نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2010: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun
Ecole Supérieure des Industries du Textile et de l’Habillement
ESITH
Concours National Commun d'admission
aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2010
ÉPREUVE DE PHYSIQUE II
Filière PSI
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours National Commun - Session 2010 - Filière PSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Les conducteurs électriques
Le présent problème propose l'étude de quelques aspects des milieux conducteurs soumis à
l'action d’un champ électrique variable dans le temps. Il est composé de trois parties largement
indépendantes entre elles.
Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Données pour toute l’épreuve
e Célérité de la lumière dans le vide : ‏ا‎ 3,0 x ‏د10‎ ;
e Perméabilité magnétique du vide : 19 = 47107 777.017
+ Permittivité électrique du vide : ‏وع‎ = — ;
H0CG
e Nombre d'AVOGADRO : NW = 6,02.10% mol”! ;
e Charge élémentaire : ‏ع‎ 1,6. 10-19 0
٠ Masse de l’électron : m = 9.1.1073 kg;
On rappelle les équations de MAXWELL dans le vide en présence de charges pet de courants j,
et la loi de conservation de la charge électrique :
div = À ; dy =0 ; ro E =—— ; mr ‏دوع + 9 اصرح‎
60 ot ot
div + D 0
ainsi que la relation de l’analyse vectorielle, pour un champ vectoriel À:
‏الس هل جه‎ D
roi(rot À) = grad(div À) _ 4
1 partie
Conduction électrique dans un milieu matériel
On considère un milieu matériel homogène de dimension supposée infinie. La conduction
électrique dans un tel milieu est due au déplacement des porteurs de charge. On note n la densité
Épreuve de Physique II 1/9 Tournez la page 5.7.1
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volumique des porteurs de charges susceptibles de se déplacer sous l’action d’un champ électrique
7 (M, t). On suppose que chaque porteur de charge est de masse m et possède une charge q.
Dans la suite, le poids du porteur de charge et la force d’origine magnétique seront négligés.
1.1. Conductivité électrique d’un milieu matériel
En plus de l’action du champ électrique, on modélise l'interaction d’un porteur de charge avec
le reste du milieu par :
e une force d'amortissement visqueux : F, = 7%
e une force de rappel : F, = -muÿ ©
77 étant le vecteur position du porteur de charge, mesuré par rapport à sa position d'équilibre,
et © sa vitesse par rapport à un référentiel lié au milieu matériel. La constante 7 est la durée
caractéristique de la relaxation des vitesses.
11.1. En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, écrire l'équation du mouvement du
porteur de charge dans le milieu matériel.
112. Le milieu matériel est soumis à un champ électrique sinusoïdal de pulsation w : É -
Éo cos(w t), auquel on associe le champ complexe :
7 = 720 exp(iwt)
i étant le nombre complexe tel que #7 = —1.
112.1. Justifier le choix de l'étude en régime sinusoïdal.
11.22. Déterminer l'expression complexe de la vitesse Ÿ du porteur de charge en régime
sinusoïdal établi de pulsation w.
1.1.3. Écrire l'expression de la densité volumique de charges ‏م‎ associée aux porteurs mobiles
en fonction de n et q.
1.1.4. On admet que la densité de courant j est liée à la vitesse par la relation : 7 = pv. Écrire
l'expression de la densité de courant ; en fonction de n, ‏كا و‎
115. A partir de l'expression complexe de la vitesse établie dans la question 1.1.2.2., donner
‎l'expression complexe de la densité de courant ;.
116. En déduire qu’en régime établi, on peut écrire la loi d'Ohm sous la forme : ÿj = ‏.7ه‎
‎Montrer alors que ce modèle permet de définir une conductivité complexe :
1-07 1: ‏ل‎
‎où ‏وه‎ est la conductivité statique dont on donnera l'expression en fonction de n, q, 7 et m.
1.2. Étude d’un milieu conducteur
On considère que le milieu matériel est un milieu conducteur pour lequel les porteurs de charges
sont supposées libres de se déplacer dans le milieu matériel, c’est à dire qu'ils ne sont pas soumis à
la force de rappel (wo = 0).
