : elle est la bonne réponse plusieurs fois dans ce sujet (Q1, Q2, Q6, Q11). Ne cochez pas la valeur « la plus proche » : refaites le calcul et cochez E si aucune option ne coïncide.
Question 1 — Espérance de Z = XY → E
Par indépendance, on conditionne par Y. Pour X uniforme sur [0,3] : E(Xk) = (1/3)∫03 xkdx = 3k/(k+1). Y géométrique de paramètre 3/4 sur ℕ* : P(Y=k) = (3/4)(1/4)k−1.
E(Z) = Σk≥1 (3/4)(1/4)k−1·3k/(k+1) = (9/4) Σk≥1 (3/4)k−1/(k+1). Avec r = 3/4 : Σ rk−1/(k+1) = (1/r²)(−ln(1−r) − r) = (16/9)(ln 4 − 3/4).
Donc E(Z) = 4(ln 4 − 3/4) = 8 ln 2 − 3 ≈ 2,545. Z admet une espérance, mais elle ne vaut ni 3, ni 4, ni 13/4 : réponse E. (Si l'on prenait la loi géométrique sur ℕ, on trouverait ln 4 ≈ 1,386 : la réponse resterait E.)
Question 2 — ∫0∞ t e−λt dt → E (réponse probable)
Si λ > 0, une intégration par parties donne ∫0∞ t e−λtdt = 1/λ² (c'est aussi E(T)/λ pour T ~ Exp(λ)). Si λ < 0, t e−λt → +∞ et l'intégrale diverge. L'énoncé suppose seulement λ ≠ 0 : on ne peut donc affirmer ni A (vrai seulement si λ < 0) ni C (vrai seulement si λ > 0). Réponse probable : E. Si le jury sous-entendait λ > 0, la réponse attendue serait C (1/λ²).
Question 3 — Espérance de X → A
Somme des probabilités : p + q + 7/16 = 1, donc p + q = 9/16. Loi de X : P(X=−1) = p + q + 1/16 = 10/16 ; P(X=0) = 3/16 ; P(X=1) = 3/16. E(X) = −10/16 + 3/16 = −7/16.
Question 4 — f(x,y,z) = x² + 2xyz + 2y − 2z → B
Points critiques : ∂f/∂x = 2x + 2yz = 0 ; ∂f/∂y = 2xz + 2 = 0 ; ∂f/∂z = 2xy − 2 = 0. D'après les deux dernières équations, xy = 1 et xz = −1, donc x = 1/y et z = −1/y. La première devient 2/y + 2y·(−1/y) = 2/y − 2 = 0, d'où y = 1, puis x = 1 et z = −1. Un seul point critique : (1, 1, −1).
Hessienne en ce point : H = [[2, −2, 2], [−2, 0, 2], [2, 2, 0]]. Le mineur diagonal d'ordre 2 formé des lignes/colonnes 2 et 3 vaut 0·0 − 2·2 = −4 < 0 : H n'est ni positive ni négative, c'est un point col. De plus f(x,0,0) = x² → +∞ et f(0,0,z) = −2z → −∞ : pas d'extremum global. Réponse B.
Question 5 — Yn = min(X1,…,Xn) → B
Pour 0 < ε < b − a : P(|Yn − a| > ε) = P(tous les Xi > a + ε) = ((b − a − ε)/(b − a))n → 0. Donc Yn converge en probabilité vers la constante a.
Question 6 — Noyau de f → E
f(xI + yJ + zK) = 0 ⇔ x − y = 0, 2x + y = 0, z − x = 0 ⇔ x = y = 0 puis z = 0. Ker f = {0} (f est un automorphisme) : ce n'est ni un plan ni une droite. Réponse E.
Question 7 — Constante a → B
Il faut a ≥ 0 et Σi,j a/(j!·2i+j) = 1. Σj≥0 (1/2)j/j! = e1/2 et Σi≥0 (1/2)i = 2, donc a·2√e = 1 et a = 1/(2√e).
Question 8 — Corrélation entre X1 et X2 → A
(X1, X2, X3) suit une loi multinomiale de paramètres n et (1/3, 1/3, 1/3). V(Xi) = n·(1/3)(2/3) = 2n/9 ; comme X3 = n − X1 − X2, on obtient Cov(X1,X2) = −n·(1/3)(1/3) = −n/9. ρ = (−n/9)/(2n/9) = −1/2.
Question 9 — ∫0+∞ e−x ln(1+ex) dx → B
f'(x) = −e−xln(1+ex) + e−x·ex/(1+ex), donc f'(x) + f(x) = 1/(1+ex).
