نموذج مباراة ولوج المدرسة الملكية لمصلحة الصحة العسكرية ERSSM - الرياضيات

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات لمباراة الدخول إلى المدرسة الملكية لمصلحة الصحة العسكرية (سلك التلامذة الضباط). مدة الإنجاز: ساعة واحدة. السنة غير مطبوعة على الورقة. يتكوّن من ثلاثة تمارين: الأعداد العقدية (الجذور الرابعة ومعادلة من الدرجة الثانية)، المتتاليات الهندسية، ودراسة دالة مع حساب تكامل.

💡 قبل أن تبدأ: الأسئلة مترابطة: في التمرين 1، كل سؤال يمهّد للذي يليه ((√2 j)⁴ يعطي الجذور الرابعة، والمعادلة (I) تعطي المعادلة من الدرجة 8). استغل النتيجة السابقة بدل إعادة الحساب.

التمرين 1: الأعداد العقدية

α = 2(−1 + i√3) = −2 + 2i√3 ، j = −1/2 + i√3/2 ، مع j³ = 1.

1- أ: حساب (√2 j)⁴

(√2 j)⁴ = (√2)⁴ · j⁴ = 4 · j³ · j = 4j = 4(−1/2 + i√3/2) = −2 + 2i√3 = α.

1- ب: الجذور الرابعة للعدد α

z⁴ = α ⟺ z⁴ = (√2 j)⁴ ⟺ (z/(√2 j))⁴ = 1 ⟺ z/(√2 j) ∈ {1 ; i ; −1 ; −i}. الجذور الرابعة لـ α هي:

• z₀ = √2 j = −√2/2 + i√6/2
• z₁ = i√2 j = −√6/2 − i√2/2
• z₂ = −√2 j = √2/2 − i√6/2
• z₃ = −i√2 j = √6/2 + i√2/2

2- أ: حساب (3 − i√3)²

(3 − i√3)² = 9 − 6i√3 + (i√3)² = 9 − 6i√3 − 3 = 6 − 6i√3.

2- ب: حل المعادلة (I): z² + ᾱ z + 4α = 0

ᾱ = −2 − 2i√3. المميز:

Δ = ᾱ² − 16α = (−2 − 2i√3)² − 16(−2 + 2i√3) = (4 + 8i√3 − 12) + 32 − 32i√3 = 24 − 24i√3 = 4(6 − 6i√3) = [2(3 − i√3)]² = (6 − 2i√3)².

الحلول: z = (−ᾱ ± (6 − 2i√3))/2 = ((2 + 2i√3) ± (6 − 2i√3))/2

• z' = (8)/2 = 4
• z'' = (−4 + 4i√3)/2 = −2 + 2i√3 = α

تحقق: z' + z'' = 2 + 2i√3 = −ᾱ ، و z'·z'' = 4α. مجموعة الحلول: S = {4 ; α}.

3- حل المعادلة z⁸ + ᾱ z⁴ + 4α = 0

نضع Z = z⁴ فنحصل على المعادلة (I): Z = 4 أو Z = α.

• z⁴ = 4 = (√2)⁴: z ∈ {√2 ; i√2 ; −√2 ; −i√2}.
• z⁴ = α: الجذور الأربعة المحصل عليها في 1-ب.

للمعادلة إذن 8 حلول: √2 ، −√2 ، i√2 ، −i√2 ، −√2/2 + i√6/2 ، −√6/2 − i√2/2 ، √2/2 − i√6/2 ، √6/2 + i√2/2.

التمرين 2: متتالية هندسية

a > 0 ، (U_n) هندسية أساسها q > 0 وتحقق 8U₉ = a³U₆.

1- أ: q بدلالة a

U₉ = U₆·q³، إذن 8q³U₆ = a³U₆. نفترض U₆ ≠ 0 (وإلا كانت المتتالية منعدمة والعلاقة لا تحدد q): q³ = (a/2)³، وبما أن q > 0: q = a/2.

1- ب: قيم a التي تكون من أجلها للمتتالية نهاية منتهية

متتالية هندسية حدها الأول غير منعدم وأساسها موجب تتقارب إذا وفقط إذا كان q ≤ 1:

• 0 < a < 2 ⟺ 0 < q < 1: lim U_n = 0.
• a = 2 ⟺ q = 1: المتتالية ثابتة، lim U_n = U₀.
• a > 2 ⟺ q > 1: U_n تؤول إلى +∞ أو −∞ حسب إشارة U₀.

إذن للمتتالية نهاية منتهية إذا وفقط إذا كان 0 < a ≤ 2.

2- أ: S_n = U₀ + U₁ + … + U_n مع 0 < a < 3

• إذا كان a ≠ 2 (أي q ≠ 1): S_n = U₀·(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) = 2U₀·(1 − (a/2)ⁿ⁺¹)/(2 − a).
• إذا كان a = 2: S_n = (n + 1)U₀.

2- ب: نهاية S_n

• 0 < a < 2: (a/2)ⁿ⁺¹ → 0، إذن lim S_n = 2U₀/(2 − a).
• a = 2: lim S_n = +∞ إذا U₀ > 0 ، −∞ إذا U₀ < 0 ، و 0 إذا U₀ = 0.
• 2 < a < 3: (a/2)ⁿ⁺¹ → +∞ و 2 − a < 0، إذن S_n = 2U₀((a/2)ⁿ⁺¹ − 1)/(a − 2) تؤول إلى +∞ إذا U₀ > 0 وإلى −∞ إذا U₀ < 0.

التمرين 3: دراسة دالة

💡 تعبير الدالة في النسخة الممسوحة مطبوع بشكل مشوّش ومصحَّح باليد. نقرؤه f(x) = √(e^2x) + x = e^x + x، وهذه القراءة هي التي تتفق مع المعطى المرافق f(−0,6) ≈ 0 (e^−0,6 − 0,6 ≈ −0,05). التصحيح أدناه مبني على هذه القراءة (إجابة مرجّحة).

1- D_f والنهايات

e^2x > 0 لكل x، إذن D_f = ℝ، و f(x) = e^x + x.

• lim_x→−∞ f(x) = 0 + (−∞) = −∞
• lim_x→+∞ f(x) = +∞

2- المشتقة وجدول التغيرات

f'(x) = e^x + 1 > 0 لكل x ∈ ℝ: f تزايدية قطعاً على ℝ.

3- أ: الفروع اللانهائية

• عند −∞: f(x) − x = e^x → 0، إذن المستقيم (Δ): y = x مقارب مائل لـ C_f بجوار −∞، والمنحنى فوق (Δ) لأن e^x > 0.
• عند +∞: f(x)/x = e^x/x + 1 → +∞، إذن C_f يقبل فرعاً شلجمياً في اتجاه محور الأراتيب.

3- ب: إنشاء C_f

نقط مساعدة: f(0) = 1 (المنحنى يقطع محور الأراتيب في (0 ; 1))، f(1) = e + 1 ≈ 3,7، f(−0,6) ≈ 0 (نقطة تقاطع مع محور الأفاصيل، كما يطلب الاختبار). نرسم المقارب y = x، ثم منحنى تزايدياً يقترب من (Δ) من الأعلى عند −∞ ويرتفع بسرعة عند +∞. (الوحدة المقترحة في الورقة 2 cm.)

4- حساب I = ∫₀¹ f(x) dx

I = ∫₀¹ (e^x + x) dx = [e^x + x²/2]₀¹ = (e + 1/2) − 1 = e − 1/2 ≈ 2,22.