نموذج مباراة ولوج المدرسة الكبرى للمعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE 2013 - الرياضيات 2
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة طالب - السلك العالي (المدرسة الكبرى) لدى المعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE (2013)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE
- الدرجة
- طالب - السلك العالي (المدرسة الكبرى)
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- 2013
- عدد الصفحات
- 6
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
اختبار الرياضيات 2 (3 ساعات، 20 سؤالا متعدد الاختيارات، +2/-1/0): الفضاءات المتجهية للمصفوفات، الدوال والتكاملات المعممة، المتتاليات والمتسلسلات، المتغيرات العشوائية ودوال متعددة المتغيرات. صور هاتفية مع إشارات مترشح. تنبيه: النسخة تحمل علامات مترشح على بعض الأجوبة.
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0 اا
Groupe ISCAE
CONCOURS D'ACCES À LA GRANDE ECOLE
MATHEMATIQUES 11
DUREE : 3 heures
n'est fait usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout 1.11
matériel électronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. .2
Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints. .3
كن Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuée .4
complément du sujet.
Il ne sera admis qu'une seule réponse par question. .5
Le barème suivant sera adopté: .6
Réponse correcte: +2
Réponse fausse: -1
Pas de réponse: 0
indépendantes.
Il ÿ a 20 questions totalement indépen
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Question 1 :
Soit M,(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 muni de sa structure d'espace vectoriel et
Soit J la matrice :
On considère l'application 5 de M,(R) dans lui-même qui associe à tout élément M de
M,@R) l'élément S(M) = IMJ
L'application 5 est un automorphisme de l'espace vectoriel M,(R) .
De plus , si M et N sont deux éléments quelconques de M,(R) .ona :
S(MN)=S (M)S(N) 7
On considère les éléments :
1 0) 0 1
1= , ل D ‘| 270
0 1 10 0 1 اج
La matrice représentant l'automorphisme 5 dans la base (1, 1, K , L) est alors égale à :
-1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0
0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0
A) B) 0
0 0 -1 0 00 -1 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 00 0 -1 0 0 0 -1
1 0 0 0
0 1 0 0 :
D E) Autre réponse
) 0 0 -1 0 ) 3
0 0 0 1
Question 2 : À
Soit £ la fonction définie pour tout réel X par :
f(x) =e 12)1+ 2 x à f(x) est la dérivée de
{rés avoir déterminé l'expression de J' 7 A qu Fu . _
_ de fenx),onen déduit que l'intégrale impropre 8 1
اال éponse
tien à. In2 مادم Autre 7
الام Dom |) ٍ 8
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/ Question 3 : be.
diet EN
A considère l'ensemble عر deu LD LE
atrices de la forme M=| y 2 نز où x, Yet sont des
réels x
On note @ l'application linéai
> $ éaire de 7 dans R qui à toute matrice A de F associe le nombre :
154
ٍ 1 و06
où a, désigne l'élé : ا
0 signe l'élément de la matrice À situé à l'intersection de la je ligne et de la مز
On note Ker م le noyau de و . La dimension de Ker و est alors égale à:
401 2 03 D) 4 E) Autre réponse
Question 4 :
: ى وما
Soit f,(x)= ce éixel ec f()=-0 ,# keN:
Pour quelles valeurs de k, f, estcontinue en 1?
