نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM مكناس 2006 - الرياضيات

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Université Moulay Ismaïl
Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès

CONCOURS D’ENTREE en 1ère Année

Filière : Sciences expérimentales et techniques

Epreuve de Mathématiques

Samedi 22/07/06 - Durée : 3h 33mn

Notions de base et raisonnement

1.1 La relation ‏جح م‎ g se lit ”si p, alors ‏.”و‎ Que signifie-t-elle ? (2Pts)

(1.a) p est une condition suffisante pour ‏و‎

(1.b) ‏و‎ est une condition nécessaire pour ‏م‎

(1.c) Pour que ‏و‎ soit vraie, il suffit que ‏م‎ soit vraie
(1.d) Pour que ‏م‎ soit vraie, il suffit que ‏و‎ soit vraie
(1.e) ‏و‎ est vraie si et seulement si ‏م‎ est vraie

(1.f) Pour que ‏و‎ soit fausse il faut que ‏م‎ soit fausse
(1.g) Pour que ‏و‎ soit fausse il suffit que ‏م‎ soit fausse

1.2 Principe de récurrence. Pour tout entier naturel n, soit P(n) une assertion portant sur n, et telle que
si P (n) est vraie, alors P (n +1) est aussi vraie. On suppose qu’il existe un entier no tel que P (no) soit
fausse. Quelles conclusions peut-on en tirer ? (2Pts)

(2.a) P (no — 1) est fausse
(2.b) P (n) est fausse pour tout entier n › 0
(2.c) P (no + 1) est fausse
(2.d) P (n) est fausse pour tout entier n › no

(2.e) P (n) est fausse pour tout entier n
1.3 Soient A, B, C et D quatre ensembles. Quelles sont les paires d’ensembles égales ? (2Pts)

(8.e) (A x B)U(B x D) et (AU B) x (CUD)

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Suites numériques

11.1 Soit la suite (un),e 1N = (")ne IN OÙ x est un nombre réel

I[.1.a On pose x › 1 et x = 1 + a avec a € 10, +oo[. Démontrer que (1 + a)" › 1 + na pour tout n › 2 et
n € IN. Déduire la limite de la suite (un),e y dUEnd n — +00. (1Pt)

11.1.5 On suppose que 0 › x › 1. Déduire de (IL.1.a) que À ‏متا‎ Un = 0. (1Pt)
11.1.6 Etudier la convergence de la suite (un),e 7v dans les cas où x = 1 et x ‹ 0. (2Pts)

11.2 On considère la suite de terme général : an = ( + =) x ( + 5) ‏ادك‎ ( + 5) avec n € IN”.
On pose b, = In (an) pour tout n € IN*. Sachant que Vx › 0 x — ai ‹In(1+x)‹ x, démontrer que

2 ns ‏ةا وم‎ Lin € IN" (2Pts)

11.3 Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. Etudier la convergence de la suite de terme général

aveen € IN (2Pts)

Fonctions réelles : Limites. Continuité. Dérivées. Primitives

111.1 Soit f (z)= ré avec x € IR

III.1.a Montrer que f est bornée sur JR. (1Pt)
111.1. Etudier la dérivabilité de 7. (1Pt)
ITI.1.c Etudier la parité de f. (1Pt)
III.1.d Montrer que f définit une bijection de /R sur [| -1,1]. (1Pt)
111.2 Soit la fonction f définie par
m+e-a
fe)=4 243 ‘
x ‹2
3
Déterminer les réels a, b pour que f soit continue en 2. (2Pts)

x ›2

111.3 Calculer la dérivée de la fonction t — In (— In (t)) avec t 610,1]. (1Pt)

111.4 Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné [a,b]. Soient x1, x2, ‹‹ En R valeurs
dans cet intervalle. Prouver qu’il existe un élément c de [a, b] tel que

111.5 Montrer que Vn € IN, 3!x, € ÆR / (x,)"Inæ, = 1. (2Pts)
111.6 Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0, 1] ps f (x) = cos (rx). Pour tout entier naturel n › 2, on pose
1 1 2

111.7 Soit f une fonction numérique définie et continue sur [a, b] et telle que pour tout réel x : f (x) = f (a+b-— ‏ع‎ ).
Proièrer que 1 td ‏إل م‎ f() dt. (1Pt)

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Dénombrement et arithmétique
sr mm ‏ب‎

IV.1 Dans une station-service deux distributeur sont placés côte à côte, on désigne l’un par G (gauche) et
l’autre par D (droite). 25 personnes se présentent successivement pour sortir une boisson. On désigne par
séquence” la suite, des choix successifs des usagers, mise sous la forme : GDGGGD ‹٠ (25 lettres G ou D).

IV.1.a Combien y a t-il de séquences distinctes possibles ? (1Pt)
IV.1.b Combien y a t-il de cas où 10 usagers se sont servis au distributeur de gauche ? (APt)

IV.2 On dispose de deux urnes contenant chacune 30 boules distinctes (par exemples numérotées). Combien y a
t-il de possibilités pour tirer 10 boules de la 198 urne et 15 boules de la gème ? (2Pts)

7210 x 4/64 xV65
VT8 x 1//256
IV.5 Soit A, B, 0 des réels tels que A + B + C = 7. Montrer que

sin À + sin B + sin C = 4cos (5) cos (3) cos (5) (1Pt) -

IV.4 Montrer que À = est un entier. (1Pt)

V.1 L'espace est muni d’une base orthonormale (7 7 F) . Déterminer l’ensemble des réels à tels que les

vecteurs 7° (2a, 1,0) et ‏أت‎ (—a, 3,4) soient orthogonaux. (1Pt)
V.2 Calculer le périmètre du trapèze de la figure gauche en fonction de a, b, h, 0 et ©. (1Pt)

V.3 Une courroie de transmission relie trois poulies dont les axes sont disposés en triangle rectangle. Les côtés
adjacents de l’angle droit ont pour largeurs respectivement 1.5m et 2m (voir la figure droite). Chaque poulie
à un diamètre de 1m. Quelle est la longueur de la courroie ? (2Pts)

Mathématiques amusantes

371.1 Le congrès des maths a vu se réunir les cha-maths (qui ont deux bosses des maths) et les dro-maths (qui
ont une seule bosse des maths). Lors du congrès, on a compté 56 pieds (sous les tables) et 45 bosses (au
dessus des tables). Combien y avait-il de cha-maths et de dro-maths (qui ont, les uns et les autres deux
pieds comme tout le monde !) ? (1Pt)

VI.2 Le nombre d’élèves ingénieurs à l’ENSAM au cours de l’année universitaire 2005 — 2006 est no. Si l'ENSAM
décide d'augmenter ce nombre de 5% chaque année. Déterminer le nombre d’années à partir de 2006 pour
que le nombre d’élèves double. (2Pts)

VI.3 12 poules mangent 36 kg de grain en 18 jours. 9 poules pondent 12 oeufs en 8 jours. Combien faut-il de
grain pour pondre 2006 oeufs ? (3Pts)

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