نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM 2011 - شعب العلوم التجريبية والتقنية (SPC-SVT-STE-STM) - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année de l'ENSAM de Meknès (Université Moulay Ismaïl), filières Sciences Expérimentales et Techniques, session du mardi 09/08/2011. Durée : 2 h 10. Trois parties de « questions à réponse précise » : partie I (1 pt par question), parties II et C (2 pts par question), réponses à écrire dans la colonne « Réponses ».

💡 On note un résultat exact : faites le calcul au brouillon et vérifiez-le sur un cas simple (n = 1 pour une somme, dérivation pour une primitive, développement pour une identité) avant de le recopier.

Partie I

1. Vrai ou faux ?

• (a) Faux. x ↦ x est croissante et x ↦ −x³ est décroissante, mais leur somme x − x³ n'est pas monotone (elle vaut 0 en −1, en 0 et en 1). La somme de deux fonctions de même sens de variation, elle, est monotone.
• (b) Faux. En x = 2, ln(x − 1) = 0 : le quotient n'est pas défini.
• (c) Faux. A = {1}, B = C = ∅ : (A ∪ B) ∩ C = ∅ mais A ∪ (B ∩ C) = {1}.
• (d) Vrai. L'hypothèse x² < 0 n'est jamais réalisée dans ℝ, donc l'implication est vraie.
• (e) Faux. √2 + (−√2) = 0 est rationnel.

2. Traduction avec des quantificateurs

• (a) ∀x ∈ [0, 5], ∀y ∈ [0, 5], f(x) = f(y) (ou ∃c ∈ ℝ, ∀x ∈ [0, 5], f(x) = c).
• (b) (∀(x, y) ∈ D_ψ², x < y ⇒ ψ(x) > ψ(y)) et (∀x ∈ D_ψ, ψ(x) ≥ 0).
• (c) ∃(x, y) ∈ E², x ≠ y et g(x) = g(y).
• (d) ∀n ∈ ℕ, ∃x ∈ ℝ, h(x) = n.
• (e) ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, y² = x (proposition fausse, mais c'est bien sa traduction).

Partie II

1. Point situé aux deux tiers de [P₁P₂] à partir de P₁

P = P₁ + (2/3)·P₁P₂ avec P₁P₂ = (14, 6) : x = −8 + 28/3 = 4/3, y = 5 + 4 = 9. P(4/3 ; 9).

2. Entiers a, b, c tels que (x − a)(x − 10) + 1 = (x + b)(x + c)

En x = 10 : 1 = (10 + b)(10 + c), produit de deux entiers égal à 1, donc 10 + b = 10 + c = 1 ou 10 + b = 10 + c = −1.

• b = c = −9 : (x − 9)² = x² − 18x + 81, à identifier avec x² − (a + 10)x + 10a + 1 ⇒ a = 8 (et 10a + 1 = 81 ✓).
• b = c = −11 : (x − 11)² = x² − 22x + 121 ⇒ a = 12 (et 10a + 1 = 121 ✓).

(a, b, c) = (8, −9, −9) ou (12, −11, −11).

3. Cardinal d'une réunion de trois ensembles

card(E ∪ F ∪ G) = card E + card F + card G − card(E ∩ F) − card(E ∩ G) − card(F ∩ G) + card(E ∩ F ∩ G).

4. A = {x ∈ ℝ / 2 ≤ |x| < 4}

A = ]−4, −2] ∪ [2, 4[.

5. Domaine x² + y² + 2y ≤ 3, x + y ≤ 0, x > −1

• x² + (y + 1)² ≤ 4 : disque fermé de centre Ω(0, −1) et de rayon 2.
• x + y ≤ 0 : demi-plan au-dessous de la droite y = −x (droite incluse).
• x > −1 : demi-plan à droite de la droite x = −1 (droite exclue, à tracer en pointillés).