A) ke[2,+l @> سيار Okcll IN” 11 +]
E) Autre réponse 2
Question 5 :
1 5 nat) y Sr nn +D@n+1)
0 je = 8 En jetons numérotés de 1 àn
: : 2 urne © ;
On considère un nombre entier ع >2 etune ee 2 jelORS Et 0n désigne alors par :
On extrait de cette une successivement et SAS tiré
N la variable aléatoire indiquant Le numéro du premier 126 ب
No la variable aléatoire indiquant Le numéro du 000008108 7
se: Z=Nit Ni a , :
le vue ce de ta variable aléatoire est alors égale à :
ns (n + 1)(n = 2) (n+ 5)(n—4
(n=1)(n +3) mad) Oo DES
لقان (6 :
@ Autre réponse
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Question 6 لوم ,اعم سول 5, = 9 El
La suite (S,) converge vers : نت
A)0 : B)de :; © 2 : (ه 1
7; ‘ FE) Autrréponse
Question 7: Soit X une variable aléatoire sui 5
= toire Suiv: 8 : لبا
Dre 5 1 ivant la loi exponentielle de paramètre 2=1, Fa 2
Caleuler E(X). bu A
ب 182 5 0 أرق + قعالم M <
0 8 ',: (6-1 عمس ؟ La
À éponse
Queens” tout réel m non nul, on définit la matrice A suivante : LE
0 — — x بي"
م m LA
A=\m 0 1 7
m m 0
Du des valeurs propres de À est:
Em,m) à BI Um: 2m} ; Cltm,2} if 12707 عكلاة لط réponse
Question 9 : Soit ب Xys SR. PA variables aléatoires indépendantes el suivant la même loi a"
drifommesur [0 , a]; où a est un nombre réel non nul
Onpose: 7, نحطل Ne) وح Ts À
La variance de T, est: 5
سق ا 0 ست D) 2 : (ي] au réponse
A) 1 7 B) FPE 0 جد 75 0
1 Question 10 : Soient les matrices :
LE. 3 2 1 1 0 0 À
D pui? 0 -1| p=\0 1 0 ]م M jelle que M = الام
1 0 1 1 0 0 2
0 “العررن : M'est ja matrice * uit SUR
1 A) ب 2*1 )كع "بز + (2-2 à FOR ِ جا ايز VA :.. 5) Autre réponse
مات + اع دير (777
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Question 11 : Pour tout entier naturel باد on pose دما ose أ
Log désigne le logarithme népérien, On cherche un équivalent de 1, quand n tend Vers l 5
On pourra commencer par étudier 18 monotonie de la suite Eh puis par voir la retation
récurrence liant يما à 1, et enfin par trouver un encadrement de 1,
Alors, un équivalent de 1 , quand قمعا ا vers l'infini est:
1 2 0 م ñ VE
A) —(Log2)"* : B) <(Log2)""; 0 الات p) 2, بع Autre Répons
بد # a 15
1 1 RE x
Question 12 : Pour tout entier naturel nr, on pose 4, = à
Log désigne le logarithme népérien. On cherche un équivalent de w, quand د tend vers l'infini,
1 ï ا ; de la
On pourra commencer par remarquer que (vx < 0 > 1: puis par étudier la convergence
+ : : lanta. 2 م
suite (4), définie par 1, = f Log(l+ x" )dx; puis par voir ja relation de récurrence liantu, 0
Alors. un équivalent de u, quand م tend vers l'infini est:
2 0 ا Log2. بع Autre Réponse
ج مساك B) (Log?) Le €) وح D} =
Question 13 : La somme د Don est égale à:
A) با ربع بآ © 145 Het) وا رو -- £) Autre réponse
; 95 2
ع désigne la base du logarithme népérien
S= 5 ل _ estégale à: CS
Qu stion 14 : La somme PTE ; 1
2 7 . = | â se
7 2. fi D/A® répon:
مق D): /
للم 02 13 0
mme أي لودع égale à
Question 1 : 10 5 +1)! |
Î اا قب ol D) Le L) ; £) Autre réponse
{ 6}: 0+ ل 2 e
At; Re? 2
à népérien
e désigne la base du ogarithme 18#
_yidxdy : )ماح رت
Question 16: Caleuler 1= ff, mers O(0.0), AC) لبمار رع
1 e de som 5 : ,
Dans le cas où D est le triangl - رع Autre réponse
1 C)= 3
1 B)= 4
wadifa-info.com ben boule
Question 17: On se donne les matrices . 1
S matrices inversibles P telles que P! À p = B sont de la forme -
15b—4 نز 8
HE !); » D), تر ا +4 2).
