نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM مكناس 2010 - الرياضيات

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Université Moulay Ismaïl
Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès

CONCOURS D’ENTREE en 1ère Année i

Filières : Sciences Mathématiques À et B

Epreuve de Mathématiques

27/07/10 - Durée : 2h 37mn

N.B. + La rédaction peut être en français ou en arabe
* La rigueur du raisonnement, la clarté de la rédaction et la qualité de la présentation seront
des éléments importants d’appréciation de la copie.

Toutes les réponses doivent figurer sur les feuilles de l’épreuve

1. Soit n € Z, démontrer que (Vk € Z, n° # 5k) = (V1 € Z, n # 51). (3Pts)

8 7

) › x Vx € IR et YVn € IN“ avec E (.) est la partie entière (3Pts)

2. Montrer que F (

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3. Soit n € IN*, montrer que )2 + V3)" +(2— v3)” est un entier pair. (3Pts)

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102
5. Montrer que PS 3 est un irrationnel. (3Pts)
1

‎TT eme ee 5‏ امس ها

‎6. On considère les suites (un), 1° © ‏«برريملمت)‎ définies comme suit :

Un +7 0

‎Montrer que Vn € IN, Un ‏ك‎ Un. (8Pts)

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7. On considère trois ensembles A, B et C. Montrer que (3Pts)
(AUBCAUCet ANBC AnC)=— 3

8. Soit f une fonction strictement monotone, dérivable et à dérivée continue sur [a, b}. Montrer que (3Pts)

b f(6)
a fa)

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| Questions à réponse précise, Partie I

| Répondre dans la colonne réponse

Question Réponse

Définir à l’aide d’une valeur absolue les en-
cadrements suivants : x € [-3,5] et x € [2,7]
(2Pts)

On considère la fonction f(x) = min (2°, 3),

(3Pts)

Soit x € [-2, 1] et y € [2,3], donner des en-
cadrements des quantités suivantes : x — y ,
—2x+yetæy  (3Pts)

Déterminer la valeur de A = EF (x) +E (-x) avec
E (.) est la partie entière (2Pts)

À l’aide des quantificateurs, écrire les proposi-
tions suivantes et préciser celles qui sont vraies:

(a) Aucun entier n’est supérieur à tous les
autres.  (2Pts)

(b) Il existe un entier multiple de tous les
autres. (2Pts)

(c) Certains réels sont supérieurs à leurs carrés.
(2Pts)

| Les propositions suivantes sont-elles vraies ou

fausses ?
(IPt)
(1IPt)
14
(c) Yx › 0, 7 € 17 On a ins € …R.
In(næ)
(1Pt)
f (2) = 2 — avec & € IR, la fonction f est
une bijection de IR sur |—1,1[. Déterminer f-1.
(2Pts)

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Questions à réponse précise, Partie II |

[ Répondre dans la colonne réponse E

Question Réponse
10

Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout

2
2 2
1661 2 # —1,on a TT 05 +b+ 71 (2Pts) |

Calculer la dérivée de (2Pts)
ni exp (2x) +1
st) ‏اده‎ (50 EH)

0 ٍ

On considère la fonction f définie par

—1 2 si
sur 5 + ‏من‎ | étudier la position de la courbe

(C;) de f par rapport à là droite (A) d'équation

Soit f :[0, 1] ‏جص‎ 18 dérivable vérifiant à (0) =
f (1). On définit ‏و‎ sur [0, 1] par

‎F (2x) si‏ ل اي

‎‹usi

‎vi+ D

‎Quelles hypothèses faut-il rajouter pour que 9
soit dérivable sur [0, 1] ? (2Pts)

‎Calculer 1 dæ.  (2Pts) |
6 +1

‎Résoudre dans IR l’équation : ‏“ام‎ = (V5)".

‎Soit ‏م‎ et ‏و‎ deux réels non nuls, on considère
l’équation x? + ‏و + مم‎ = 0 (*). Trouver les
valeurs de ‏م‎ et q pour lesquelles p et ‏و‎ sont ‏دمع‎
‎lutions de l’équation (*). (2Pts)

‎Eliminer 13 chiffres sur 21 de telle sorte que la
somme des 8 chiffres restant soit égale à 41

‎L (2Pts)

‏من كلم 0©
دن كلم 00
تبن 5 00
تن حم 00
‎œ so‏
‎œ su‏

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