نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة - المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) 2005 - اختبار الفيزياء
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة لدى المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) (19/07/2005)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT)
- الدرجة
- السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة
- التخصص
- الفيزياء
- الدورة
- 19/07/2005
- عدد الصفحات
- 7
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.
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FLID à ال نر
CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D'ETAT
19 Juillet 2005
Epreuve de PHYSIQUE
(Durée :2 h 30mn)
Avertissement
- Les 2 problèmes doivent être traités sur des feuilles séparées.
- L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des
raisonnements et de la présentation.
- Encadrer vos résultats.
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
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Problème 1
Pour générer des ultrasons, on utilise une plaquette de matériau piézoélectrique dont deux
faces opposées sont métallisées. On applique une tension périodique électrique, de fréquence
f, entre les surfaces métallisées. Pour une certaine valeur de la fréquence fo, la plaquette
rentre en résonance mécanique. Les vibrations de la plaquette (de même fréquence fo) sont
ensuite communiquées au fluide qui l'entoure et génèrent des ondes ultrasonores.
On se propose d'étudier seulement le comportement électrique de la plaquette
piézoélectrique, assimilable au dipôle MN de la figure 1.
R, L, c
figure.i
1.1. Etude simplifiée : on néglige d'abord les phénomènes dissipatifs (dissipation de puissance)
représentés par la résistance Rs. Le schéma électrique équivalent de la plaquette
piézoélectrique est alors celui de la figure 2.
كا نووم
figure.2
1.1.1. L'impédance Z, de la plaquette est de la forme Z, = jX. Montrer que X peut se mettre
sous la forme :
لقف واه جح عل
Co | LE |
On précisera les valeurs des pulsations ون et w, et du coefficient ©
1.1.2 Pour la plaquette utilisée, les éléments du schéma électrique équivalent sont les
suivants : يا = 1000 H : C;= 0,4 pF : Co= 60 pF.
Donner les valeurs des pulsations ws et wp et de l'écart relatif (ws - wp)/ ws.
1.1.3 Tracer sur le même graphe l'amplitude et la phase de Z,.
1.1.4 Comment se comporte ce montage dans l'intervalle de pulsation ايان et dans
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1.1.4. Quels phénomènes physiques empêchent l'impédance de prendre des valeurs nulle ou
infinie ? ;
1.2. On prend en compte maintenant les phénomènes dissipatifs : on considère le montage de
la figure 1 avec R, = 10 ٠
Montrer que compte-tenu des valeurs numériques, le schéma électrique équivalent se réduit,
our des fréquences voisines de بدي au schéma simple (circuit رمام série
P fréq عام لي ( sLsCs série)
M ca nr | Ê N
figure 3.
Problème 2
Première Partie : MOTEUR À COURANT CONTINU - COMMANDE PAR UN
HACHEUR
Pour alimenter le moteur à courant 4 L
continu à partir d'une source
(batteries) délivrant une tension ii ho |
continue fixe ,مع on réalise le 1
montage à deux interrupteurs نا et 5 و V u
K2 de la figure 4. Une bobine (1)
d'inductance L est placée en série
avec le moteur. La résistance de la
bobine est négligée. 30106 ne
Les interrupteurs Ki et K2 sont Figure 4
supposés idéaux.
1.1.1. Qu'est-ce qu'un « interrupteur idéal » ?
1.1.2. Quel est le rôle de la bobine d'inductance L dans ce montage ?
1.1.3. Préciser les états de fonctionnement autorisés pour les interrupteurs Ki et K2 compte
tenu de la nature de la source et de la charge du hacheur (on justifiera en rappelant les règles
d'association des sources auxquelles il faut faire référence).
1.1.4. On considère dans tout ce qui suit un fonctionnement en régime périodique établi de
période T. On considèrera de plus que la résistance R de l'induit est négligeable et que la
f.é.m. E est toujours positive.
L'oscillogramme de la figure 5 fournit un relevé de tensions effectué alors que la source Eo
fournit une puissance P = 3 kW.
