نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش ENSA 2005 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 27 juillet 2005. Durée : 1 h 15, sans calculatrice. QCM de 15 exercices, une seule proposition juste par exercice ; barème : réponse juste +1, réponse fausse −1, pas de réponse 0, plus d'une case cochée −1. Voici une correction proposée, avec le calcul qui permet de trancher.

💡 Stratégie : avec un barème négatif, ne cochez que ce que vous avez vérifié. Pour chaque exercice, cherchez d'abord la proposition la plus rapide à réfuter (un module négatif, une dérivée au mauvais signe…) : éliminer trois propositions est souvent plus rapide que prouver la quatrième.

Exercice 1 — Réponse : c)

• a) ln(e^√2) = √2, donc [ln(e^√2)]² = 2 ; e^−ln(1/2) = e^{ln 2} = 2. Donc x = 4, pas √2 : faux.
• b) x = ln 9 − ln 8 − 4·(½ ln 3) = 2 ln 3 − ln 8 − 2 ln 3 = −ln 8 : faux (signe).
• c) Numérateur : (4^1/4)² = 4^1/2 = 2. Dénominateur : 3√3 = 3^3/2, donc (⁴√(3√3))² = 3^3/4 et √(√3) = 3^1/4 ; produit 3^{3/4 + 1/4} = 3. Donc x = 2/3 : vrai.
• d) Il faut x > 1 ; 2x − 1 = x − 1 donne x = 0, hors domaine : pas de solution, faux.

Exercice 2 — Aucune proposition n'est exacte telle qu'imprimée

z₁ = √3 − i : |z₁| = 2, arg z₁ = −π/6. z₂ = 2i − z₁ = −√3 + 3i : |z₂| = √12 = 2√3, cos θ = −1/2, sin θ = √3/2, donc arg z₂ = 2π/3.

• a) |z₁⁻¹| = 1/|z₁| = 1/2, pas 2 : faux.
• b) arg z₂ = 2π/3, pas 7π/6 : faux.
• c) arg(z₂/z₁) = 2π/3 − (−π/6) = 5π/6 (vérification : z₂/z₁ = (−6 + 2√3 i)/4), pas −π/2 : faux.
• d) |z₂/z₁| = 2√3/2 = √3 ; un module n'est jamais négatif, donc « −√3 » est faux.

Avec l'énoncé tel qu'il est imprimé, aucune case n'est juste : le calcul montre une coquille dans l'énoncé. Dans une telle situation, avec ce barème, ne rien cocher (0 point) est la décision rationnelle. Remarque : dans tous les autres exercices de cette épreuve, la proposition juste est la c).

Exercice 3 — Réponse : a) (c) donne le même nombre)

Les 360 personnes sont distinctes et reçoivent 360 dates distinctes parmi 365 : c'est un arrangement, A₃₆₅³⁶⁰ = 365!/5!. La proposition a) est la formule directe.

Attention : c) 360!·C₃₆₅⁵ = 360!·365!/(5!·360!) = 365!/5! est égal à A₃₆₅³⁶⁰ (car C₃₆₅⁵ = C₃₆₅³⁶⁰). b) C₃₆₅³⁶⁰ ne tient pas compte de qui a quelle date ; d) 360!·A₃₆₅⁵ = 365! est trop grand. La réponse attendue est a), la formule du cours ; c) désigne le même entier écrit autrement.

Exercice 4 — Réponse : c)

• a) sin(5x)/sin(4x) ~ 5x/4x → 5/4, pas 4/5 : faux.
• b) (e^3x + 1)/(e^2x − 1) ~ e^x → +∞ : faux.
• c) En −∞, √(x² + 1) = |x|√(1 + 1/x²) = −x√(1 + 1/x²) et 1 − x = −x(1 − 1/x) ; le quotient tend vers 1 : vrai.
• d) x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), donc (x + 1)/(x² + 3x + 2) = 1/(x + 2) → 1 et ln → 0 : la limite existe, faux.