Épreuve de Physique 1 219 >”
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121. Donner l'expression de la conduction électrique complexe d’un milieu conducteur.
122. Montrer que la conductivité complexe peut s’écrire sous la forme :
O = O1] — ‏وو‎ (2)
Donner les expressions de ‏م‎ et de o2 en fonction de w, 7 et co.
1.2.3. Dans le cas du cuivre, chaque atome libère un seul électron qui participe à la conduction
électrique. La masse volumique du cuivre est : pou = 8,9. 10° 119.071 la masse molaire du cuivre
est: Moy = 63,5 g.mol” 0
1231. Donner l'expression du nombre d'électrons de conduction par unité de volume » en
fonction de ‏ردم‎ Me, et du nombre d’AVOGADRO ‏ينا‎
123.2. Déterminer la valeur numérique de n.
12.33. La conductivité du cuivre en régime statique est : op — 6.107 5.0171. Déterminer la
valeur de la constante de temps 7
1.2.3.4... Pour quel domaine de fréquences on 2: ‏7س‎ << 17 0107005868 : f, = Se
On suppose dans les questions suivantes que cette condition est vérifiée.
12.4. Donner les expressions approchées au premier ordre en (w 7( de ‏زه‎ et de ‏م‎
125. Montrer qu’ en notation réelle, le vecteur densité de courant est lié au vecteur champ
électrique par la relation :
1 = 607 + 6020 ‏بج‎ (3)
Donner l'expression de x en fonction de 7, 00 et €0.
12.6. Écrire l'équation de MAXWELL-AMPÈRE dans le milieu conducteur en admettant qu’elle
a la même forme que celle du vide à condition d'utiliser la densité de courant donnée par la relation
12.7. L'équation de MAXWELL-AMPÈRE précédemment écrite fait apparaître la somme de
deux termes : le courant de conduction j. et d’un courant dit de déplacement ‏.نر‎ En admettant
que le courant de conduction a la même expression qu’en basses fréquences, identifier la densité de
courant de déplacement 54.
12.8. Montrer que le rapport de l'amplitude du courant de conduction à celle du courant de
déplacement est donné par :
Je O0
‏بت د11‎
ja weoll+xl
129. En fait, c'est le rapport 7 qui justifie le caractère isolant ou conducteur du matériau. Le
milieu est conducteur si le courant de conduction prédomine (7 >> 1). Au contraire, si le courant
de déplacement prédomine, le milieu se comporte comme un isolant.
129.1. Déterminer la pulsation ‏ىم‎ pour laquelle le rapport n est égal à l'unité.
129.2. Déterminer f. = 5 pour le cuivre. Dans quel domaine du spectre électromagnétique
cette fréquence est-elle située ? Que peut-on dire du cuivre dans le domaine du rayonnement
électromagnétique visible ?
Épreuve de Physique II A 9 Tournez la page S.V.P.
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2°" partie
Propagation d'ondes électromagnétiques dans les conducteurs ohmiques
2.1. Relation de dispersion dans un conducteur ohmique
On considère un conducteur ohmique pour lequel on suppose que la densité volumique de
charge est nulle (p = 0) et le vecteur densité de courant est lié au champ électrique par la relation :
‎76 7
avec une conductivité ‏ه‎ réelle (o = (٠
2.11. Dans quel domaine de fréquences ce modèle de conducteur ohmique est valable ?
2.12. Écrire l'équation de Maxwell-Ampère pour un conducteur ohmique.
2.13. Établir l'équation de propagation à laquelle satisfait le champ électrique.
2.14. Justifier que la solution de cette équation peut s’écrire comme une superposition de
solutions monochromatiques.
Par la suite, on cherche les solutions complexes sous forme d'ondes monochromatiques planes
se propageant selon l’axe Oz et polarisées rectilignement selon Ozx :
2.15. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par E(z).
2.16. On cherche les solutions de cette équation, de manière semblable à celle des ondes
progressives, sous la forme :
E(z2) = Ei exp(i k 2) + Es exp(—i k 2)
avec le nombre d'onde (ou vecteur d'onde) k à priori complexe. Montrer que k vérifie l'équation :
k? = ‏سوم‎ — iwuoo (4)
2.17. Onne considère dans cette question que la solution E; exp(ikz) et on ne tient pas compte
des champs statiques.
