نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM 2011 - شعبة العلوم الرياضية - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année de l'ENSAM de Meknès (Université Moulay Ismaïl), filière Sciences Mathématiques A et B, session du mardi 09/08/2011. Durée : 2 h 10. Trois parties de « questions à réponse précise » : partie I (1 pt par question), parties II et III (2 pts par question). Les réponses s'écrivent directement dans la colonne « Réponses ».

💡 Ici on note un résultat exact, pas une rédaction. Faites le calcul au brouillon, puis vérifiez le résultat sur un cas particulier (n = 1 pour une somme, une valeur de x pour une primitive) avant de le recopier.

Partie I

1. Vrai ou faux ?

• (a) Faux. Vrai pour un ensemble fini, faux en général : n ↦ n + 1 est injective de ℕ dans ℕ mais 0 n'a pas d'antécédent.
• (b) Faux. Pour x = 2, ln(x − 1) = ln 1 = 0 : le quotient n'est pas défini.
• (c) Faux. Contre-exemple : A = {1}, B = C = ∅ ; (A ∪ B) ∩ C = ∅ alors que A ∪ (B ∩ C) = {1}. (L'égalité n'est vraie que si A ⊂ C.)
• (d) Vrai. L'hypothèse x² < 0 est toujours fausse dans ℝ ; une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie.
• (e) Faux. √2 et −√2 sont irrationnels, leur somme 0 est rationnelle.

2. Traduction avec des quantificateurs

• (a) ∀x ∈ [0, 5], ∀y ∈ [0, 5], f(x) = f(y) (ou : ∃c ∈ ℝ, ∀x ∈ [0, 5], f(x) = c).
• (b) ∃(x, y) ∈ E², x ≠ y et g(x) = g(y).
• (c) ∀n ∈ ℕ, ∃x ∈ ℝ, h(x) = n.
• (d) ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, y² = x (proposition fausse, puisque −1 n'a pas de racine carrée réelle, mais c'est bien sa traduction).
• (e) ∀(x, y, z) ∈ ℝ³, xy ≥ 0 ou xz ≥ 0 ou yz ≥ 0.

Partie II

1. Polynômes tels que P(x²) = (x² + 1)P(x)

P = 0 convient. Sinon, en comparant les degrés : 2n = n + 2, donc n = 2. Posons P = ax² + bx + c : P(x²) = ax⁴ + bx² + c et (x² + 1)P(x) = ax⁴ + bx³ + (a + c)x² + bx + c. Par identification : b = 0 et b = a + c, donc c = −a. Réponse : P = a(x² − 1), a ∈ ℝ. Vérification : a(x⁴ − 1) = a(x² + 1)(x² − 1).

2. 198x + 216y = 36 dans ℤ²

pgcd(198, 216) = 18, qui divise 36 : on simplifie en 11x + 12y = 2. Solution particulière : (−2, 2) puisque −22 + 24 = 2. Par différence, 11(x + 2) = −12(y − 2) ; 11 et 12 étant premiers entre eux (Gauss), x + 2 = 12k et y − 2 = −11k. S = {(−2 + 12k ; 2 − 11k), k ∈ ℤ}.

3. Cardinal d'une réunion de trois ensembles

card(E ∪ F ∪ G) = card E + card F + card G − card(E ∩ F) − card(E ∩ G) − card(F ∩ G) + card(E ∩ F ∩ G) (formule de Poincaré / inclusion-exclusion).

4. A = {x ∈ ℝ / 2 ≤ |x| < 4}

A = ]−4, −2] ∪ [2, 4[.

5. Faire 21 avec 1, 5, 6 et 7

6 / (1 − 5/7) = 21, car 1 − 5/7 = 2/7 et 6 × 7/2 = 21.

6. B = ((1 + i√3)/(1 − i))²⁰

1 + i√3 = 2e^iπ/3 et 1 − i = √2 e^−iπ/4, d'où le quotient √2 e^i7π/12. B = (√2)²⁰e^i140π/12 = 1024 e^i35π/3 = 1024 e^−iπ/3 (car 35π/3 = 12π − π/3). B = 512 − 512√3 i.

7. α = Σ_k=1ⁿ (2^k + 3^k+2)/5^k+1

α = (1/5)Σ(2/5)^k + (9/5)Σ(3/5)^k, avec Σ_k=1ⁿq^k = q(1 − qⁿ)/(1 − q).

