نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM مكناس 2005 - الرياضيات

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Université Moul ay Ismaïl
Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers — Meknès

|_ CONCOURS D’ENTREE en 1ère Année Ï

Filière : Sciences Maths A, B et Sciences & Techniques

| Epreuve de Mathématiques |

Vendredi 22/07/05 - Durée : 3h 28mn

I.1 Donner dans chacun des cas qui suivent la définition et une représentation graphique des propodtions suivantes

1.1. lim f 1) = = l avec l € R et a € D; (1Pt)
L1.b ‏متتل‎ f (æ) = l avec l E R (1Pt)

[1.c lim f (x) = +oo avec a € D; (1Pt)
1.0 lim f (æ) = —oo (1Pt)

1.2 Donner une condition suffisante pour que les propositions (I.1.a), (I.1.b), (I.1.c) et (I.1.d) ne soient ps vraies.
(4Pts)

1.3 Les réponses aux questions qui suivent doivent être justifiées et illustrées graphiquement.

1.3.a Est-ce que toute fonction continue sur un intervalle Ja, b{ est bornée sur le même intervalle ? (1Pt)
1.3.b Donner deux cas où une fonction est continue en un point xp € [a, b] et non dérivable ‏.معد‎ (1Pt)
I.3.c Peut-on avoir une fonction continue et dérivable sur [a, b} telle que

1.4 Soient f une fonction définie sur R et dérivable sur [a, b] et À = {x € 1 = [a,b] / f(x) =0}.
I.4.a Discuter, en justifiant, dans chacun des cas suivants la monotonie de f : 4-1, A= {a}, A={b},
1.4. Peut-on avoir À fini, À 7 Ÿ et f strictement monotone sur I ? (1Pt)
1.4.6 On considère la fonction
0. six=0
I.4.c1 Montrer que g est dérivable sur [0,1]. (2Pts)

I.4.c2 Montrer que ‏و‎ est strictement croissante sur [0,1]. (1Pt)
1.4.63 Donner A. Que peut-on déduire ? (2Pts)

1.5 Notons J = ]-a,a[ et définissons G (a, h) = 2h

limite (si elle existe) de G (a, h) quand ‏م‎ — 0.

où à € J. On appelle dérivée centrale de ‏و‎ la

I.5.a Montrer que si ‏و‎ est dérivable en a alors im f (a, h) existe et est égale à g’ (a). (2Pts)

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1.5.6 Dans le cas où g (x) = ‏م|‎ +2] et J = [-5,5
tout point. Que peut-on déduite ? Construire

étudier g et montrer que ‏و‎ admet une dérivée centrale en
un autre exemple illustrant votre déduction. (2Pts)
1.6 On considère l’ensemble B des Fonetibms non nulles de R dans R vérifiant

‎Montrer que Vh € B on a h est strictement positive. (2Pts)‏ 1.6.8

‎L.6.b Soit h vérifiant la relation su Discuter la ‏نس نسلا‎ ae selon 18 valeur de h bus GPre)

‎11.1 Etudier la convergence des suites de termes générales: 8 sous à

‎n? si sin (5 =) 24
12/ — 12 Pn
‎8 n ne ‏ب‎ sinon …. ass › On
7 +18
où Pn est le plus grand nombre premier strictement inférieur
strictement supérieur à n°. (3Pts)

‎à /n,et ‏مو‎ est le plus petit nombre premier
11.2 Soient (u,) et (v,) deux suites réelles.
11.2.2 Si — — +00, est ce que ‏من‎ — 0 ? (justifier) (1Pt)

‎11.2.5 Si =— 0, est ce que un — +o0 ? (justifier) (1Pt)
14
113

‎11.3.8 Donner un exemple où

‎Soient (sn) et (tn) deux suites réelles, supposons que lim Sntn =abet lim (sn — tn) = ‏فحن‎ avec (a, b) € IR?
b. (2Pts)

‎à (sn) et (tn) divergent et un autre cas où elles convergent respectivement vers a et
IT.3.b Supposons que 0 › sn › tn, montrer que ‏يرق‎ — à et Un — b. (3Pts)

‎11.4 Soit la fonction fa (x) = xe” — n avec x € R et n € N

‎IT.4.a Montrer que f, admet une racine positive unique notée r, (1Pt)
IT.4.b Etudier la convergence de (r,.) (2Pts)

‎11.4.6 Existe-t-il des valeurs de n telles que In (7) — In (ln (n)) ‹ 7, ‹ ln (n) ? (2Pts)
‎11.5 Montrer que la suite de terme Un = /

‎3 = 7 3, dt converge vers 0. (3Pts)
Exercice III

‎(PE rt
111.1 Soient z:, ‏و2‎ et 23 des nombres complexes quelconques. Montrer que

‎111.2 Un nombre z-est appelé algébrique s’il est solution d’une équation algébrique

‎= Où 60. ‹‹ ‏مه‎ sont des entiers.
Montrer que V3 + V2 et 4/4 - 2i sont algébriques (2Pts)

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١ Exercice VI : Divers À

Q 23. On dispose de 100 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donner à
l’enclos pour que celui-ci délimite une aire maximale ? (1IPt)

Q 24. Un magasin de location vidéo propose trois options :
Option 1 : abonnement 200 DH et 9 DH par cassette.
Option 2 : sans abonnement et 20 DH par cassette.
Option 3 : carte donnant droit à au plus 11 cassettes 200 DH

a) Calculer en fonction du nombre n de cassettes louées le prix total payé avec chacune des options. (1Pt)
b) Quelle est l’option la plus intéressante ? (1Pt)

Q 25. Une urne contient 20 boules : 13 vertes et 7 rouges. On tire successivement 3 boules au hasard, avec remise
de la boule tirée. Quelle est, la probabilité :
a) d’obtenir dans l’ordre deux rouges et une verte (événement RRV) ? (1Pt)
b) d’obtenir sans tenir compte de l’ordre deux rouges et une verte ? (1Pt)

Q 26. Un étudiant ensamien a dans sa poche 10 pièces de monnaie : 4 pièces 1 DH, 4 pièces 0.50 DH et 2 pièces
0.20 DH. Pour acheter un sandwitch de 3.7 DH. 1 tire de sa poche au hasard 5 pièces.
c) Quelle est la probabilité qu’il obtienne exactement 3.7 DH ? (1Pt)
d) Quelle est la probabilité qu’il obtienne une somme suffisante pour payer son achat ? (2Pts)

Q 27. Démontrer que tout entier n supérieur ou égal à 24 peut s’écrire sous la forme : 3(a,b) € N x IN /
n = 5a + 7b. (2Pts)

Q 28. Quelles doivent être les dimensions d’une boîte cylindrique de volume 1,6 dm* pour que sa surface totale

soit minimale. (2Pts)

29. Pour quoi le raisonnemert suivant est vrai ou faux ? Soit à démontrer que pour tout entier naturel n,
10” + 1 est divisible par 9. On a 107+} +1 = 10 x 107” +1 = (9 +1) 107 +1 = 9 x 107 + 107 + 1. Donc si
10” + 1 est divisible par 9, il en est de même de 10711 + 1 ce qui prouve le résultat. (1Pt)

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