2.171. Déterminer l'expression du champ magnétique 7 (z,t) en fonction de k, w, 7 1(2,t)
et le vecteur unitaire ‏ل‎
‎2.172. Le champ magnétique est-il en phase avec le champ électrique ? Justifier.
Plutôt que de décrire le cas général, nous allons discuter les deux cas limites correspondant aux
situations où l’un des deux termes du second membre de 7 (équation 4) est négligeable devant
l'autre.
2.2. Propagation dans un mauvais conducteur
Les mauvais conducteurs électriques, aussi appelés milieux à pertes, sont tels que : ‏.ساي << #ه‎
Épreuve de Physique 1 4/9 >”
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2.2.1. Déterminer l'expression approchée du vecteur d'onde k. Montrer que ce vecteur d'onde
peut être exprimé, en fonction du vecteur d'onde ko — T dans le vide et d’une longueur car-
actéristique ‏,رما‎ sous la forme :
k = ko - i—
Donner l'expression de ‏ما‎ en fonction de €, ‏مر‎ et 6
2.2.2. Comparer la longueur caractéristique ‏مأ‎ par rapport à la longueur d'onde dans le vide À.
Commenter.
223. Écrire l'expression complexe du champ électrique E(z,t) en tenant compte de ses deux
termes de la question 2.1.6.
2.24. En déduire l'expression réelle du champ électrique. Interpréter chacun des deux termes
de cette expression. Tracer l'allure des variations de chaque terme du champ en fonction de z ‏ع‎
‎fixé.
2.25. Montrer que la propagation de l’onde électromagnétique dans le conducteur s'accompagne
d'une dissipation d'énergie. Que devient l'énergie perdue par l'onde électromagnétique ? Com-
menter l'expression de la distance d'absorption ‏مأ‎
‎2.3. Propagation dans les bons conducteurs : l’effet de peau
Pour les bons conducteurs, la situation est telle que ‏ه << سي‎ et on ne garde dans l'expression
du nombre d'onde que le terme dominant.
2.3.1. Déterminer l'expression approchée du vecteur d'onde k et mettre en évidence une
longueur caractéristique ô. Donner l'expression de à en fonction de ‏,مير‎ w et o. Quel est le nom
habituel de cette longueur caractéristique ?
2.3.2. Comparer la longueur caractéristique à par rapport à la longueur d'onde dans le vide À.
Commenter.
23.3. Écrire l'expression complexe du champ électrique E(z,t) en tenant compte de ses deux
termes de la question 2.1.6. En déduire l'expression réelle du champ électrique. Commenter
l'expression de la distance d'atténuation 6.
2.3.4. Que pensez vous de la propagation de l'énergie électromagnétique dans un bon conduc-
teur ? Comparer au cas de la propagation dans un mauvais conducteur.
Afin de comparer le comportement des deux types de conducteurs étudiés ci-dessus vis-à-vis
de l'énergie électromagnétique véhiculée par une onde électromagnétique incidente, nous allons
étudier la réflexion d’une onde électromagnétique sur un conducteur.
2.4. Réflexion d’une onde électromagnétique par un conducteur réel
On considère que le demi espace z > 0 est vide tandis qu’un conducteur de conductivité
o occupe le demi espace z > 0. Une onde électromagnétique plane progressive harmonique de
pulsation w se propage dans le vide suivant la direction Oz, dans le sens des z croissants et polarisée
rectilignement suivant Ox. Cette onde, appelée onde incidente, arrive sous incidence normale sur le
milieu conducteur (figure 1). Une partie de l'énergie de l'onde est réfléchie, une autre est transmise.
Il en résulte que dans le vide (z > 0), le champ est la superposition d’une onde incidente et d’une
Épreuve de Physique II 5.1 9 Tournez la page S.V.P.
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Vide Milieu conducteur
Figure 1: Onde électromagnétique en incidence normale sur un milieu conducteur
onde réfléchie :
É, (z,t) = E;exp (1 (wt — koz)) ed Eh exp (4 (wt + koz)) La
E; et E, désignent les amplitudes complexes des champs électriques des ondes incidente et réfléchie
respectivement.