α = (2/15)(1 − (2/5)ⁿ) + (27/10)(1 − (3/5)ⁿ). Vérification pour n = 1 : (2 + 27)/25 = 29/25, et la formule donne (2/15)(3/5) + (27/10)(2/5) = 2/25 + 27/25 = 29/25.

8. β = Σ_k=1ⁿ(2k + 7)

β = 2·n(n + 1)/2 + 7n = n² + 8n (n = 1 : 9 ✓).

9. Distance de A à (BC)

Le vecteur BC = (6, 2) est colinéaire à (3, 1) ; une équation de (BC) est x − 3y + 5 = 0 (B : −2 − 3 + 5 = 0 ; C : 4 − 9 + 5 = 0). d = |2 − 12 + 5|/√(1 + 9) = 5/√10 = √10/2 ≈ 1,58.

10. Limite de u₁ = √2, u₂ = √(2√2), …

u_n+1 = √(2u_n), et u_n = 2^{1/2 + 1/4 + … + 1/2n} = 2^{1 − 1/2n} → 2 (c'est aussi la solution positive de ℓ = √(2ℓ)).

Partie III

1. sin²x + (√3/2)sin x = 0 sur [0, 2π[

sin x(sin x + √3/2) = 0 ⇒ sin x = 0 (x = 0 ou π) ou sin x = −√3/2 (x = 4π/3 ou 5π/3). S = {0 ; π ; 4π/3 ; 5π/3}.

2. |E(x)| = 3

E(x) = 3 ⇔ x ∈ [3, 4[ ; E(x) = −3 ⇔ x ∈ [−3, −2[. S = [−3, −2[ ∪ [3, 4[.

3. lim_x→+∞ (2x + 1)/∛(x³ + 3x)

∛(x³ + 3x) = x∛(1 + 3/x²) ~ x, donc la limite vaut 2.

4. Asymptote en +∞ de f(x) = (2e^x + 1)/(1 − e^x)

On divise par e^x : f(x) = (2 + e^−x)/(e^−x − 1) → −2. Asymptote horizontale y = −2.

5. Dérivée de f(x) = x ln|x + 1|

f est dérivable sur ℝ \ {−1} et f'(x) = ln|x + 1| + x/(x + 1) (rappel : (ln|u|)' = u'/u).

6. Relation entre I_n et I_n−1

Par parties avec u = xⁿ, v' = e^2x : I_n = [xⁿe^2x/2]₀¹ − (n/2)∫₀¹xⁿ⁻¹e^2xdx, soit I_n = e²/2 − (n/2)I_n−1.

7. F(x) = ∫₀^x f(t)dt sur [0, 3]

f est continue par morceaux (les valeurs ponctuelles en 0 et 2 ne changent pas l'intégrale).

• Pour x ∈ [0, 2] : F(x) = ∫₀^x t e^t²dt = (e^x² − 1)/2 ; en particulier F(2) = (e⁴ − 1)/2.
• Pour x ∈ ]2, 3] : F(x) = F(2) + ∫₂^x 2t/(1 + t²)dt = (e⁴ − 1)/2 + ln((1 + x²)/5).

8. ∫ t³cos(t²)dt

Avec u = t² (du = 2t dt) : ½∫u cos u du = ½(u sin u + cos u). Primitive : ½(t² sin t² + cos t²) + C (sa dérivée redonne bien t³cos t²).

9. f telle que g∘f(x) = 2|x|

g prend les valeurs ]0, 1[ sur ]−∞, 0[ (g = e^y) et [1, +∞[ sur [0, +∞[ (g = √(y + 1)), et elle est injective. Donc :

• si 2|x| ≥ 1, c'est-à-dire |x| ≥ 1/2 : √(f(x) + 1) = 2|x| ⇒ f(x) = 4x² − 1 (≥ 0, cohérent) ;
• si 0 < 2|x| < 1, c'est-à-dire 0 < |x| < 1/2 : e^f(x) = 2|x| ⇒ f(x) = ln(2|x|) (< 0, cohérent) ;
• en x = 0 : g ne prend jamais la valeur 0, donc f n'est pas définie en 0 ; f est définie sur ℝ*.

10. Valeurs de β pour une racine unique de x² + √x − β = 0 dans [0, 1]

φ(x) = x² + √x est continue et strictement croissante sur [0, 1], avec φ(0) = 0 et φ(1) = 2 : c'est une bijection de [0, 1] sur [0, 2]. L'équation φ(x) = β a une solution unique dans [0, 1] si et seulement si β ∈ [0, 2].