نموذج امتحان الكفاءة المهنية لولوج درجة تقني من الدرجة الأولى - وزارة الأوقاف والشؤون الإسلامية 2017 - الاختبار الكتابي - تخصص الطبوغرافيا

Ce sujet est l'épreuve écrite de l'examen d'aptitude professionnelle pour l'accès au grade de technicien de 1^er grade, option topographie, du Ministère des Habous et des Affaires Islamiques, session du 31 décembre 2017. Durée : 3 heures, coefficient : 4. Trois questions : calcul de surface et implantation (6 pts), cheminement et changement de repère (10 pts), cours (4 pts). Correction proposée ci-dessous, calculs détaillés.

💡 Conventions utilisées : gisement G compté en grades depuis l'axe des Y (nord Lambert) dans le sens des aiguilles d'une montre ; G = arctan(ΔX/ΔY), corrigé selon le quadrant. Pour alléger les calculs, on travaille en coordonnées réduites : x = X − 388 000, y = Y − 406 200.

Question 1 (6 points)

a) Surface du terrain

Coordonnées réduites (m) : B10 (28,48 ; 34,67), B11 (91,03 ; 23,93), B12 (91,66 ; 27,91), B13 (97,12 ; 26,94), B14 (113,63 ; 124,58), B15 (67,78 ; 132,43), B16 (45,70 ; 136,21).

Formule des coordonnées (Gauss) : 2S = Σ x_i (y_i+1 − y_i−1), en parcourant B10 → B11 → … → B16 → B10.

Contrôle (sans réduire) : Σ x_i(y_i+1 − y_i−1) donne le même total, puisque Σ (y_i+1 − y_i−1) = 0.

Surface en projection Lambert : S_L = 7 079,43 m² (≈ 70 a 79 ca).

Correction de surface : CS = +4,7 ca/ha, soit +4,7 m² par 10 000 m² :
ΔS = 7 079,43 × 4,7 / 10 000 = +3,33 m² → surface terrain S_T = 7 082,76 m².

b) Coût d'achat

Le prix s'applique à la surface réelle (terrain) : 7 082,76 × 1 000 = 7 082 760 DH (environ 7,08 millions de dirhams). Sans la correction Lambert, on aurait 7 079 430 DH : la différence (≈ 3 330 DH) montre l'intérêt de la correction.

c) Implantation de B15 depuis B10, référence B16

Gisement B10 → B16 : Δx = 45,70 − 28,48 = 17,22 ; Δy = 136,21 − 34,67 = 101,54
G = arctan(17,22 / 101,54) = 10,6946 gr (1^er quadrant).

Gisement B10 → B15 : Δx = 67,78 − 28,48 = 39,30 ; Δy = 132,43 − 34,67 = 97,76
G = arctan(39,30 / 97,76) = 24,3337 gr (1^er quadrant).

Angle d'implantation (station B10, zéro sur B16, sens horaire) :
α = G(B10→B15) − G(B10→B16) = 24,3337 − 10,6946 = 13,6392 gr.

Distance : D_L = √(39,30² + 97,76²) = 105,364 m (en projection).
Correction CL = +23 cm/km = +2,3 × 10⁻⁴ : ΔD = 105,364 × 0,00023 = +0,024 m → distance à implanter sur le terrain D_T = 105,388 m.

Procédure : stationner B10, viser B16 et afficher 0,0000 gr (ou 10,6946 gr si l'on oriente en gisements), tourner de 13,6392 gr dans le sens horaire, porter 105,39 m horizontaux sur cette direction et matérialiser B15. Contrôle conseillé : B15 doit se trouver sur l'alignement B16–B14 (gisements B16→B15 et B16→B14 tous deux ≈ 110,79 gr).

Question 2 (10 points)

a) Gisement de départ

A (100 000,00 ; 100 000,00) et R (100 000,00 ; 101 000,00) : ΔX = 0, ΔY = +1 000 → G(AR) = 0,000 gr (R est plein nord de A).

b) Transmission des gisements

Avec des angles mesurés dans le sens des gisements depuis la direction arrière : G(suivant) = G(arrière) + angle, avec G(arrière) = G(précédent) + 200 gr (modulo 400).