24.1. Déterminer les expressions du champ magnétique B; (z,t) de l'onde incidente et 2: (z,t)
de l’onde réfléchie. En déduire l'expression du champ magnétique résultant dans la région z > 0.
Dans le milieu conducteur (z > 0), comme nous considérons que celui-ci s'étend jusqu’à l'infini,
seule la solution qui 460:01 exponentiellement vers la droite est acceptable. On écrit le champ
électrique de l’onde transmise sous la forme :
7 (2,t) = 10 ‏دحوت‎ (i(wt - kz)) Va
E; étant l'amplitude complexe du champ électriques de l'onde transmise dans le milieu conducteur.
2.4.2. Déterminer l'expression du champ magnétique B, (z,t) de l’onde transmise dans le
conducteur.
2.43. Écrire, sans les démontrer, les conditions que doivent vérifier les champs électrique et
magnétique sur l'interface entre le vide et le milieu conducteur.
2.4.4. Établir les deux relations liant E;, E, et E4.
2.4.5. En déduire les expressions de £, et ‏قن‎ en fonction de E;, ko et k.
2.4.6. Cas du mauvais conducteur
2.4.6.1. Dans le cas d’un mauvais conducteur, déterminer les expressions approchées des
amplitudes £, et FE; des champs électriques associés à l'onde réfléchie et à l'onde transmise par
ce conducteur respectivement. On utilisera l'expression approchée de k établie dans la section 2.2.
2.4.6.2. Comparer E, et E; par rapport à l'amplitude E; du champ électrique associé à l'onde
incidente. Commenter.
Épreuve de Physique 1 679 >”
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2.4.7. Cas du bon conducteur
2.4.7.1. Déterminer les expressions approchées, à l’ordre le plus petit non nul en k06, des
amplitudes £, et E, des champs électriques associés à l'onde réfléchie et à l’onde transmise dans le
milieu conducteur respectivement.
2.472. Comparer E, et FE; par rapport à l'amplitude FE; du champ électrique associé à l'onde
incidente. Commenter.
2.48. Conclure quant au comportement des deux types de conducteurs étudiés ci-dessus vis-
à-vis de l'énergie électromagnétique véhiculée par une onde électromagnétique incidente.
3îme partie
Propagation d'ondes électromagnétiques dans un plasma
Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé. C’est donc un milieu globalement
neutre dans lequel on trouve des électrons, des ions et éventuellement des atomes ou des molécules
neutres. Comme les ions sont plus de mille fois plus lourds que les électrons, l'amplitude de leurs
mouvements et donc le courant électrique qui leur est associé est négligeable devant le courant
électronique. Pour les plasmas, l’inertie des électrons est un phénomène important. On s'intéresse
donc au cas plus général où l’inertie compte et on utilise l'expression de la densité de courant
donnée par l'expression :
‏ب‎ nET 7
‏ب أ‎ 5
1m (1 + iwT) 6)
n étant la densité volumique des électrons libres.
On peut distinguer deux régimes : les basses fréquences, où la dissipation est dominante et
les hautes fréquences où les effets d'inertie deviennent dominants et des nouveaux phénomènes
apparaissent.
3.1. Dynamique d’un plasma libre
3.1.1. En utilisant la relation (5) écrire l'équation d'évolution dans le temps de la densité
volumique de courant ;.
3.12. En utilisant la relation de conservation de la charge électrique et les équations de
MAXWELL, montrer que la densité volumique de charge ‏م‎ obéit à l'équation d'évolution suivante :
‏م م0‎ 2
‏من ل د لح‎ 0 6
‏تبن‎ rot ‏ا‎ 6)
7 est le temps caractéristique d'amortissement de la vitesse et w, une pulsation appelée pulsation
plasma. Montrer que w, est donnée par :
c ne
17160
3.13. Pour des faibles densités électroniques, la pulsation plasma est faible et le terme
d'amortissement prédomine dans l'équation précédente. Prévoir l’évolution dans le temps de la
densité volumique de charge p.