La droite y = −x coupe le cercle en ((1 − √7)/2 ; (√7 − 1)/2) ≈ (−0,82 ; 0,82) et ((1 + √7)/2 ; −(1 + √7)/2) ≈ (1,82 ; −1,82) ; la droite x = −1 le coupe en (−1 ; −1 ± √3), soit ≈ (−1 ; 0,73) et (−1 ; −2,73). Le domaine est la partie du disque comprise à droite de x = −1 et sous y = −x, limitée par : le segment vertical x = −1 de (−1 ; −2,73) à (−1 ; 0,73) (exclu), un petit arc de cercle jusqu'à (−0,82 ; 0,82), le segment de la droite y = −x jusqu'à (1,82 ; −1,82), puis le grand arc inférieur du cercle qui revient en (−1 ; −2,73).

6. Faire 21 avec 1, 5, 6 et 7

6 / (1 − 5/7) = 21 (1 − 5/7 = 2/7, et 6 × 7/2 = 21).

7. B = ((1 + i√3)/(1 − i))²⁰

1 + i√3 = 2e^iπ/3, 1 − i = √2 e^−iπ/4, quotient √2 e^i7π/12. B = 2¹⁰e^i35π/3 = 1024 e^−iπ/3. B = 512 − 512√3 i.

8. α = Σ_k=1ⁿ(2^k + 3^k+2)/5^k+1

α = (1/5)Σ(2/5)^k + (9/5)Σ(3/5)^k, avec Σ_k=1ⁿq^k = q(1 − qⁿ)/(1 − q). α = (2/15)(1 − (2/5)ⁿ) + (27/10)(1 − (3/5)ⁿ) (vérification n = 1 : 29/25).

9. β = Σ_k=1ⁿ(2k + 7)

β = n(n + 1) + 7n = n² + 8n.

10. Division de 20xy + 5y² − 10y − 12x + 6 par 5y − 3

Division suivant les puissances décroissantes de y (x paramètre) : 5y² + (20x − 10)y + (6 − 12x) = (5y − 3)(y + 4x − 7/5) + 9/5. Quotient : y + 4x − 7/5 ; reste : 9/5. Vérification : (5y − 3)(y + 4x − 7/5) = 5y² + 20xy − 10y − 12x + 21/5, et 21/5 + 9/5 = 6.

Partie C

1. Valeurs de β pour une racine unique de x² + √x − β = 0 dans [0, 1]

φ(x) = x² + √x est continue et strictement croissante sur [0, 1], φ(0) = 0, φ(1) = 2 : bijection de [0, 1] sur [0, 2]. β ∈ [0, 2].

2. f telle que g∘f(x) = 2|x|

g est injective, prend les valeurs ]0, 1[ sur ]−∞, 0[ (e^y) et [1, +∞[ sur [0, +∞[ (√(y + 1)).

• |x| ≥ 1/2 : √(f(x) + 1) = 2|x| ⇒ f(x) = 4x² − 1 ;
• 0 < |x| < 1/2 : e^f(x) = 2|x| ⇒ f(x) = ln(2|x|) ;
• x = 0 : g ne prend pas la valeur 0, f n'est pas définie en 0 (f est définie sur ℝ*).

3. ∫ t³cos(t²)dt

u = t² : ½∫u cos u du = ½(u sin u + cos u). ½(t² sin t² + cos t²) + C.

4. F(x) = ∫₀^x f(t)dt sur [0, 3]

• x ∈ [0, 2] : F(x) = (e^x² − 1)/2 (les valeurs ponctuelles de f en 0 et 2 n'interviennent pas).
• x ∈ ]2, 3] : F(x) = (e⁴ − 1)/2 + ln((1 + x²)/5).

5. Relation entre I_n et I_n−1

Par parties : I_n = e²/2 − (n/2)I_n−1.

6. Dérivée de f(x) = x ln|x + 1|

Sur ℝ \ {−1} : f'(x) = ln|x + 1| + x/(x + 1).

7. Asymptote en +∞ de f(x) = (2e^x + 1)/(1 − e^x)

f(x) = (2 + e^−x)/(e^−x − 1) → −2 : y = −2.

8. lim_x→+∞(2x + 1)/∛(x³ + 3x)

∛(x³ + 3x) ~ x : limite 2.

9. |E(x)| = 3

S = [−3, −2[ ∪ [3, 4[.

10. sin²x + (√3/2)sin x = 0 sur [0, 2π[

sin x = 0 ou sin x = −√3/2 : S = {0 ; π ; 4π/3 ; 5π/3}.