La voie 1 représente la tension V.
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La voie 2 représente la tension obtenue par une sonde de courant : cette tension est
proportionnelle à l'intensité i du courant traversant le moteur (sensibilité de la sonde : 1 volt
par ampère).
On s'intéresse au fonctionnement sur une période entre les instants 0 et T. On note aT
l'instant de commutation à partir duquel la tension V vaut 0 (V = O pour aT<t+<T).(œest un
réel tel que: 0<a<l)
Base de temps : 10 ys par carreau ue nues ee ا ue: mu ete
Voie 1 : - mode DC إٍْ 0-0 ' | | :
- 20 V par carreau اقالطا ما إل اس ةع البيس الالالة كن ا
Voie 2 (entre les deux curseurs ألا ل ها ل ل اه ب - 3
figurant en pointillés) : é | بح !ٍ | Ne 1
- mode AC ل له ne. |. HAN
- 0,1 V par carreau bi !ٍ ْم
Figure 5
( NB : Les origines des canaux 1 et 2 de l'oscilloscope sont différentes)
1.1.4.1. Représenter le circuit électrique (comprenant le moteur à courant continu) qui
équivaut au montage de la figure 4 dans chaque phase de fonctionnement (0 > 1 > aT d'une
part et له <t <T d'autre part).
1.1.4.2. Ecrire les équations d'évolution i(t) de l'intensité du courant en fonction du temps
(on notera Im et IM les valeurs minimale et maximale de i) :
a) pour O<t<aT
b) pour آ > 51 له
1.1.4.3. Représenter rapidement, sur des figures distinctes, les graphes de ik: et ينا en
fonction du temps.
1.1.4.4. Déduire de l'oscillogramme de la figure 5 et des conditions de réalisation de l'essai
correspondant:
a) la valeur de Eo
b) la valeur de x correspondant à l'essai réalisé
c) la valeur de E correspondant à l'essai réalisé
d) la valeur de L
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e) la valeur moyenne «ik > du courant débité par la source مع
f) la valeur moyenne <i> du courant circulant dans l'induit.
1.15. Dans le cas d'un moteur à courant continu réel (si on prend en compte la résistance R),
pourquoi a-t-on intérêt, pour améliorer le rendement, à limiter l'ondulation du courant dans
l'induit (c'est-à-dire à limiter les variations du courant autour de sa valeur moyenne) ?
Deuxième PARTIE: PRINCIPE DU MOTEUR SYNCHRONE
2.1. Stator de la machine synchrone : production d'un champ tournant
On constitue un système (S1) de deux solénoïdes identiques de même axe Ox et montés en
série de sorte qu'un courant d'intensité /1 circule dans le même sens dans les deux solénoïdes
(figure 6).
Figure 6
Dans ces conditions, champ d'induction magnétique au centre 0 du système (S1) peut se
mettre sous la forme:
B, =ki.é, (k est une constante et é, est le vecteur unitaire de l'axe Ox).
On place maintenant deux systèmes (51) et (S2) identiques au précédent selon la configuration
de la figure 5 (les axes Oxet Oy de (Si) et (S2) sont perpendiculaires et se coupent en O).
Chacun des systèmes (S1) et (S2) a une résistance totale R et une inductance totale L.
On branche en parallèle entre les bornes À et B d'une source de tension sinusoïdale idéale de
f.é.m. u =U.\2.cos ©,
- le système (51) en série avec une résistance Ro d'une part,
- le système (52) en série avec une résistance de même valeur Ro et avec un condensateur de
capacité C d'autre part.
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En régime permanent sinusoïdal, les intensités réelles ;{t)et / (t) des courants circulant dans
(S1) et (S2) sont de la forme :
i(@)=1, N2.cos (©, 1-9, ) et. .)0( N2.cos (o, 150, )
DORE
!ا .-..._ل__|(__
رمسا
لل_!
di SRE TE
RER
ه11
ESS
BRIE
المسمسسسحة..
