نموذج مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء 2003 - الفيزياء

Ce modèle est l'épreuve de physique du concours d'entrée 2003 à la Faculté de Médecine de Casablanca (Université Hassan II). L'épreuve comporte 5 questions (optique, oscillateur mécanique, bobine, circuit LC, radioactivité) avec réponses à reporter dans des cadres. Données : g = 10 m/s², √10 = 3,16, ln2 = 0,69. Voici une correction proposée avec les calculs.

💡 Conventions : toutes les distances algébriques sont orientées dans le sens de propagation de la lumière, et pour les équations horaires, précisez toujours l'axe choisi : le signe de la phase en dépend.

1) Lentille mince

Nature de l'objet

OA = +3 cm > 0 : l'objet est situé après la lentille (dans le sens de la lumière) : c'est un objet virtuel.

Distance focale

Relation de conjugaison : 1/OA' − 1/OA = 1/OF'₁

1/OF'₁ = 1/4 − 1/3 = (3 − 4)/12 = −1/12 ⇒ OF'₁ = −12 cm : lentille divergente.

Vergence

C = 1/OF'₁ = 1/(−0,12 m) ⇒ C ≈ −8,3 δ.

Rayon de courbure

Lentille divergente à deux faces de même rayon (biconcave) : |C| = (n − 1)(1/R + 1/R) = 2(n − 1)/R.

R = 2(n − 1)/|C| = 2 × 0,5 × 0,12 = 0,12 m ⇒ R = 12 cm (avec n = 1,5, on a |f'| = R).

Deuxième lentille accolée

Pour la lentille 2, l'image A'B' (OA' = +4 cm) joue le rôle d'objet (virtuel). Son image A''B'' est à l'infini, donc A' est au foyer objet F₂ : OF₂ = +4 cm, d'où OF'₂ = −OF₂ = −4 cm.

Nature : OF'₂ < 0 ⇒ lentille divergente (C₂ = −25 δ).

Ensemble des deux lentilles accolées (théorème des vergences) : C = C₁ + C₂, soit 1/OF' = −1/12 − 1/4 = −4/12 ⇒ OF' = −3 cm.

Vérification : l'objet AB est à OA = +3 cm = OF (foyer objet du système), son image est bien à l'infini.

2) Oscillateur élastique

m = 0,1 kg ; k = 100 N/m ; l₀ = 20 cm ; compression initiale : x₀ = l₁ − l₀ = 12 − 20 = −8 cm.

a) Mouvement horizontal

• Énergie cinétique à t = 0 : le corps est lâché sans vitesse ⇒ E_c = 0.
• Énergie potentielle élastique : E_p = ½·k·x₀² = ½ × 100 × (0,08)² = 0,32 J.
• Vitesse en O (ressort à sa longueur à vide, E_p = 0) : sans frottement, E_m se conserve : ½·m·v² = 0,32 ⇒ v² = 6,4 ⇒ v = 8/√10 = 8/3,16 ≈ 2,53 m/s.
• Période propre : T₀ = 2π√(m/k) = 2π√(10⁻³) = 2π × 3,16×10⁻² ≈ 0,2 s (0,199 s). Pulsation : ω₀ = √(k/m) = √1000 = 10√10 ≈ 31,6 rad/s.
• Équation horaire (axe horizontal orienté de A vers B, origine O) : x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ). À t = 0 : x = −8 cm et v = 0 ⇒ X_m = 8 cm et φ = π :
  x(t) = 8×10⁻²·cos(31,6·t + π) (en m), soit x(t) = −0,08·cos(31,6·t).

b) Passage sur le rail AB puis l'arc BC

Le corps quitte le ressort en O avec v = 2,53 m/s (E_c = 0,32 J). Sans frottement, il monte sur l'arc de centre situé à la verticale de B, et s'arrête en M, repéré par l'angle θ entre la verticale et le rayon.

Hauteur de M au-dessus de B : h = r(1 − cosθ). Conservation de l'énergie mécanique entre O et M (v_M = 0) :

½·m·v² = m·g·r(1 − cosθ) ⇒ 0,32 = 0,1 × 10 × 0,4 × (1 − cosθ) ⇒ 1 − cosθ = 0,8

cosθ = 0,2 ⇒ θ ≈ 78,5°.