• G(AB) = G(AR) + 100,000 = 100,000 gr
• G(BC) = G(BA) + 105,555 = (100,000 + 200) + 105,555 = 405,555 → 5,555 gr
• G(CD) = G(CB) + 320,000 = 205,555 + 320,000 = 525,555 → 125,555 gr
• G(DE) = G(DC) + 108,888 = 325,555 + 108,888 = 434,443 → 34,443 gr

c) Coordonnées des points

ΔX = D·sin G ; ΔY = D·cos G.

Le croquis n'est pas à l'échelle ; les résultats découlent uniquement des données numériques (cheminement lancé, sans point d'arrivée connu, donc sans compensation possible).

d) Distance AE

ΔX = 137,814 ; ΔY = 60,516 → AE = √(137,814² + 60,516²) = 150,52 m (gisement G(AE) ≈ 73,66 gr).

e) Surface du triangle BCD

2S = |(X_C − X_B)(Y_D − Y_B) − (X_D − X_B)(Y_C − Y_B)|
= |4,619 × 26,229 − 67,213 × 52,798| = |121,15 − 3 548,76| = 3 427,61
→ S(BCD) ≈ 1 713,80 m².
Vérification par les côtés : S = ½ · BC · CD · sin(angle en C) = ½ × 53 × 68 × sin Ĉ, avec Ĉ = G(CB) − G(CD) = 205,555 − 125,555 = 80 gr ; d'où S = 1 802 × 0,9511 = 1 713,8 m².

f) Formule de passage entre les deux systèmes

Changement de repère = rotation d'angle α = 50 gr suivie d'une translation (T_X = 200 000,00 m ; T_Y = 300 000,00 m), sans facteur d'échelle :

X' = T_X + X·cos α − Y·sin α
Y' = T_Y + X·sin α + Y·cos α

avec cos 50 gr = sin 50 gr = √2/2 ≈ 0,707107. (Si la rotation est comptée dans le sens des gisements, on change le signe des termes en sin α ; la forme reste une similitude de rapport 1.)

g) La distance AE et la surface BCD changent-elles ?

Non. Une rotation suivie d'une translation est une isométrie (transformation rigide, rapport d'échelle k = 1) : elle conserve les distances, les angles et donc les surfaces. AE reste 150,52 m et S(BCD) reste 1 713,80 m² ; seuls les coordonnées et les gisements changent (tous les gisements sont décalés de α).

Question 3 (4 points)

a) Fonctions de la géodésie

• Fonction scientifique : déterminer la forme et les dimensions de la Terre (ellipsoïde, géoïde), son champ de pesanteur et leurs variations dans le temps (mouvements de la croûte, rotation).
• Fonction pratique : fournir un canevas de points connus avec précision (réseaux de triangulation, de nivellement, GNSS) dans un système de référence unique, qui sert d'appui à la topographie, au cadastre, à la cartographie, aux grands travaux et à l'implantation des ouvrages.

b) Système de projection

C'est un ensemble de règles mathématiques (formules) qui fait correspondre à chaque point de l'ellipsoïde (φ, λ) un point d'un plan (X, Y), afin de représenter une surface courbe sur une carte plane. Toute projection introduit des altérations (de longueurs, d'angles ou de surfaces) ; la projection Lambert conique conforme utilisée au Maroc conserve les angles et altère les longueurs et surfaces, d'où les corrections CL et CS de la question 1.

c) Niveau apparent

Le niveau apparent (écart entre le plan horizontal de visée et la surface de niveau, dû à la sphéricité terrestre et à la réfraction) doit être pris en compte dans le nivellement indirect (trigonométrique), lorsque les visées sont longues : la correction vaut c = (1 − k)·D² / 2R (k ≈ 0,13 coefficient de réfraction, R ≈ 6 380 km), soit environ 7 cm à 1 km. En nivellement direct (géométrique), les portées sont courtes et égales (niveau placé à mi-distance des mires) : l'erreur est la même sur la lecture arrière et la lecture avant et s'élimine dans la différence, on la néglige donc.