Figure 7
2.1.1. En utilisant les propriétés de symétrie du champ magnétique, justifier la direction du
vecteur champ d'induction magnétique B créé par le système (S1) au point O.
2.1.2. Donner les expressions de Z;, T2, 100001 et 100002 en fonction de U, R, Ro, L, C et wo |
2.1.3. a) Les valeurs de R, L et wo étant imposées, quelles valeurs faut-il donner à Ro et C
pour que : Z;= 712 61 que p2-p1= 7/2?
b) Que valent alors رص et 2
2.1.4. En considérant remplies les conditions précédentes (7; = 712 et 2 - mi= 1/2»
déterminer les composantes sur Ox et sur Oy du vecteur champ d'induction magnétique
total B en 0 (on notera 87500 module que l'on exprimera en fonction de VU, Ket .ون ا
2.1.5. a) Justifier l'appellation de « champ tournant » pour ce champ magnétique total B.
b) Préciser à quelle vitesse ce champ tourne dans le plan بوث
2.2. Entraînement du rotor du moteur synchrone
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La partie mobile du moteur synchrone (rotor) est constituée d'un bobinage alimenté par un
courant continu et assimilable à un aimant de moment magnétique M, de module Mo constant.
On suppose est animé dans le plan بور d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe
Oz (perpendiculaire à ce plan) à la vitesse angulaire «.
Le mouvement s'effectue dans une partie de l'espace où règne un champ magnétique B supposé
uniforme d'amplitude 87 qui, lui, tourne dans le plan ©xy autour de l'axe Oz à la vitesse
angulaire وه (oo n'étant pas a priori égale à w ).
On note & le vecteur unitaire de l'axe Oz et 60 la valeur initiale de l'angle ( M ,8) (cf. figure 8).
000 M (D
6 Bàt-0
0جتة178
figure 8
2.2.1. Exprimer O(t). En déduire la valeur instantanée du couple ] (t)= 1)0.2: )7( exercé par
le champ 2 sur le rotor.
2.2.2. Pourquoi le moteur synchrone ne peut-il fonctionner que pour une vitesse angulaire
ه égale à wo ? .
2.2.3. On se place dans le cas © = وه :
2.2.3.1. Exprimer la valeur 1١ deT(t) .
2.2.3.2. Quelle condition l'angle 9={M,B) entre Met Ben régime permanent doit-il vérifier
pour que cette machine fonctionne effectivement en moteur ?
2.2.3.3. Quelle est, dans ce cas (fonctionnement en moteur), la puissance mécanique Préc
fournie par le moteur ?
2.2.3.4. On suppose que la machine, fonctionnant en moteur, entraîne une « charge » qui
impose au moteur un couple résistant de module constant I, (les autres couples résistants
étant négligés).
Quelle condition doit vérifier 1+ pour que le moteur puisse effectivement entraîner la charge 2
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التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Épreuve de physique du concours d'accès en 1re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 19 juillet 2005, durée 2 h 30. Deux problèmes à traiter sur des feuilles séparées : modèle électrique d'une plaquette piézoélectrique, puis électrotechnique (moteur à courant continu alimenté par un hacheur, principe du moteur synchrone). Correction proposée ci-dessous.
Problème 1 — Plaquette piézoélectrique
1.1.1. Branche série : Z1 = j(Lsω − 1/(Csω)) ; branche C0 : Y2 = jC0ω.
Y = 1/Z1 + jC0ω = jω·[C0LsCsω² − (C0 + Cs)] / (LsCsω² − 1).
Zp = 1/Y = −j·(LsCsω² − 1) / (ω[C0LsCsω² − (C0 + Cs)]). En factorisant −1 au numérateur et −(C0 + Cs) au dénominateur :
X = −(1 − ω²/ωs²) / [Cω(1 − ω²/ωp²)] avec
ωs = 1/√(LsCs) ; ωp = √[(C0 + Cs)/(LsCsC0)] = ωs√(1 + Cs/C0) ; C = C0 + Cs.