E) Autre réponse “Éb= 164 di? -8b+d 2d/°
Question 18 Soit f: R4\ {(0,0)} — R la fonction définie م
:رصخ برض ا
Alors limy)-ç00 f (ty) =
A); B)1: C) ; D)%; E)Autre réponse
Question 19 a, b, c et d étant des nombres réels. les matrices carrées A= (a) d'ordre 4 qui
0 1 0 0
ee. 1 كلدم 0 0 1 0
commutent avec la matrice J = 0 0 0
0 0 0 [ه
sont de la forme :
:لباو( uit, .لط + له (0 ;+ 67+ تنجلم ان E) Aute réponse
Question 20 Soit لصتي la fonction définie par :
Hay) = 2x2+2y+2xy-x-Y
| fprésente
8 لدطماء en A(1/6,1/6) ;
مزل minimum local en A(1/6,1 0 8) لس global en B(-1/6,1/6) ; E)Autre réponse
va - | Jocal en B(-1/6,1/6) : à
D: © un maximum
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التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE, année 2013. Durée : 3 heures, sans document ni calculatrice. QCM de 20 questions indépendantes, une seule réponse par question, barème : +2 (juste), −1 (fausse), 0 (pas de réponse). Thèmes : algèbre linéaire, séries, intégrales, probabilités et fonctions de deux variables.
💡 Attention : la copie scannée porte des réponses entourées par un candidat ; plusieurs sont fausses (Q12, Q14). Fiez-vous aux justifications ci-dessous.
Corrigé
- E (autre réponse). S(I) = J² = I ; S(J) = J³ = J ; S(K) = JKJ = diag(−1, 1) = −K ; S(L) = JLJ = (0, −1 ; 1, 0) = −L. La matrice de S dans (I, J, K, L) est diag(1, 1, −1, −1), qui ne figure pas parmi A à D.
- B : 2 ln 2. f'(x) + f(x) = e−x × ex/(1 + ex) = 1/(1 + ex). Donc ∫0+∞ f = ∫0+∞ dx/(1 + ex) − [f]0+∞ = ln 2 − (0 − ln 2) = 2 ln 2 (∫0+∞ e−x/(1 + e−x) dx = [−ln(1 + e−x)] = ln 2 ; f(x) ~ x e−x → 0).
- B : 2. ℱ est de dimension 3 (paramètres x, y, z). φ(M) = 4x − 4y + z (les quatre x sont en position i + j paire, les quatre y en position impaire, z au centre). φ est non nulle, de rang 1, donc dim Ker φ = 3 − 1 = 2.
- A : k ∈ [2 ; +∞[. Au voisinage de 1, ln x ~ x − 1, donc fk(x) ~ (x − 1)k−1, qui tend vers 0 si et seulement si k ≥ 2 (k = 1 donne la limite 1, k = 0 une limite infinie).
- C : (n + 1)(n − 2)/6. N1 et N2 suivent la loi uniforme sur {1, …, n} : V(Ni) = (n² − 1)/12. Sans remise, E(N1N2) = [ (Σi)² − Σi² ] / (n(n − 1)), d'où Cov(N1, N2) = −(n + 1)/12. V(Z) = 2(n² − 1)/12 − 2(n + 1)/12 = (n + 1)(n − 2)/6.
- B : 4e. Σ k²/k! = Σ k(k − 1)/k! + Σ k/k! = e + e = 2e ; Σ k/k! = e ; Σ 1/k! = e. Total : 2e + e + e = 4e.
- B : 0. E(Y) = ∫0+∞ ln(ex − 1) e−x dx ; avec u = e−x : ln(ex − 1) = ln(1 − u) − ln u, d'où E(Y) = ∫01 [ln(1 − u) − ln u] du = (−1) − (−1) = 0.
- D : {−1 ; 2}. A + I a ses lignes proportionnelles (L2 = m L1, L3 = m² L1) : elle est de rang 1 et de trace 3, ses valeurs propres sont 3, 0, 0. Celles de A sont donc 2 et −1 (double).
