نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء 2004 - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée 2004 à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II). C'est un QCM en cinq parties (suites, nombres complexes, géométrie dans l'espace, probabilités, étude de fonction) où il faut entourer la ou les propositions justes. Voici une correction proposée, avec le calcul pour chaque question.

💡 Avant de commencer : la proposition « Autre réponse » n'est pas là pour décorer : dans ce sujet, elle est la bonne réponse à deux reprises. Faites le calcul avant de regarder les propositions.

I) Suite géométrique : u₁ = 16 et u₄ = 2

1. Réponse B : q = 1/2. u₄ = u₁ × q³, donc q³ = 2/16 = 1/8, d'où q = 1/2.
2. Réponse D : 32. S_n = u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q) = 16 × (1 − (1/2)ⁿ) / (1/2) = 32 × (1 − (1/2)ⁿ). Comme |q| < 1, (1/2)ⁿ tend vers 0 et S_n tend vers 32.

II) Équation z³ + (2 − i)z² + (i + 1)z + 6i + 2 = 0

1. Réponse C : z₁ = −2. Pour z = x réel, on sépare partie réelle et partie imaginaire :
   partie réelle : x³ + 2x² + x + 2 = (x + 2)(x² + 1) = 0, donc x = −2 ;
   partie imaginaire : −x² + x + 6 = 0, soit x = 3 ou x = −2.
   La seule valeur commune est x = −2.
2. Réponse C : z₂ = 2i − 1 et z₃ = −i + 1. On factorise par (z + 2) : z³ + (2 − i)z² + (1 + i)z + 2 + 6i = (z + 2)(z² − iz + 1 + 3i) (vérification : 2 × (1 + 3i) = 2 + 6i et (1 + 3i) + 2 × (−i) = 1 + i).
   Pour z² − iz + 1 + 3i = 0 : Δ = (−i)² − 4(1 + 3i) = −5 − 12i = (2 − 3i)² (car 4 − 9 − 12i = −5 − 12i).
   z = (i + 2 − 3i)/2 = 1 − i  ou  z = (i − 2 + 3i)/2 = −1 + 2i.

III) Plan (P) passant par A(2, 1, −1), de vecteur normal n(1, −2, −2)

1. Réponse E : autre réponse, x − 2y − 2z − 2 = 0. M(x, y, z) appartient à (P) si AM·n = 0 : (x − 2) − 2(y − 1) − 2(z + 1) = 0, soit x − 2y − 2z − 2 = 0. Vérification avec A : 2 − 2 + 2 − 2 = 0.
   La proposition B (x − 2y − 2z + 2 = 0) a le bon vecteur normal mais ne passe pas par A (2 − 2 + 2 + 2 = 4 ≠ 0) ; les propositions A, C et D ont pour vecteur normal (2, 1, −1), qui est le point A et non le vecteur n.
2. Réponse C : 1. d(B, P) = |x_B − 2y_B − 2z_B − 2| / √(1 + 4 + 4) = |−1 + 2 − 2 − 2| / 3 = 3/3 = 1.

IV) Probabilité

Réponse E : autre réponse, 0,56. L'infirmière n'intervient pas si elle n'intervient ni auprès du premier malade (probabilité 1 − 0,2 = 0,8) ni auprès du deuxième (1 − 0,3 = 0,7). Les interventions étant indépendantes : P = 0,8 × 0,7 = 0,56. La valeur 0,44 (proposition D) est la probabilité contraire, celle d'au moins une intervention ; 0,06 (proposition A) est la probabilité d'intervenir auprès des deux.

V) Fonction f(x) = x − x ln|x|

1. Réponse D : ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[. ln|x| est défini dès que |x| > 0, c'est-à-dire x ≠ 0.
2. Réponse C : −∞. Pour x > 0, f(x) = x(1 − ln x). Quand x tend vers +∞, x tend vers +∞ et (1 − ln x) vers −∞ : le produit tend vers −∞.
3. Réponse B : 0. Quand x tend vers 0, x ln|x| tend vers 0 (croissance comparée), donc f(x) tend vers 0 − 0 = 0.
4. Réponse D : sur ]0, +∞[, f '(x) = −ln x. Pour x > 0 : f '(x) = 1 − (ln x + x × 1/x) = 1 − ln x − 1 = −ln x.
   Sur ]−∞, 0[, le même calcul donne f '(x) = −ln(−x) : les propositions B et C sont fausses (et « ln x » n'a pas de sens pour x < 0).
5. Réponse C : y = −x + e. f(e) = e − e × ln e = 0 et f '(e) = −ln e = −1. Tangente : y = f '(e)(x − e) + f(e) = −(x − e) = −x + e.
6. Réponses B et D.
   • A, faux : sur ]1, +∞[, ln x > 0 donc f '(x) = −ln x < 0.
   • B, juste : sur ]0, 1[, ln x < 0 donc f '(x) > 0 et f est croissante.
   • C, faux : f est décroissante sur ]1, +∞[.
   • D, juste : f(x)/x = 1 − ln|x| tend vers −∞ quand x tend vers +∞ (et quand x tend vers −∞) : la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   • E, faux : f(−x) = −x + x ln|x| = −f(x). La fonction est impaire : la courbe est symétrique par rapport à l'origine, pas par rapport à la droite x = 0.
7. Réponse D : (e² + 1)/4. Intégration par parties avec u = ln x et v' = x (u' = 1/x, v = x²/2) :
   ∫₁^e x ln x dx = [x² ln x / 2]₁^e − ∫₁^e x/2 dx = e²/2 − [x²/4]₁^e = e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4.