1.1.2. ωs = 1/√(1000 × 0,4·10-12) = 1/(2·10-5) = 5,0·104 rad/s (fs ≈ 7,96 kHz avec les valeurs imprimées).
ωp = ωs√(1 + 0,4/60) = ωs × 1,00333 ≈ 5,017·104 rad/s.
(ωs − ωp)/ωs ≈ −3,3·10-3 (≈ Cs/(2C0)) : les deux pulsations sont très proches.
1.1.3. |Zp| = |X| :
- ω → 0 : |X| → ∞ (comportement capacitif, X ≈ −1/(Cω)) ;
- ω = ωs : |Zp| = 0 (résonance série) ;
- ω → ωp : |Zp| → ∞ (résonance parallèle, ou antirésonance) ;
- ω → ∞ : |X| ≈ 1/(C0ω) → 0.
Phase de Zp : −π/2 sur [0, ωs[ et sur ]ωp, ∞[ (X < 0) ; +π/2 sur ]ωs, ωp[ (X > 0), avec des sauts de π en ωs et en ωp.
1.1.4. Sur [0, ωs[ ∪ ]ωp, ∞[ le montage se comporte comme un condensateur (X < 0) ; sur ]ωs, ωp[ comme une bobine (X > 0).
1.1.4 (page 3). Ce sont les phénomènes dissipatifs (représentés par Rs) : frottements internes du matériau qui vibre, énergie emportée par les ondes ultrasonores rayonnées dans le fluide, pertes diélectriques. Avec Rs, |Z| reste minimal mais non nul près de ωs et maximal mais fini près de ωp.
1.2. Au voisinage de fs, la branche C0 a pour impédance 1/(C0ωs) = 1/(60·10-12 × 5·104) ≈ 3,3·105 Ω, tandis que la branche série vaut Rs + j(Lsω − 1/(Csω)), soit 10 Ω à ωs et ≈ Rs + 2jLs(ω − ωs) tout près. Tant que 2Ls|ω − ωs| ≪ 3,3·105 Ω (|ω − ωs| ≪ 170 rad/s), l'impédance de la branche série est très petite devant celle de C0 : en parallèle, C0 ne dérive qu'un courant négligeable et le dipôle se réduit au circuit RsLsCs série de la figure 3.
Problème 2 — Électrotechnique
Première partie — Moteur à courant continu commandé par un hacheur
1.1.1. Interrupteur idéal : tension nulle à ses bornes quand il est fermé, courant nul quand il est ouvert, commutation instantanée, donc aucune puissance dissipée.
1.1.2. La bobine lisse le courant dans le moteur (elle s'oppose à ses variations) : la charge se comporte comme une source de courant, ce qui réduit l'ondulation de i et permet de la relier à la source de tension E0 par les interrupteurs.
1.1.3. Règles d'association des sources : on ne court-circuite jamais une source de tension, et on n'ouvre jamais le circuit d'une source de courant.
- K1 et K2 fermés en même temps court-circuiteraient E0 : interdit ;
- K1 et K2 ouverts en même temps couperaient le courant de la charge inductive : interdit.
Seuls états autorisés, complémentaires : K1 fermé et K2 ouvert (V = E0), ou K1 ouvert et K2 fermé (V = 0).
1.1.4.1. Pour 0 ≤ t < αT : maille E0 – L – moteur (f.é.m. E), soit E0 = L·di/dt + E. Pour αT ≤ t < T : K2 fermé, la bobine et le moteur forment une maille fermée sur K2 (roue libre) : 0 = L·di/dt + E.
1.1.4.2. a) i(t) = Im + (E0 − E)·t/L, croissant de Im à IM.
b) i(t) = IM − E·(t − αT)/L, décroissant de IM à Im.
1.1.4.3. iK1 = i sur [0, αT[ (rampe montante de Im à IM) et 0 sur [αT, T[ ; iK2 = 0 sur [0, αT[ et i sur [αT, T[ (rampe descendante de IM à Im). Les deux graphes sont des trapèzes complémentaires, répétés avec la période T.
