نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للكيمياء بالقنيطرة ENSC 2019 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques (QCM) du concours d'accès en 1^re année de l'École Nationale Supérieure de Chimie de Kénitra (ENSC), Université Ibn Tofail, session du mardi 3 septembre 2019. Durée : 1 heure. Pour chaque question, il faut cocher la bonne proposition parmi A, B, C, D. Les questions sont numérotées de Q26 à Q40, à la suite d'une autre matière ; la question Q35 n'apparaît pas sur le document. Voici une correction proposée.

💡 Une seule proposition est juste par question : dès que vous l'avez démontrée, passez à la suivante. En 1 heure pour 14 questions, visez environ 4 minutes par question.

Suite u₀ = 1, u_n+1 = u_n(1 + u_n)

Par récurrence, u_n ≥ 1 pour tout n, puisque u_n+1 = u_n + u_n² ≥ u_n ≥ 1.

Q26 → C. u_n+1 = u_n(1 + u_n) ≥ 2u_n car 1 + u_n ≥ 2. Les autres propositions sont fausses : u₀ = 1 n'est pas < 1, la suite est croissante, et u_n² ≥ u_n.

Q27 → B. u₀ = 1 = 2⁰ et u_n+1 ≥ 2u_n ≥ 2·2ⁿ, donc u_n ≥ 2ⁿ. En particulier u_n → +∞, ce qui élimine C et D.

Complexes a = (√3 − 1) + (√3 + 1)i et u = a/(2 + 2i)

Calcul de u : u = a(2 − 2i)/8 = [2(√3 − 1) + 2(√3 + 1) + i(2(√3 + 1) − 2(√3 − 1))]/8 = (4√3 + 4i)/8 = (√3 + i)/2 = e^iπ/6.
Donc arg a = π/6 + arg(2 + 2i) = π/6 + π/4 = 5π/12, et |a|² = (√3 − 1)² + (√3 + 1)² = 8, soit |a| = 2√2.

Q28 → A. arg(a²) = 2 × 5π/12 = 5π/6 [2π]. Les autres sont fausses : |a²| = 8, arg a ≠ 5π/3 et |a| = 2√2 ≠ 2.

Q29 → C. u = e^iπ/6. Les autres sont fausses : u² = e^iπ/3, arg u = π/6 et |u| = 1.

z = √3 − i et z′ = (1 + i)z

Q30 → C. z = 2e^−iπ/6 et 1 + i = √2e^iπ/4, donc z′ = 2√2e^{i(π/4 − π/6)} = 2√2(cos(π/12) + i sin(π/12)). Les autres sont fausses :

• A : z′ = (√3 + 1) + i(√3 − 1), les parties réelle et imaginaire sont inversées ;
• B : z n'est pas 2e^5iπ/6 ;
• D : par identification, cos(π/12) = (√3 + 1)/(2√2).

Probabilités

Q31 → D. Loi binomiale (n = 6, p = 1/2) : P(A) = C(6,3)/2⁶ = 20/64 = 5/16.

Q32 → C. Tirage simultané de 2 boules parmi 10, soit C(10,2) = 45 cas. Barème : blanche +5, rouge +2, verte −1.

• X = 7 (blanche + rouge) : 4 × 3 = 12 cas, P = 4/15 (donc A est fausse).
• X = 4 (blanche + verte, ou deux rouges) : 12 + 3 = 15 cas, P = 1/3 (donc B est fausse).
• X < 0 correspond seulement à deux vertes (X = −2) : C(3,2) = 3 cas, P = 3/45 = 1/15. C est juste.
• P(X ≥ 1) = 1 − 1/15 = 14/15 (donc D est fausse).

Étude de fonctions

Q33 → D. f(x) − (x + 1) = ln x/x² → 0 en +∞, donc (Δ) est asymptote. Les autres sont fausses :

• lim_+∞ f = +∞ ;
• lim_0⁺ f = −∞, car ln x/x² → −∞ ;
• f′(x) = 1 + (1 − 2ln x)/x³ = (x³ + 1 − 2ln x)/x³ : le signe devant ln x est « − », pas « + ».

Q34 → B. Quand x → 1⁺, (x + 1)/(x − 1) → +∞, donc g(x) → +∞. Les autres sont fausses :

• lim_+∞ g = +∞ ;
• g(−x) = −x + ln((x − 1)/(x + 1)) = −g(x) : g est impaire ;
• g′(x) = 1 + 1/(x + 1) − 1/(x − 1) = (x² − 3)/(x² − 1) s'annule en −√3 et en √3 : deux solutions.

Q35

Cette question ne figure pas sur le document : la page 1 s'arrête à Q34 et la page 2 commence à Q36.

Limites, dérivées, intégrales, suites

Q36 → B. |x sin(1/x)| ≤ |x| → 0. Les autres sont fausses :

• ln(1 − x)/x → −1 ;
• e^−1/x² → 0 ;
• (e^x² − 1)/x = x·(e^x² − 1)/x² → 0 × 1 = 0.

Q37 → C. En −∞, x + 1 → −∞ et e^−2x → +∞, donc f(x) → −∞. Les autres sont fausses :

• f′(x) = e^−2x − 2(x + 1)e^−2x = −(2x + 1)e^−2x ;
• f′ > 0 sur ]−∞, −1/2[, donc f y est croissante ;
• lim_+∞ f = 0.

Q38 → C. Intégration par parties : ∫₀^π t cos t dt = [t sin t]₀^π − ∫₀^π sin t dt = 0 − 2 = −2. Les autres sont fausses :

• ∫₁² dt/t² = 1/2 ;
• ∫₀¹ dt/(t + 1) = ln 2 ;
• ∫₀^π t sin t dt = [−t cos t]₀^π + ∫₀^π cos t dt = π.

Q39 → A. (n + 1)/n > 1, donc u_n > 0. Les autres sont fausses :

• u_n+1 − u_n = ln(n(n + 2)/(n + 1)²) : il manque le facteur n dans B ;
• la somme télescopique donne v_n = ln(n + 1), pas ln(n + 2) ;
• u_n → ln 1 = 0.

Q40 → D. Par récurrence u_n > 0, et u_n+1/u_n = e^−u_n < 1 ≤ 1. Les autres sont fausses : la suite est décroissante et positive, et elle n'est pas géométrique car le rapport e^−u_n varie avec n.