Réaction en M : 2^e loi de Newton projetée sur la normale (vers le centre) : R − m·g·cosθ = m·v_M²/r = 0 (le corps est à l'arrêt en M).

R = m·g·cosθ = 0,1 × 10 × 0,2 = 0,2 N, dirigée vers le centre du cercle.

c) Ressort sur le plan incliné (α = 30°)

Allongement à l'équilibre : projection sur la ligne de plus grande pente : k·Δl₀ = m·g·sinα

Δl₀ = 0,1 × 10 × 0,5/100 = 5×10⁻³ m ⇒ Δl₀ = 0,5 cm.

Période : l'inclinaison ne change que la position d'équilibre, pas la période : T₀ = 2π√(m/k) ≈ 0,2 s.

Équation horaire (axe orienté vers le bas de la pente, origine à la position d'équilibre) : X_m = 4 cm. À t = 0, le corps passe par l'équilibre (x = 0) en remontant (v < 0), car il a été tiré vers le bas puis lâché : cosφ = 0 et sinφ > 0 ⇒ φ = +π/2.

x(t) = 4×10⁻²·cos(31,6·t + π/2) (en m). Avec un axe orienté vers le haut, on obtiendrait φ = −π/2.

3) Bobine d'inductance L = 1 mH

Flux propre : Φ = L·i ⇒ Φ(t) = 10⁻³(t² + 3) Wb.

f.é.m. d'auto-induction : e = −dΦ/dt = −L·di/dt = −10⁻³ × 2t. À t = 1 s : e = −2×10⁻³ V = −2 mV.

4) Circuit LC

• Charge : Q = C·U = 10⁻⁶ × 100 = 10⁻⁴ C.
• Période propre : T₀ = 2π√(LC) = 2π√(10⁻² × 10⁻⁶) = 2π×10⁻⁴ ≈ 6,28×10⁻⁴ s (ω₀ = 1/√(LC) = 10⁴ rad/s).
• Charge : q(t) = Q·cos(ω₀t + φ) avec q(0) = Q et i(0) = 0 ⇒ φ = 0 : q(t) = 10⁻⁴·cos(10⁴·t) (C).
• Tension : u(t) = q(t)/C ⇒ u(t) = 100·cos(10⁴·t) (V).
• Énergie : E = ½·C·U² = Q²/(2C) = ½ × 10⁻⁶ × 10⁴ = 5×10⁻³ J. Elle est échangée entre condensateur et bobine sans perte (circuit idéal).

5) Radioactivité du radium 226

Équation

²²⁶₈₈Ra → ²²²₈₆Rn + ⁴₂He

Conservation du nombre de nucléons : 226 = 222 + 4 ; de la charge : 88 = 86 + 2. Désintégration α.

Neutrons du radon

N = A − Z = 222 − 86 = 136 neutrons.

Nombre de désintégrations par seconde (activité)

Nombre de noyaux dans 2,26 mg : N = m/m(noyau) = 2,26×10⁻⁶ kg / (226,0957 × 1,66×10⁻²⁷ kg) ≈ 6,02×10¹⁸ noyaux (ce qui revient à 2,26×10⁻³/226 = 10⁻⁵ mol).

A = |dN/dt| = λ·N = 10⁻¹¹ × 6,02×10¹⁸ ≈ 6,0×10⁷ Bq (désintégrations par seconde).

Perte de masse pour une mole

Par désintégration : Δm = m(Ra) − m(Rn) − m(He) = 226,0957 − 222,0866 − 4,003873 = 0,005227 u.

Pour une mole (1 u × N_A = 1 g) : Δm = 5,227×10⁻³ g = 5,227×10⁻⁶ kg.

Énergie libérée

Pour une mole : E = Δm·c² = 5,227×10⁻⁶ × (3×10⁸)² ≈ 4,7×10¹¹ J.

Par noyau : E = 0,005227 × 931,5 ≈ 4,87 MeV.

Période (demi-vie)

T = ln2/λ = 0,69/10⁻¹¹ = 6,9×10¹⁰ s, soit environ 2,2×10³ ans avec la valeur de λ donnée.