نموذج مباراة ولوج السنة الثانية من سلك المهندسين (INE) بالمعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) - دورة 19 يوليوز 2011 - الرياضيات
⬇️ تحميل PDF الرابط الدائم: wadifa-info.com/نموذج-مباراة/2438
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة السنة الثانية من سلك المهندسين لدى المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) (session du 19 juillet 2011)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT)
- الدرجة
- السنة الثانية من سلك المهندسين
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- session du 19 juillet 2011
- عدد الصفحات
- 3
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.
CONCOURS D'ACCES EN DEUXIEME ANNEE
DU CYCLE INE DE L'INPT
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
(Aucun document n’est autorisé)
Durée 1H30
MARDI 19 JUILLET 2011
- Les problèmes 1 et 2 sont indépendants.
- Les notations de l’énoncé seront respectées.
- La plus grande importance sera attachée à la rigueur des raisonnements
PROBLEME 1
On considère un signal x(f) )) exprime le temps) défini comme suit :
أالدن»م El وحن
0 ailleurs
On rappelle la transformée de Fourier (T.F) de x(t) et la transformée de Fourier inverse
(T.F.D) de X(f) :
(TEA) X(f)= [RO ل dt, f désigne la fréquence de x(1).
0220 x()= Lx?" af
1) Montrer que X(/) = =
2) En utilisant la définition de la transformée de Fourier inverse, montrer que
© Si +1 1 <0
[ sy). = sgn(a) = 4 2 $ sgn(.) désigne la fonction signe.
® 77 -1 si »>0
3) Déduire de la question 2 que la transformée de Fourier inverse de la fonction 8 est le
signal jsgn(r).
4) Déduire de la question 3 que la transformée de Fourier du signal 1 est - jsgn(f)
5) On considère la transformée d’Hilbert d’un signal x(f) :
À 1 x
x it-u
En utilisant le fait que x(1) est la convolution (voir définition ci-dessous) de x{f) avec un
signal qu’on déterminera, montrer que la transformée de Fourier de x(t) est égale à
X(P)=-jsen(f)X().
2 = A LE . 4 ; ٠. ' | Lai
wadifa-info.com ج المباريات من موقع وظيفة إنفو
On rappelle la définition de la convolution de deux fonctions x(f) et y(f) :
20) =x()* ببدم - بإبرس)] = ضار
6) En déduire de la question 5 la transformée d’Hilbert des signaux suivants :
x, )10( = cos(2zf, 1) x (0) = sin(27, t) Jo>0
PROBLEME 2
On considère un processus Ÿ({) stationnaire au sens large donné par :
YG)=X(+T)-X(t-T)
où X{1) est un processus réel, stationnaire au sens large avec une densité spectrale de
puissance (DSP) y,(f)et T est une constante.
Calculer la densité spectrale de puissance de Y{t) en fonction de y,(f).
On rappelle que :
- La fonction d’autocorrélation d’un processus X{f) réel stationnaire au sens large est
définie par :
R,(r)=EXOX(G+r)]) 7
où Ef.] définie l’espérance mathématique sur la variable aléatoire du processus X{f).
- La densité spectrale de puissance d’un processus X{f) stationnaire au sens large est
définie par :
7x (P)=TFIR, (r)] où T.F désigne la transformée de Fourier.
wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en deuxième année du cycle ingénieur (INE) de l'Institut National des Postes et Télécommunications (INPT), session du mardi 19 juillet 2011, durée 1 h 30, sans document. Deux problèmes indépendants de traitement du signal : transformée de Fourier et transformée de Hilbert (problème 1), densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire (problème 2). Voici une correction proposée.
💡 Le jury insiste sur la rigueur : chaque « déduire » doit s'appuyer explicitement sur la question précédente (changement de variable, parité, dualité). Annoncez la propriété utilisée avant le calcul.
Problème 1
1) Transformée de Fourier de la porte x(t)
X(f) = ∫−a/2a/2 e−2jπft dt = [e−2jπft/(−2jπf)]−a/2a/2 = (ejπfa − e−jπfa)/(2jπf) = sin(πfa)/(πf) pour f ≠ 0, et X(0) = a (prolongement par continuité).
2) ∫ sin(πfα)/(πf) df = sgn(α)
x est continue en t = 0 et x(0) = 1. La transformée de Fourier inverse en t = 0 donne :
x(0) = ∫−∞+∞ X(f) e0 df ⇒ ∫−∞+∞ sin(πfa)/(πf) df = 1 pour tout a > 0.
Pour α > 0 on prend a = α : l'intégrale vaut 1. Pour α < 0, sin(πfα) = −sin(πf|α|), donc l'intégrale vaut −1. D'où ∫ sin(πfα)/(πf) df = sgn(α) (et 0 pour α = 0).
