نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM مكناس 2008 - الرياضيات

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‎Université Moulay Ismaïl‏ إ:
‎Ecole N'ationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès‏

‎CONCO URS D’ENTREE en lère Année

‎Filière : Sciences Mathématiques A et B

‎Epreuve de Mathématiques

‎Mardi 22/07/08 - Durée : 30 071

‎N.B. + La rédaction peut être en français ou en arabe
* La rigueur du raisonnement, la clarté de la rédaction et la qualité de la présentation seront
des éléments importants d’appréciation de la copie.

‎| Exercice 1 , Barème : 10 Pts (chaque question est notée sur 2Pts) ||

‎1.1 Résoudre le système des équations linéaires suivant : x + 2y + 3z = 0, 3x + + 22 - 1 et 2x +3y+z=2

‎1.2 Soit À, B et © trois ensembles non vide et on suppose que AN B = ANC et AUB = AUC. Que peut-on
dire de B et C ? (avec justification)

‎Q1.3 Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère les points À, B et C de coordonnés respectives
—1, 0), (2, 4) et (3, 3). Calculer l’aire du triangle ABC.

‎1.4 On considère l’énoncé P : “ Si le carreau est vert alors il est en marbre ”. Donner la négation de P.

‎1.5 Soit = € 18 et on considére l’équation : 2? +1 = 0. Nous pouvons encore l’écrire : (x + 1)? — 22 = 0 ou
(æ +1)? = 2x. Comme un carré est toujours positif ou nul, on en déduit : x › 0. Mais notre équation de départ
peut également s’écrire : (x — 1(2 + 2 =0 ou 22 = —(2— 1). Comme un carré est toujours positif ou nul, on en
déduit : x ‹ 0. On à vu que x › 0 et z ‹ 0, donc x = 0. Pourtant 0 ne vérifie pas l’équation de départ. Où est
l’erreur ? (avec explication)

‎Exercice II , Barème : 10 Pts (chaque question est notée sur 2Pts) |

‎100

‎2.1 Calculer E(x)dx
0

‎2.2 Soit f une fonction dérivable et sa dérivée est continue sur [@, b] avec a › b. On suppose que

‎; f4(x)dæ = 1 13)*(4« = 4 f*(æ)dx, montrer que f est constante sur [a, b]. (NB. f2(=) = f(=)f(=))

‎Z. Quelle valeur faut-il donner à‏ € م ‎avec‏ 7 - »)1 -ج

‎2.3 Soit f la fonction définie pour x # 1 par f (=) =

‎(1) pour rendre f continue en 1 ?
2

‎.4 Une petite fille compte sur ses doigts : 1 sur le pouce, 2 sur l’index, 3 sur le majeur, 4 sur l’annulaire, 5 sur
l’auriculaire, 6 sur l’annulaire, 7 sur le majeur, 8 sur l’index, 9 sur le pouce et ainsi de suite …

‎Son père lui demande ce qu’elle fait. “ Je veux savoir sur quel doigt tombera 9999 ” répond-elle. Pouvez-vous lui
donner la réponse ?

‎Q2.5 I] y à un an, Youssef avait l'âge “ à l’envers ” de sa mère (les mêmes chiffres lus dans l’autre sens). L’an
prochain, Youssef aura l’âge “ à l'envers de son père ”. Cette année la somme des âges des parents est égale à
102. Quel est l’âge actuel de Youssef ?

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Les réponses doivent figurer sur cette feuille de l’épreuve

1 Exercice III : QCM , Barème : 145

Attention : Afin de pénaliser les réponses basées sur le hasard, l’exercice est noté en entier de la
manière suivante : Notons par n et m respectivement le nombre de réponses justes et fausses. La note
attribuée à l’exercice sera :

n+2 sin › 10
n sim‹5
0 sim›5

“ La vie est complexe car nous avons tous une partie réelle et une partie imaginaire ”

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Q3.01 : Vr € IN, VYy € IN, 3z € IN, a = ‏عن‎

Q3.02 : 72 6 N, 3y 6 IN, 72 6 N, 2 =yz

Q3.03 : Sept cars (identiques) pleins aux deux tiers partent de Meknès à Fès, un quart des
touristes descend de chaque car. Les trois quarts des touristes restants sont rassemblés dans
trois cars.

Q3.04 : Le produit de deux fonctions négatives décroissantes est une fonction croissante | |

Q3.05 : Si à est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante
sur Ja, + oof, alors im f (æ) = —œo

Q3.06 : Une fonction ni continue ni monotone peut être bijective

1
Q3.07 : Soient les fonctions u (x) = Inæ et v (x) = et i on note par Duov Et Dyou les ensembles
pu ESS 2

de définition respectifs ‏عل‎ uov et vou. On à Duov = Duou

Q3.08 : On note F l’ensemble des applications f continues de JR dans IR vérifiant

La fonction ‏جرع‎ 27° appartient F

1 si x # 1 et telle que f (1) = 1 admet une

Q3.09 : La fonction f:2—x—1+
tangente en tout point de R

7/3 7/3
Q3.10 : On considère I; = 1 ces se et ‏و1‎ = |
— ‏ور‎ Sinæ ‏ورم‎ COST

sinæ

dæ, on a h = 1,

93.11 : L’équation 10x$ + x — 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [0]

Q3.12 : La fonction f définie sur IR par f (x) = — (2? + 30 +1) e” est une solution sur IR de
l'équation différentielle ‏أن‎ — y = (2x + 3) €

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Exercice IV : Questions à réponse précise, Barème : 12Pts |
| Répondre dans la colonne réponse

Barème

Q4.01 : Citer parmi les propositions A, B, C et D celles

2Pts ; an B: (PetQ)=—R
qui sont équivalentes ? 0: Pas )0 ‏جد‎ 7(
Q4.02 : Soit f : x — f (x) une fonction deux fois dévivable |
1Pt sur ]-1,1[ et soit la fonction F : ‏جرع‎ f (sint) définie sur

] › = ; : 1 Déterminer la dérivée seconde de F.

Q4.03 : Calculer lim vVaz+e+l-x
Q4.04 : On considère l’ensemble E = {a, b, c, d, e, f, 9}-

a) Déterminer le cardinal de l’ensemble P (E) des parties
2Pts de F.

b) Soient A = {a, b, d, f} un des sous.ensembles de E,

calculer le nombre d’applications de F dans À.

Q4.05 : Soit ‏و‎ la fonction définie sur l'intervalle ]
par :

opt 215) = (2+-Uin(a+0—{e-1inte—1

Calculer ‏او‎ (æ)

3
Q4.06 : Calculer l’intégrale / ln

44.07 : Déterminer l’ensemble f (I) dans les cas suivants :

2Pts —{ 651 Jo, 1]

Q4.08 : Soit A le point de coordonnées (1, — 2) et D la
1Pt droite d’équation 3x + 4y — 1 = 0. Calculer la distance de À

Q4.09 : Calculer la partie réelle et imaginaire du complexe

Q4.10 : Au fond d’un puits de 12 m se trouve un escargot.
Pendant la journée, il grimpe de 3 m. Mais chaque nuit,
il glisse de 2 m. Il commence son ascension le ler juin à 8
heures. Quel jour et quelle heure sortira-t-il du puits ?

1Pt

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