نموذج مباراة ولوج السنة الثانية من سلك مهندسي الدولة - المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) 2005 - اختبار الرياضيات

Cette épreuve est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 2^e année du cycle INE (ingénieurs d'État) de l'INPT, session du jeudi 14 juillet 2005, durée 1 h 30, sans document. Trois problèmes indépendants, orientés traitement du signal : série de Fourier d'un signal créneau et égalité de Parseval, produit de convolution, signaux aléatoires (moyenne, covariance, densité spectrale de puissance). Voici une correction proposée.

💡 Méthode : l'épreuve est courte (1 h 30). Les problèmes I et II sont des calculs directs ; dans le problème III, utilisez systématiquement E[e^jφ] = 0 pour φ uniforme sur [0, 2π] : c'est la clé de toutes les questions.

Problème I — Signal créneau

1) C_n = (1/T)∫₀^T/2 e^−2jπnt/T dt.

• n = 0 : C₀ = 1/2 (valeur moyenne).
• n ≠ 0 : C_n = (1/T)·[e^−2jπnt/T/(−2jπn/T)]₀^T/2 = (1 − e^−jπn)/(2jπn) = (1 − (−1)ⁿ)/(2jπn).
• n pair non nul : C_n = 0 ; n impair : C_n = 1/(jπn) = −j/(πn), et |C_n|² = 1/(π²n²).

2) f est réelle, donc f² = f·f* = Σ_nΣ_m C_nC_m* e^{2jπ(n−m)t/T}. Or (1/T)∫₀^T e^{2jπ(n−m)t/T} dt vaut 1 si n = m et 0 sinon (orthonormalité des exponentielles). En intégrant terme à terme (justifié par la convergence de la série de Fourier dans L² sur une période), il ne reste que les termes n = m : (1/T)∫₀^T f²(t) dt = Σ |C_n|² (égalité de Parseval).

3) Membre de gauche : (1/T)·(T/2) = 1/2. Membre de droite : 1/4 + Σ_{n impair} 1/(π²n²) = 1/4 + (2/π²) Σ_k≥0 1/(2k+1)² (n et −n donnent la même contribution). D'où 1/2 − 1/4 = (2/π²)S, soit Σ_k≥0 1/(2k+1)² = π²/8.

Problème II — Convolution de deux exponentielles bilatérales

1) f_α(t) = e^−α|t| est paire, vaut 1 en t = 0, décroît exponentiellement vers 0 de chaque côté et présente un point anguleux en 0 (pentes +α à gauche, −α à droite). Courbe en « pointe » symétrique, d'autant plus étroite que α est grand.

2) g(t) = ∫ e^−α|τ| e^{−α|t−τ|} dτ est paire ; prenons t ≥ 0 et découpons :

• τ < 0 : e^ατe^{−α(t−τ)} = e^−αte^2ατ, d'intégrale e^−αt/(2α) ;
• 0 < τ < t : e^−ατe^{−α(t−τ)} = e^−αt, d'intégrale t e^−αt ;
• τ > t : e^−ατe^α(t−τ) = e^αte^−2ατ, d'intégrale e^−αt/(2α).

D'où f_α ∗ f_α(t) = (|t| + 1/α) e^−α|t|. Contrôles : en t = 0, ∫ e^−2α|τ| dτ = 1/α ✓ ; l'aire totale vaut (∫f_α)² = (2/α)² = 4/α², et ∫(|t| + 1/α)e^−α|t| dt = 2/α² + 2/α² ✓.

Problème III — Fonctions aléatoires sinusoïdales

Rappel : si φ est uniforme sur [0, 2π], alors E[cos(θ + φ)] = E[sin(θ + φ)] = 0 et E[e^jφ] = 0 pour tout θ réel.

1) A et φ sont indépendants : E[x(t)] = E[A]·E[cos(2πf₀t + φ)] = m·0 = 0.

2) Avec a = 2πf₀t et b = 2πf₀(t + τ) : cos(a + φ)cos(b + φ) = ½[cos(b − a) + cos(a + b + 2φ)], et le second terme est d'espérance nulle. Comme E[A²] = σ² + m² :

C_x(t, τ) = E[x(t)x(t+τ)] = ((σ² + m²)/2) cos(2πf₀τ). Elle ne dépend que de τ : x est stationnaire au second ordre.

3) A sin(2πf₀t + φ) = A cos(2πf₀t + φ − π/2) : même moyenne nulle. Et sin(a + φ)sin(b + φ) = ½[cos(b − a) − cos(a + b + 2φ)] donne la même covariance ((σ² + m²)/2) cos(2πf₀τ). Mêmes moyennes et mêmes covariances.

4) E[x(t)] = Σ_k E[A_k]·E[e^jφ_k]·e^2jπf_kt = Σ m_k·0·e^2jπf_kt = 0.

5) C_x(t, τ) = Σ_kΣ_l E[A_kA_l]·E[e^{j(φ_l−φ_k)}]·e^−2jπf_kte^{2jπf_l(t+τ)}.

• k ≠ l : les phases étant indépendantes entre elles (c'est le sens à donner à « non corrélées » ici), E[e^{j(φ_l−φ_k)}] = E[e^jφ_l]E[e^−jφ_k] = 0.
• k = l : E[e⁰] = 1 et E[A_k²] = σ_k² + m_k².

D'où C_x(τ) = Σ_k=1^N (σ_k² + m_k²) e^2jπf_kτ, indépendante de t (processus stationnaire au second ordre).

6) Posons y(t) = Σ A_kcos(2πf_kt + φ_k) et z(t) = Σ A_ksin(2πf_kt + φ_k), de sorte que x = y + jz. Alors

C_x(τ) = E[(y(t) − jz(t))(y(t+τ) + jz(t+τ))] = C_y(τ) + C_z(τ) + j(E[y(t)z(t+τ)] − E[z(t)y(t+τ)]).

La partie réelle vaut C_y + C_z. Pour chaque k, la question 3 donne la même covariance pour le terme en cosinus et pour le terme en sinus ; les termes croisés k ≠ l sont nuls (phases indépendantes et centrées). Donc C_y = C_z, et

C_y(τ) = ½ Re C_x(τ) = ½ Σ_k=1^N (σ_k² + m_k²) cos(2πf_kτ).

7) La transformée de Fourier de cos(2πf_kτ) est ½[δ(f − f_k) + δ(f + f_k)]. D'où la densité spectrale de puissance :

S_y(f) = ¼ Σ_k=1^N (σ_k² + m_k²) [δ(f − f_k) + δ(f + f_k)].

C'est un spectre de raies aux fréquences ±f_k. La puissance totale vaut C_y(0) = ½ Σ(σ_k² + m_k²).