Ainsi f = 1/(1+ex) − f'. Or ∫0A dx/(1+ex) = ∫0A e−x/(1+e−x) dx = ln 2 − ln(1+e−A) → ln 2, et −[f]0A = f(0) − f(A) → ln 2 − 0 (car f(A) ~ A e−A → 0). L'intégrale vaut 2 ln 2 ≈ 1,386 (valeur confirmée numériquement).
Question 10 — Équivalent de F(x) → B
F(x) + F(x+1) = ∫1∞ (t−x + t−x−1)/(1+t) dt = ∫1∞ t−x−1 dt = 1/x. F est décroissante (car t−x décroît en x pour t ≥ 1), donc F(x+1) ≤ F(x) ≤ F(x−1) pour x > 1 : 1/x = F(x) + F(x+1) ≤ 2F(x) ≤ F(x−1) + F(x) = 1/(x−1). D'où 1/(2x) ≤ F(x) ≤ 1/(2(x−1)) et F(x) ~ 1/(2x).
Question 11 — Spectre de A → E
Les lignes 2 à n−1 sont toutes égales à (1, 0, …, 0, 1), et la première et la dernière sont (1, …, 1) : rang A = 2, donc 0 est valeur propre (n ≥ 3). Par symétrie, cherchons un vecteur propre de la forme (a, b, …, b, a) avec λ ≠ 0 : ligne 1 : 2a + (n−2)b = λa ; ligne médiane : 2a = λb. En substituant b = 2a/λ : λ² − 2λ − 2(n−2) = 0, d'où λ = 1 ± √(2n−3).
Spectre : {0, 1 − √(2n−3), 1 + √(2n−3)}. Vérification : pour n = 4, les valeurs propres numériques sont 0, −1,236 et 3,236 = 1 ± √5. Cette réponse ne figure pas dans C (2 ± …) ni dans D : réponse E.
Question 12 — Limite de un(α) → D
Comme 1/(1+tα) ≤ 1, (un) est décroissante et positive, donc convergente vers L ≥ 0. Intégration par parties (u = (1+tα)−n, v = t) : un = nα ∫0∞ tα/(1+tα)n+1 dt = nα(un − un+1). Donc un − un+1 = un/(nα). La série télescopique Σ(un − un+1) converge ; si L > 0, on aurait un/(nα) ≥ L/(nα), terme d'une série divergente : contradiction. Donc L = 0.
Question 13 — u = (0, 1, 1, α) ∈ Im f → D
Les colonnes (1,2,1,−1), (2,−1,2,2), (5,5,0,−1) sont de rang 3 : Im f est un hyperplan de ℝ⁴. u ∈ Im f ⇔ le déterminant 4×4 formé de ces trois colonnes et de u est nul. En développant, ce déterminant est une fonction affine de α qui s'annule pour α = −4/5. Résolution directe : f(x,y,z) = (0,1,1,α) donne x + 2y + 5z = 0, 2x − y + 5z = 1, x + 2y = 1, −x + 2y − z = α. Les équations 1 et 3 donnent 5z = −1, z = −1/5 ; l'équation 2 devient 2x − y = 2 ; avec x + 2y = 1 : x = 1, y = 0. Alors α = −1 + 0 + 1/5 = −4/5.
Question 14 — Matrice de φA,B → C
On calcule φ(Uk) = AUk − UkB et on range ses coefficients (m11, m12, m21, m22) en colonne :
- φ(U1) = AU1 − U1B = [[1,0],[−1,0]] − [[−1,0],[0,0]] = [[2,0],[−1,0]] → colonne (2, 0, −1, 0)
- φ(U2) = AU2 − U2B = [[0,1],[0,−1]] − [[2,1],[0,0]] = [[−2,0],[0,−1]] → colonne (−2, 0, 0, −1)
- φ(U3) = AU3 − U3B = [[−1,0],[1,0]] − [[0,0],[−1,0]] = [[−1,0],[2,0]] → colonne (−1, 0, 2, 0)
- φ(U4) = AU4 − U4B = [[0,−1],[0,1]] − [[0,0],[2,1]] = [[0,−1],[−2,0]] → colonne (0, −1, −2, 0)
Matrice : [[2, −2, −1, 0], [0, 0, 0, −1], [−1, 0, 2, −2], [0, −1, 0, 0]] : c'est la réponse C (vérifiée par calcul matriciel).
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المصدر: وثائق منشورة للعموم (Scribd / alloschool)