Exercice 5 — Réponse : c)

• a) sin(n² + 1) n'a pas de limite : faux.
• b) |sin n / ln(n + 1)| ≤ 1/ln(n + 1) → 0 : la limite existe (0), faux.
• c) (2n² + (−1)ⁿn)/(n² − 1) = (2 + (−1)ⁿ/n)/(1 − 1/n²) → 2 : vrai.
• d) √(9n² − n + 1) − 3n = (−n + 1)/(√(9n² − n + 1) + 3n) → −1/6, pas 1/4 : faux.

Exercice 6 — Réponse : c)

• a) |u_n+1| = |q|·|u_n| : la raison est |q|, pas q (faux dès que q < 0).
• b) Contre-exemple : u_n = (−1)ⁿ est bornée mais diverge : faux.
• c) Si |u_n| ≤ M, alors |(−1)ⁿu_n/n| ≤ M/n → 0 : vrai.
• d) Seule une majoration est donnée : u_n = −n vérifie u_n − ½ ≤ (½)ⁿ et diverge : faux.

Exercice 7 — Réponse : c)

• a) f(−t) = cos²t·(−sin t)³ = −f(t) : f est impaire, pas paire.
• b) f(t + π) = cos²t·(−sin t)³ = −f(t) ≠ f(t) : pas π-périodique (elle est 2π-périodique).
• c) f impaire ⇒ courbe symétrique par rapport à O : vrai.
• d) f impaire ⇒ ∫_−π⁰ f = −∫₀^π f ; or ∫₀^π cos²θ sin³θ dθ = ∫₋₁¹ u²(1 − u²) du = 4/15 ≠ 0 (u = cos θ) : faux.

Exercice 8 — Réponse : c)

f(x) = (1 − x)/(1 + x) = −1 + 2/(1 + x).

• a) (x − 1)/(x + 1) = −f(x), donc la fonction vaut |f(x)| : ce n'est pas une symétrie d'axe (Oy) (qui donnerait f(−x)) : faux.
• b) (x + 3)/(x + 1) = 1 + 2/(x + 1) = f(x) + 2 : translation de vecteur (0 ; +2), pas (0 ; −2) : faux.
• c) (x − 1)/(x + 1) = −f(x) : symétrie par rapport à l'axe des abscisses : vrai.
• d) (1 − 2x)/(1 + 2x) = f(2x) : c'est une contraction horizontale de rapport ½ ; l'homothétie de centre O et de rapport 2 donnerait 2f(x/2) : faux.

Exercice 9 — Réponse : c)

• a) f′(x) = [e^x/2]/[(1 + e^x)/2] = e^x/(1 + e^x) : faux.
• b) f(x) = ln(e^x(1 + e^−x)/2) = x − ln 2 + ln(1 + e^−x) : l'asymptote en +∞ est y = x − ln 2, pas y = x − 2 : faux.
• c) f(x)/x = 1 − ln 2/x + ln(1 + e^−x)/x → 1 : vrai.
• d) En −∞, f(x) → ln(1/2) = −ln 2 : l'asymptote horizontale est y = −ln 2 : faux.

Exercice 10 — Réponse : c)

• a) (2x³ − 5x² + 1)/x² = 2x − 5 + x⁻² ; dérivée 2 − 2/x³ = 2(x − 1)(x² + x + 1)/x³ (facteur 2 manquant, et x ≠ 0) : faux.
• b) ((cos x)^5/2)′ = −(5/2) sin x (cos x)^3/2 : signe faux (et non définie sur tout ℝ).
• c) (x ln(x² + x + 1))′ = ln(x² + x + 1) + x(2x + 1)/(x² + x + 1), avec x² + x + 1 > 0 sur ℝ : vrai.
• d) (e^√(2x+5))′ = e^√(2x+5)·2/(2√(2x + 5)) = e^√(2x+5)/√(2x + 5) : facteur ½ en trop, faux.