- C : a²/(n(n + 2)). Tn a pour densité n tn−1/an sur [0 ; a] : E(Tn) = na/(n + 1), V(Tn) = na²/((n + 1)²(n + 2)). V(T'n) = ((n + 1)/n)² V(Tn) = a²/(n(n + 2)).
- A : Mn = (2n − 1)M + (2 − 2n)I3. On cherche Dn = αI + βD avec D = diag(1, 1, 2) : α + β = 1 et α + 2β = 2n, d'où β = 2n − 1, α = 2 − 2n ; on conjugue par P.
- B : In ~ (2/n)(ln 2)n+1. La suite décroît (0 ≤ ln(1 + x) ≤ ln 2 < 1). En intégrant sur [0 ; 1] la dérivée de (1 + x)[ln(1 + x)]n+1, on obtient la relation In+1 + (n + 1)In = 2(ln 2)n+1. Avec 0 ≤ In+1 ≤ In, on en tire 2(ln 2)n+1/(n + 2) ≤ In ≤ 2(ln 2)n+1/(n + 1). Vérification numérique : le rapport tend vers 1.
- D : un ~ ln 2 / n. Par parties : un = ∫01 x · xn−1/(1 + xn) dx = ln 2/n − (1/n) In, avec In = ∫01 ln(1 + xn) dx ≤ ∫01 xn dx = 1/(n + 1) → 0. Donc n un → ln 2.
- C : ½(e√3 + e−√3). Σ 3n/(2n)! = Σ (√3)2n/(2n)! = ch(√3).
- A : 1. 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1) : somme télescopique, SN = 1 − 1/(N + 1) → 1.
- D : ½(e − 1/e). Σn≥0 1/(2n + 1)! = sh(1).
- B : 1/4. Avec s = x + y, la portion du triangle où x + y ∈ [s ; s + ds] a une aire s ds : I = ∫01 s ln(1 + s) ds = [((s² − 1)/2) ln(1 + s)]01 − ∫01 (s − 1)/2 ds = 0 + 1/4.
- C. P−1AP = B ⇔ AP = PB. En identifiant les coefficients : a = −15b − d et c = −8b − 16d, soit P = (−15b − d, b ; −8b − 16d, d), avec la condition det P ≠ 0.
- E (autre réponse). Sur la droite y = x, f(x, x) = x⁴/x⁴ = 1 ; sur l'axe y = 0, f = 0. Deux chemins donnent deux limites différentes : la limite en (0, 0) n'existe pas.
- C : aI + bJ + cJ² + dJ³. J est le bloc de Jordan nilpotent d'ordre 4 ; en écrivant AJ = JA coefficient par coefficient, A est triangulaire supérieure de Toeplitz, c'est-à-dire un polynôme en J de degré ≤ 3.
- B. ∇f = 0 : 4x + 2y − 1 = 0 et 2x + 4y − 1 = 0, soit x = y = 1/6. La hessienne (4, 2 ; 2, 4) est définie positive (déterminant 12 > 0, trace > 0) et constante : f est convexe, le point A(1/6, 1/6) est un minimum global (f = −1/6). L'option A (minimum local) est vraie aussi mais moins précise ; la réponse attendue est B.
Récapitulatif
| Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | E | B | B | A | C | B | B | D | C | A |
| Q | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Réponse | B | D | C | A | D | B | C | E | C | B |
أسئلة شائعة حول هذا النموذج
هل يمكن تحميل هذا النموذج مجاناً؟
نعم. صفحات هذا النموذج (6) متاحة للاطلاع والتحميل مجاناً، وبدون تسجيل أو إنشاء حساب.
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نعم. تجد في هذه الصفحة، أسفل صفحات الأسئلة، تصحيحاً مقترحاً يشرح منهجية الإجابة والعناصر المنتظرة، من إعداد فريق وظيفة إنفو.
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هذا النموذج من مباراة نظمتها المعهد العالي للتجارة وإدارة المقاولات ISCAE. ويخصّ درجة: طالب - السلك العالي (المدرسة الكبرى).
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