3.14. Pour une faible dissipation et une densité électronique importante, donner une forme
approchée de l'équation (6). Montrer que le plasma est le siège d’oscillations dont on donnera la
pulsation.
Épreuve de Physique II FA 9 Tournez la page S.V.P.
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3.2. Propagation d’ondes dans un plasma
Comme dans un plasma la densité locale de charge peut être différente de zéro, la divergence
du champ électrique n’est pas nécessairement nulle. On distingue deux types d'onde : les ondes
transverses pour lesquelles divE - 0, et les ondes longitudinales. Dans la suite, on ne considérera
que les ondes transverses.
Le plasma sera considéré comme un milieu dilué dont les charges sont sans interaction entre
elles. Nous tiendrons compte seulement des effets inertiels et nous admettrons que la densité de
courant est liée au champ électrique par la relation approchée suivante :
+ 1 هج
7 20
3.2.1. Ecrire l'expression de la densité de courant 7 en fonction de w, w,, eo et E.
3.2.2. Relation de dispersion
On considère une onde se propageant dans le plasma suivant la direction Oz dont l'expression
complexe du champ électrique associé est :
Es: = 720 exp ‏م - أم))‎ 2((
3.2.2.1... Déterminer l'équation de propagation à laquelle obéit le champ électrique É.
3.2.2.2. Montrer que la relation de dispersion liant k à w s'écrit sous la forme suivante :
2 — 2 2
k° = 5 (w° — wi)
La pulsation plasma w, sépare deux zones de fréquence où le plasma a des comportements très
différents.
3.2.3. Domaine des basses fréquences ‏ت)‎ > w,)
32.31. Déterminer l'expression du vecteur d'onde k dans le domaine des basses fréquences.
3.2.3.2. Détermine l'expression du champ électrique dans le cas des basses fréquences. Com-
ment peut-on qualifier l’onde électromagnétique associée ? Montrer que pour de telles fréquences,
il n’y a aucune propagation dans le plasma et que ce milieu réfléchit parfaitement les ondes
électromagnétiques.
3.2.3.3. Dans l’ionosphère (partie de l'atmosphère située à quelques centaines de kilomètres
d'altitude qui est partiellement ionisée), la densité en électrons libres est de l’ordre de n = 10!°
électrons par m°. Quel est le domaine de fréquence correspondant aux ondes électromagnétiques
réfléchies par l’ionosphère ? Voyez-vous une application pratique ?
3.2.4. Domaine des hautes fréquences (w > w,)
3.2.4.1. Déterminer l'expression du vecteur d'onde k dans le domaine des hautes fréquences
(w > wp).
3.2.4.2. Détermine l'expression du champ électrique dans le cas des hautes fréquences.
Quelle est la nature de l’onde correspondante ? Déterminer sa vitesse de phase ‏نون‎ Tracer v;(w).
Commenter.
Épreuve de Physique II 8/9 ‏يه‎
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3.3. Propagation d’un battement entre deux ondes dans un plasma
On considère la superposition de deux ondes se propageant dans le plasma selon 02 et polarisées
selon Ox. La première a une pulsation w, et un nombre d'onde k, tandis que la seconde a une
pulsation ‏وم‎ et un nombre d'onde k2. Ces deux ondes ont une même amplitude Æ5. Soit en notation
réelle :
7 = Eo (cos (wit — ‏(عرم‎ + cos (wat — ‏((2و‎ 0
On suppose que les deux pulsations sont proches et on pose : ‏سة = رس — وم‎ > wi et
ko - k1 = 01 € ٠
, 1 : 1 ‏ون + 1ن‎
3.3.1. Montrer que l'onde résultante est progressive de haute fréquence : ‏ذه — ون‎ —
d'amplitude modulée par une enveloppe basse fréquence, qui constitue elle-même une onde
progressive de pulsation ‏رم‎ dont on donnera l'expression.
3.3.2. Déterminer les vitesses de propagation v, de l'onde haute fréquence et v, de l'onde basse
fréquence. Quel est le nom habituel de ‏ون‎ ? Donner les expressions approchées de v, et ‏و‎ en fonction
de wi, w, et c. Commenter.
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Physique II 9/9 FIN
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