Exercice 11 — Réponse : c)

D passe par A(1, 0) et a pour vecteur directeur (1, −1) : pente −1, donc D : y = 1 − x (x + y − 1 = 0).

• a) (x − 1)² + (y + 2)² = 1 − 3 + 4 = 2 : centre C(1, −2), rayon √2, pas 2 : faux.
• b) y = 1 + x a une pente +1 : faux.
• c) d = |1 + 1 − 1|/√(1² + 1²) = 1/√2 : vrai.
• d) 2x² = 1 − x ⇔ 2x² + x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ou x = ½ : D coupe la parabole en (−1, 2) et en (½, ½).

Attention : le point (−1, 2) appartient bien à D et à la parabole, donc d) est aussi exacte au sens littéral (D coupe la courbe « en un point » de coordonnées (−1, 2), mais pas seulement en ce point). La réponse sans ambiguïté est c).

Exercice 12 — Réponse : c)

• a) x² − x ≤ 0 sur [0, 1] et ≥ 0 sur [1, 2] : ∫₀¹(x − x²)dx + ∫₁²(x² − x)dx = 1/6 + 5/6 = 1, pas 2/3 : faux.
• b) ((x + 2)e^−x)′ = e^−x − (x + 2)e^−x = −(x + 1)e^−x : signe faux.
• c) (2√(x² + x + 1))′ = 2·(2x + 1)/(2√(x² + x + 1)) = (2x + 1)/√(x² + x + 1) : vrai.
• d) (ln|2 + 3 sin x|)′ = 3 cos x/(2 + 3 sin x) : facteur 3 manquant, faux.

Exercice 13 — Réponse : c)

• a) Pour |x| > ½ : f′(x) = 1 + 4x/√(4x² − 1) ; pour |x| < ½ : f′(x) = 1 − 4x/√(1 − 4x²). La formule proposée n'est juste que sur ]−½, ½[, pas sur tout ℝ − {−½, ½} : faux.
• b) et d) En +∞ : f(x) − 3x = √(4x² − 1) − 2x → 0, asymptote y = 3x. En −∞ : f(x) + x = 2x + √(4x² − 1) → 0, asymptote y = −x. Ni y = x ni y = −3x : faux.
• c) f(0) = 0 + √1 = 1 et f′(0) = 1 − 0 = 1 : tangente y = x + 1 : vrai.

Exercice 14 — Réponse : c)

f∘g(x) = f(g(x)) = (e^x+1)² + 1 = e^2x+2 + 1.

• a) faux (e^x²+2 serait g∘f).
• b) (f∘g)′(x) = 2e^2x+2 : faux.
• c) (f∘g)′ > 0 sur ℝ : f∘g est croissante, vrai.
• d) e^x+1/(x² + 1) → +∞ (croissances comparées) : faux.

Exercice 15 — Aucune proposition n'est exacte telle qu'imprimée

• a) Par parties : ∫₁^e x ln x dx = [x²/2·ln x]₁^e − ∫₁^e x/2 dx = e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4, pas (e² + 1)/2 : faux.
• b) ∫₁² ln x/x² dx = [−ln x/x]₁² + ∫₁² dx/x² = −(ln 2)/2 + ½ = ½ − ln √2 : la valeur proposée ln(27/4) + 1 est fausse.
• c) ∫₂³ ln x dx = [x ln x − x]₂³ = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1 = ln(27/4) − 1 : la valeur proposée ½ − ln √2 est fausse.
• d) Une primitive de x²e^−x est −(x² + 2x + 2)e^−x ; ∫₀¹ = 2 − 5/e, pas 2 + 5/e : faux.

On remarque que la valeur exacte de b) (½ − ln √2) est imprimée en c), et que celle de c) est presque celle imprimée en b) (ln(27/4) − 1 au lieu de + 1) : les seconds membres ont manifestement été intervertis à la saisie. Telle qu'imprimée, aucune case n'est juste ; avec ce barème, ne rien cocher est la décision rationnelle.

Récapitulatif