3) TFI de 1/(πf)
TFI[1/(πf)](t) = ∫ e2jπft/(πf) df = ∫ cos(2πft)/(πf) df + j ∫ sin(2πft)/(πf) df.
- La première intégrande est impaire en f : intégrale (en valeur principale) nulle.
- La seconde est la question 2 avec α = 2t : elle vaut sgn(2t) = sgn(t).
Donc TFI[1/(πf)] = j sgn(t).
4) TF de 1/(πt)
TF[1/(πt)](f) = ∫ e−2jπft/(πt) dt. En renommant la variable d'intégration, c'est l'expression de la question 3 évaluée au point −f : TF[1/(πt)](f) = j sgn(−f) = −j sgn(f) (propriété de dualité).
5) TF de la transformée de Hilbert
Posons h(t) = 1/(πt). D'après la définition de la convolution :
(x * h)(t) = ∫ x(μ) h(t − μ) dμ = (1/π) ∫ x(μ)/(t − μ) dμ = x̂(t).
La transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit des transformées : X̂(f) = X(f)·H(f) et, d'après 4), H(f) = −j sgn(f). Donc X̂(f) = −j sgn(f) X(f).
6) Hilbert de cos(2πf0t) et sin(2πf0t)
- X1(f) = ½[δ(f − f0) + δ(f + f0)] ⇒ X̂1(f) = −j sgn(f)X1(f) = (1/2j)[δ(f − f0) − δ(f + f0)], qui est la TF de sin(2πf0t). x̂1(t) = sin(2πf0t).
- X2(f) = (1/2j)[δ(f − f0) − δ(f + f0)] ⇒ X̂2(f) = −½[δ(f − f0) + δ(f + f0)], TF de −cos(2πf0t). x̂2(t) = −cos(2πf0t).
(La transformée de Hilbert déphase chaque composante de fréquence positive de −π/2.)
Problème 2 – DSP de Y(t) = X(t + T) − X(t − T)
Autocorrélation. Par stationnarité de X :
RY(τ) = E[(X(t+T) − X(t−T))(X(t+τ+T) − X(t+τ−T))]
= RX(τ) − RX(τ − 2T) − RX(τ + 2T) + RX(τ)
= 2RX(τ) − RX(τ − 2T) − RX(τ + 2T).
(Détail : E[X(t+T)X(t+τ−T)] = RX(τ − 2T) et E[X(t−T)X(t+τ+T)] = RX(τ + 2T).) RY ne dépend que de τ : Y est bien stationnaire au sens large.
DSP. Par le théorème du retard, TF[RX(τ − τ0)] = e−2jπfτ0 γX(f) :
γY(f) = γX(f)[2 − e−4jπfT − e4jπfT] = 2γX(f)[1 − cos(4πfT)]
γY(f) = 4 sin²(2πfT) · γX(f).
Interprétation : Y est la sortie du filtre de réponse H(f) = e2jπfT − e−2jπfT = 2j sin(2πfT), et l'on retrouve γY = |H(f)|² γX.
أسئلة شائعة حول هذا النموذج
هل يمكن تحميل هذا النموذج مجاناً؟
هل يتضمن هذا النموذج التصحيح؟
ما هي الجهة المنظمة والدرجة المعنية بهذا النموذج؟
ما هي دورة هذا الامتحان ولغة أسئلته؟
أين أجد نماذج أخرى لنفس المباراة؟
ناقش هذا النموذج (0)
شارك إجاباتك أو صحّح التصحيح — إذا كان لديك رأي مختلف حول أي نقطة، اكتبه هنا ليستفيد باقي المترشحين.
لا يوجد نقاش بعد — شارك إجابتك أو سؤالك حول هذا النموذج.
⚠️ ممنوع نشر أرقام الهاتف أو الروابط أو أي عرض مقابل مال — تُحذف هذه المشاركات تلقائياً.
هل تحضّر لهذه المباراة؟
نماذج مشابهة قد تهمّك
الجهة المنظمة: المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) · session du 19 juillet 2011 — مصدر النسخة: المواقع الرسمية للمؤسسات (نسخ أرشيفية من Wayback Machine)؛ الإعلان الرسمي للمباراة هو المرجع.
كيف تستشهد بهذه الصفحة؟
صحفي أو مدوّن أو أستاذ؟ انسخ المرجع أسفله وضع رابطاً نحو هذه الصفحة.
الرابط الدائم: https://www.wadifa-info.com/نموذج-مباراة/2438/نموذج-مباراة-ولوج-المعهد-الوطني-للبريد-والمواصلات-INPT-2011-الرياضيات
