نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 1988 (المباراة المغربية المشتركة): الفيزياء - شعبة MM' لولوج مدارس المهندسين

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Concours Commun Marocain Session : 1988
Option : MM' Epreuve de Physique
N.B. : Les deux problèmes sont indépendants.
PREMIER PROBLEME :
ANALOGIES ENTRE OSCILLATEURS MECANIQUES ET ELECTRIQUES
1. Oscillations libres
1. Un pendule de torsion est réalisé avec une tige horizontale homogène A
suspendue en son milieu 0 à un fil de torsion dont l'autre extrémité A est
fixe (figure 1.1(. La constante du fil de torsion est C. Le moment d'inertie de
la tige par rapport à l'axe vertical de rotation est J. On repère la position de
la tige par rapport à sa position d'équilibre par l'angle 6. O 0
Etablir l'équation différentielle vérifiée par 0.
Figure 1
2. Un circuit est constitué d'une inductance L et d'une capacité 1١ en série 1 |
(figure [.2).
Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait la tension u aux bornes |
de la capacité. L | 1 u
Figure [2
3. On établit une correspondance entre d8/dt et 1 d'une part et entre J et L d'autre part. A quelle grandeur
correspond la constante de torsion C ?
IL. Oscillations forcées
1. La tige horizontale précédente est suspendue en son milieu 0 à un fil de
torsion vertical OA de constante C;. Un deuxième fil de torsion vertical
OB de constante C2 est fixé à la tige en 0. La position de la tige est
toujours repérée par l'angle 6 dans le plan horizontal à partir de sa Ci
position d'équilibre. On impose à l'extrémité À un mouvement de rotation ‏ل‎
‎autour de OA : ‏,(00005)00ح0‎ B restant fixe (figure I.3). k 0
On tient compte des forces de frottement exercées par l'air en les O
assimilant à un couple de moment -h(d8/dt)Kk, par rapport à O, ‏»ا‎ étant le
vecteur unitaire de l'axe de rotation et h une constante positive
indépendante de 6. C2
a. Etablir l'équation différentielle satisfaite par 6. B
b. On prend C1=C et C2=2C. Figure L.3
Déterminer l'amplitude angulaire 6, du mouvement lorsque le régime
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001-56 Physique MM' 8
permanent est atteint.
Application numérique : Calculer 8, avec les données suivantes
J=4,8.10* kg.m° ; C=4.10* m.N ; ‏او قحم‎ : h=2.10* m.Nss ; ©=1,4.
c. Déterminer la valeur de @ produisant l'amplitude maximale.
d. Quelle condition doit satisfaire le coefficient h pour que cette résonance puisse se produire ?
2. On réalise le circuit de la figure 1.4 comportant une inductance pure ‏مآ‎ À LR |
une capacité 1 une résistance R et une source de tension de force L
électromotrice e= 12000507 |
e 1 0
Figure 4
a. Etablir l'équation différentielle satisfaite par la tension u aux bornes de la capacité.
b. On établit la même correspondance que dans le IL, déterminer les grandeurs qui correspondent 1c1 à
Ch et Oo.
c. En déduire, en régime permanent, la pulsation de résonance du circuit et la condition sur R pour que
cette résonance ait lieu.
11]. Oscillateurs couplés non amortis
1. Deux tiges horizontales identiques entre elles et identiques à celles utilisées À
dans les questions précédentes sont reliées par des fils de torsion verticaux c
comme l'indique la figure 1.5.
Les constantes de raideur des fils sont C1 pour OA, ‏بل‎ pour O:B et C pour
O,0:. O, et ‏و0‎ sont les milieux des tiges. On repère les positions des tiges par
6, pour la tige supérieure 6, pour la tige inférieure à partir de leurs positions C
d'équilibre.
| ‏ل ل‎ 0 O 8
a. Ecrire le système d'équations différentielles satisfait par 6, et 6;.
b. On prend C,=C/2 et C:=2C.
Déterminer les pulsations propres de ce système couplé, c'est à dire les C
valeurs des pulsations communes aux angles 6, et 62. B
Figure I.5
2. Deux circuits inductance-capacité sont couplés comme l'indique la figure 1.6 par une capacité 1:
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TS 11 2 +
ui 11 1 u 12 u?
Figure L.6
a. Etablir le système d'équations différentielles du second ordre satisfait par les tensions u, et ‏ينا‎ aux
bornes des capacités 11 6117.
On utilisera le fait qu'à la date zéro : l'iui+lu2=0.
b. On établit la correspondance entre 00/0 et 1; d'une part et entre J et L d'autre part. À quelles
grandeurs correspondent C1, C2, C et 62.
c. Dans le cadre de cette correspondance, quelles sont, en fonction de 1, les valeurs prises par 11 et [2 si
Ci=C/2 et C2=2C ?
d. On se place dans le cas du c.
Ecrire les équations différentielles sous une forme qui permette de vérifier qu'elles satisfont bien à la
correspondance avec celles du 1.
En déduire les pulsations propres des circuits couplés.
