نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM 2013 - شعبة العلوم الرياضية - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours commun d'accès en première année des ENSAM de Meknès et Casablanca (Université Moulay Ismaïl / Université Hassan II), filières Sciences Mathématiques A et B, session du lundi 29 juillet 2013. Durée : 2 h 02 min. 23 questions indépendantes à réponse précise, chacune notée sur 2 points. Voici une correction proposée, question par question, avec le calcul qui mène au résultat.

💡 Une réponse « précise » se vérifie vite : remplacez une valeur particulière (n = 3, x = 0…) dans votre formule avant de la reporter. Ne restez jamais bloqué : chaque question vaut le même nombre de points.

Question 1 — Négations (Vrai / Faux)

1. Vrai : dans ℕ, « n n'est pas pair » équivaut à « n est impair ».
2. Faux : la négation de « f est paire » est « f n'est pas paire » ; une fonction peut n'être ni paire ni impaire (ex. x ↦ x + 1), et la fonction nulle est les deux.
3. Faux : Ali peut n'être ni Meknassi ni Casablancais ; la négation est « Ali n'est pas Meknassi ».
4. Faux : « ne voyage jamais sans bagages » signifie « voyage toujours avec des bagages » : q est équivalente à p, pas sa négation. La négation est « Mohammed voyage (au moins une fois) sans bagages ».

Question 2 — Système

Conditions : x > 0, y > 0. La 2e équation donne ln(x/y) = ln 2, donc x = 2y. Alors 4y² − y² = 12, y² = 4, y = 2 (y > 0), x = 4.

S = {(4 ; 2)}.

Question 3 — Progression arithmétique

On pose a = b − r, c = b + r. Alors a + b + c = 3b = 9, donc b = 3. (3 − r)³ + 27 + (3 + r)³ = 27 + 54 + 18r² = 81 + 18r² = 153, donc r² = 4, r = ±2.

S = {(1, 3, 5) ; (5, 3, 1)}.

Question 4 — sin(sin x) = 1

Il faudrait sin x = π/2 + 2kπ. Or |sin x| ≤ 1 < π/2 et |π/2 + 2kπ| ≥ π/2 pour tout entier k. Aucune solution : S = ∅.

Question 5 — Forme algébrique

(1 + i)/(2 − i) = (1 + i)(2 + i)/5 = (1 + 3i)/5, donc son carré vaut (1 + 6i − 9)/25 = (−8 + 6i)/25.
(3 + 6i)/(3 − 4i) = (3 + 6i)(3 + 4i)/25 = (9 + 12i + 18i − 24)/25 = (−15 + 30i)/25.

z = (−23/25) + i (36/25).

Question 6 — card(𝒫(𝒫({1,2})))

card 𝒫({1,2}) = 2² = 4, donc card 𝒫(𝒫({1,2})) = 2⁴ : n = 16.

Question 7 — A_n = ΣΣ max(i, j)

Pour k fixé, le nombre de couples (i, j) de {0,…,n}² tels que max(i, j) = k est (k + 1)² − k² = 2k + 1. Donc

A_n = Σ_k=0ⁿ k(2k + 1) = 2·n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 = n(n+1)[2(2n+1) + 3]/6.

A_n = n(n + 1)(4n + 5)/6 (contrôle : A₁ = 3, A₂ = 13).

Question 8 — B_n

k² − 1 = (k − 1)(k + 1) et k² + k − 6 = (k − 2)(k + 3). Donc B_n = ∏ (k−1)/(k−2) × ∏ (k+1)/(k+3), k = 3…n.

• ∏ (k−1)/(k−2) se télescope : (2/1)(3/2)…((n−1)/(n−2)) = n − 1.
• ∏ (k+1)/(k+3) = (4·5·…·(n+1)) / (6·7·…·(n+3)) = 4·5/((n+2)(n+3)).

B_n = 20(n − 1)/((n + 2)(n + 3)) (contrôle n = 3 : 8/6 = 4/3).

Question 9 — Longueur AM_n

On repère les points sur l'axe (A = 0, B = a) et on note x_n = AM_n. Avec x₀ = a (le point B) et x₁ = a/2, la construction donne x_n+2 = (x_n + x_n+1)/2 (c'est bien le cas pour M₂, milieu de [B, M₁]). Équation caractéristique 2r² − r − 1 = 0 : r = 1 ou r = −1/2. Donc x_n = α + β(−1/2)ⁿ ; x₀ = a et x₁ = a/2 donnent α = 2a/3, β = a/3.

AM_n = (a/3)·[2 + (−1/2)ⁿ] (contrôle : AM₂ = 3a/4, AM₃ = 5a/8). La suite tend vers 2a/3.

Question 10 — Domaine de définition

On pose t = √(x − 1) ≥ 0 (x ≥ 1), x = t² + 1.

• 10 − x − 6t = 9 − 6t − t² ≥ 0 ⇔ t² + 6t − 9 ≤ 0 ⇔ t ≤ −3 + 3√2.
• 5 − x − 4t = 4 − 4t − t² ≥ 0 ⇔ t² + 4t − 4 ≤ 0 ⇔ t ≤ −2 + 2√2.

La condition la plus forte est 0 ≤ t ≤ 2√2 − 2, soit 1 ≤ x ≤ 1 + (2√2 − 2)² = 13 − 8√2.

D_f = [1 ; 13 − 8√2] (≈ [1 ; 1,686]).