DEUXIEME PROBLEME :
ETUDE D'UN AMPLIFICATEUR DE TENSION
Le but de ce problème est l'étude de l'amplificateur de ie
tension représenté ci-contre (figure IL. 1). à EL à is
L'amplificateur opérationnel utilisé est caractérisé par un : R>
gain À et une tension ‏ع‎ entre les entrées non inverseuse et ÿ y
inverseuse. Il fonctionne en régime linéaire. d 8
7. : 2 7. Figure IL. 1
1. Cas idéal : L'amplificateur opérationnel est idéal. ë
1. Préciser les valeurs prises alors par A et €.
2. Calculer le gain Go=v;/ve du dispositif.
3. Représenter l'amplificateur de tension avec la schématisation utilisée pour les opérateurs.
Dans toute la suite du problème l'amplificateur opérationnel n'est plus idéal, en particulier son gain A est fini.
En régime permanent sinusoïdal de pulsation @, le gain À de l'amplificateur opérationnel est complexe et les
grandeurs calculées sont donc éventuellement complexes.
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001-56 Physique MM' 10
IL. Calculs de l'impédance d'entrée et du gain de l'amplificateur de tension.
Dans cette partie on prend en compte le fait que la :
2 | : : : 2 le
résistance d'entrée ‏ما‎ de l'amplificateur opérationnel Fe
n'est pas infinie. Le schéma électrique de l'amplificateur / |
opérationnel est alors celui de la figure IL.2. £ Re
Ve Le ‏عط‎ Vs
Figure IL.2
1. On définit l'impédance d'entrée Z.=v./1..
Calculer ‏م‎ en fonction de ‏ما .رخا بط‎ et ‏مل‎
‎2. En déduire le gain G=v./v. de l'amplificateur de tension en fonction de Go, A, Re, Ri et R2.
3. Que devient l'expression de ‏م‎ si on tient compte du fait que A et R, sont très grands ?
4. À partir du résultat du 2. et en tenant compte du fait que ‏ملا‎ est grand donner l'expression de © en
fonction de ‏و6‎ et A.
IT. Calcul de l'impédance de sortie de l'amplificateur de tension
Pour ne pas obtenir une expression trop compliquée et ff :
sans signification, on tient compte du fait que ‏أي ما‎ très le FA 4
grand. Le schéma électrique de l'amplificateur
opérationnel est alors celui de la figure 11.3. On fait les R
calculs en prenant v.=0. Ë | 5
7 = 3 Vs
‎Figure 3
1. L'impédance de sortie ‏عل‎ l'amplificateur de tension est définie par ‏..ا/لمسحط‎ Calculer Y.=1/Z, en fonction
de ‏بط‎ Go, Ri, ‏وخا‎ et KR, résistance de sortie de l'amplificateur opérationnel.
2. À est toujours très grand et R, est toujours très petit. Donner l'expression de ‏م‎ en fonction de Go, A et
‎3. Représenter l'amplificateur de tension avec la schématisation utilisée pour les opérateurs en tenant
compte de son impédance d'entrée et de son impédance de sortie.
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001-56 Physique MM' 11
IV. Comportement en fréquence de l'amplificateur de tension
En régime permanent sinusoïdal de pulsation ‏,ره‎ le gain complexe A de l'amplificateur opérationnel est
donné par :
En . O
avec ‏مظ‎ réel, ‏270ح.0‎ et ‏1-حز‎
‎1. A partir de l'expression ‏عل‎ G trouvée en IL.4., mettre le gain ‏عل‎ l'amplificateur de tension sous la forme :
5 Fr.
avec ‏وذ‎ réel.
Donner l'expression littérale de ‏و اخ‎ en fonction de AG et Go ainsi que celle de ©, en fonction de ‏وله‎
‏مط‎ et Go.
2. Application numérique : A(=1 0° : f=10 Hz ; Ri=1 kQ ; R:=99 KQ. Calculer ‏ولط‎ et ‏م‎
‎3. Tracer dans un même système d'axes les asymptotes de Aa=20log|A| et de Gas=20log|G| en fonction de
log@.
4. Quelle est la relation simple entre Ai, ‏ى]‎ A'o et fe )© ‏27ج‎ 1٠. Commenter.
5. On se place dans le cas où @<<@..
a. En utilisant le résultat du IL.3. calculer la valeur numérique de [Z.|/R.
b. En utilisant le résultat du 111.2. calculer la valeur numérique de [Z/R+.
c. Commenter les résultats précédents.
V. Comportement de l'amplificateur de tension en régime transitoire
Pour t<0, on a v.=0 et v,=0. A t=0 on impose v.=E=10 mV.
1. Pourquoi peut-on obtenir l'équation différentielle vérifiée par v, à partir de la relation entre ‏.نا‎ et v, en
régime sinusoïdal permanent en remplaçant ‏دز‎ par dv./dt ?
2. Déterminer littéralement et numériquement v.(t) et en tracer le graphe.
3. Que pensez vous de la transmission du signal par l'amplificateur de tension ? La limitation peut-elle
provenir d'un autre phénomène ?
FIN DE L'ÉPREUVE
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