Question 11 — Fonctions croissantes et périodiques

Ce sont les fonctions constantes. Soit T > 0 une période et x < y. Il existe k ∈ ℕ tel que y ≤ x + kT ; la croissance donne f(x) ≤ f(y) ≤ f(x + kT) = f(x), donc f(y) = f(x). Réciproquement une constante est croissante et périodique.

Question 12 — g ∘ f

• x > 0 : f(x) = x + 3 > 3, donc g(f(x)) = x + 3.
• x = 0 : f(0) = 3 ≤ 3, donc g(3) = 7.
• −√3 ≤ x < 0 : f(x) = x² ∈ ]0 ; 3], donc g(f(x)) = 2x² + 1.
• x < −√3 : f(x) = x² > 3, donc g(f(x)) = x².

g∘f(x) = x² si x < −√3 ; 2x² + 1 si −√3 ≤ x < 0 ; 7 si x = 0 ; x + 3 si x > 0.

Question 13 — Allure d'une fonction

Une fonction continue avec f(0) = 0 et f(1) = 1 atteint toutes les valeurs de [0 ; 1] ; pour qu'elle ne soit pas bijective il suffit qu'elle ne soit pas injective, par exemple en « redescendant » sous 0 au début. Exemple : f(x) = x(2x − 1) = 2x² − x. Elle est continue, f(0) = 0, f(1) = 1, f(x) − x = 2x(x − 1) ≤ 0 sur [0 ; 1], et f(0) = f(1/2) = 0 (non injective). Allure : la courbe part de l'origine, descend jusqu'au minimum (1/4 ; −1/8), recoupe l'axe en x = 1/2 puis monte jusqu'à (1 ; 1), en restant sous la droite y = x.

Question 14 — Limite

√(x²) = |x| et sin x + tan x ~ 2x en 0. Donc le quotient tend vers 2 à droite et vers −2 à gauche : la limite L n'existe pas (limites à droite et à gauche différentes).

Question 15 — Polynômes tels que P(2t) = P′(t)P″(t)

Si deg P = n ≥ 2 et P ≠ 0, le degré à droite est (n − 1) + (n − 2) = 2n − 3, à gauche n, donc n = 3. Les cas deg P ≤ 2 donnent P″ constant ou nul : seule P = 0 convient (degré 2 : n = 2 ≠ 1, contradiction). Pour P = at³ + bt² + ct + d : coefficient de t³ : 8a = 3a·6a, donc a = 4/9 ; l'identification des autres coefficients donne b = c = d = 0 (vérification : P′P″ = (4/3)t² · (8/3)t = (32/9)t³ = P(2t)).

S = {0 ; (4/9)t³}.

Question 16 — F′(x)

u(x) = x + √(1 + x²) > 0 pour tout x (car √(1 + x²) > |x|), donc F est dérivable sur ℝ et u′(x) = 1 + x/√(1 + x²) = u(x)/√(1 + x²). Alors F′(x) = h′(u)·u′ = (1/u)·u/√(1 + x²).

F′(x) = 1/√(1 + x²).

Question 17 — g′(1), g réciproque de f

f′(x) = 3 / [2(x² + x + 1)^3/2] > 0 : f est strictement croissante, donc bijective sur son image. f(x) = 1 ⇔ 2x + 1 = √(x² + x + 1) ⇔ (2x + 1 ≥ 0 et 3x² + 3x = 0) ⇔ x = 0. Donc g(1) = 0 et f′(0) = 3/2.

g′(1) = 1/f′(0) = 2/3.

Question 18 — Encadrement de ln(1 + 1/x)

Par les accroissements finis appliqués à ln sur [x ; x + 1] : ln(x + 1) − ln x = 1/c avec x < c < x + 1, d'où 1/(x + 1) ≤ ln(1 + 1/x) ≤ 1/x.

a = 1, b = 1, c = 1, d = 0. (La réponse n'est pas unique : on a aussi l'encadrement plus fin 1/(x + 1/2) ≤ ln(1 + 1/x), soit a = 1, b = 1/2.)

Question 19 — Intégrale

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) est négatif seulement sur [2 ; 3]. Avec F(x) = x³/3 − 5x²/2 + 6x :

• ∫₀² = F(2) − F(0) = 14/3 ;
• ∫₂³ |…| = −(F(3) − F(2)) = 1/6 ;
• ∫₃¹¹ = F(11) − F(3) = 1243/6 − 9/2 = 608/3.

I = 14/3 + 1/6 + 608/3 = 415/2 = 207,5.

Question 20 — Minimum de x² + y² sous x + 2y = 5

x² + y² est le carré de la distance de l'origine au point (x, y) de la droite ; le minimum est le carré de la distance de O à la droite : (5/√(1 + 4))² = 5, atteint en (1 ; 2). (Par Cauchy-Schwarz : 25 = (x + 2y)² ≤ 5(x² + y²).)

min = 5, atteint en (x, y) = (1, 2).

Question 21 — Les mouchoirs

Un mouchoir : 0,25 × 0,25 = 0,0625 m². 6 / 0,0625 = 96 mouchoirs en 8 jours.

Moy/j = 12 mouchoirs.

Question 22 — La boîte de bonbons

Bonbons B, boîte P = B − 900 ; P + B = 1000 donc 2B − 900 = 1000, B = 950 g.

P = 50 g (et non 100 g, réponse réflexe fausse).

Question 23 — Obtenir 100

100 = 99 + 99/99 : le chiffre 9 écrit six fois, deux opérations (+ et ÷).