1.1.4.4. Lecture de la figure 5 : T = 5 carreaux = 50 µs ; αT = 2 carreaux = 20 µs.
a) Voie 1 : V passe de 0 à 6 carreaux × 20 V : E0 = 120 V.
b) α = 20/50 = 0,4.
c) En régime périodique, <uL> = 0 et R est négligée : E = <V> = αE0 = 48 V.
d) Voie 2 : ondulation de 2 carreaux × 0,1 V = 0,2 V, soit ΔI = IM − Im = 0,2 A (sonde 1 V/A). Phase 1 : L = (E0 − E)·αT/ΔI = 72 × 20·10-6/0,2 = 7,2 mH (contrôle sur la phase 2 : E(1 − α)T/ΔI = 48 × 30·10-6/0,2 = 7,2 mH ✔).
e) P = E0·<iK1> ⇒ <iK1> = 3000/120 = 25 A.
f) Sur [0, αT[, iK1 = i, de moyenne (Im + IM)/2 = <i> (les deux rampes ont la même moyenne). Donc <iK1> = α<i> ⇒ <i> = 25/0,4 = 62,5 A (contrôle : E·<i> = 48 × 62,5 = 3000 W, conservation de la puissance avec des éléments sans pertes).
1.1.5. Le couple utile est proportionnel à la valeur moyenne <i>, alors que les pertes Joule de l'induit valent R·<i²> = R(<i>² + Iond²), où Iond est la valeur efficace de l'ondulation (ΔI²/12 pour un courant triangulaire). L'ondulation ajoute des pertes sans produire de couple moyen : la réduire diminue les pertes et améliore le rendement (elle réduit aussi les ondulations de couple et les vibrations).
Deuxième partie — Principe du moteur synchrone
2.1.1. Tout plan contenant l'axe Ox est un plan d'antisymétrie des courants des spires (les courants le traversent perpendiculairement, en sens contraires de part et d'autre de l'axe). B, pseudo-vecteur, est contenu dans tous ces plans ; en O, qui appartient à tous, il est donc porté par leur intersection, l'axe Ox : B1(O) = B·ex. (Le plan médiateur x = 0, plan de symétrie des deux solénoïdes identiques, donne le même résultat.)
2.1.2. Branche (S1) : Z1 = R + R0 + jLω0 ⇒
I1 = U / √[(R + R0)² + L²ω0²] ; tan φ1 = Lω0/(R + R0).
Branche (S2) : Z2 = R + R0 + j(Lω0 − 1/(Cω0)) ⇒
I2 = U / √[(R + R0)² + (Lω0 − 1/(Cω0))²] ; tan φ2 = (Lω0 − 1/(Cω0))/(R + R0).
2.1.3. a) I1 = I2 impose |Lω0 − 1/(Cω0)| = Lω0, soit (C fini) 1/(Cω0) = 2Lω0 : C = 1/(2Lω0²). Alors tan φ2 = −tan φ1, donc φ2 = −φ1, et un déphasage de π/2 entre les deux courants exige φ1 = π/4, soit R + R0 = Lω0 : R0 = Lω0 − R (possible si Lω0 > R).
b) φ1 = +π/4 et φ2 = −π/4. Avec la convention i = I√2·cos(ω0t − φ) de l'énoncé, c'est φ1 − φ2 qui vaut π/2 : i2 est en avance de π/2 sur i1. La condition de l'énoncé est à comprendre comme un écart de phase de π/2 en valeur absolue, car φ2 = −φ1 < 0 dans tous les cas.
2.1.4. |Z1| = |Z2| = √2·Lω0, donc I1 = I2 = U/(√2·Lω0). En notant k (ou K) la constante de chaque système :
Bx = K·i1 = (KU/(Lω0))·cos(ω0t − π/4) ; By = K·i2 = (KU/(Lω0))·cos(ω0t + π/4) = −(KU/(Lω0))·sin(ω0t − π/4).
Module : BT = √(Bx² + By²) = K·U/(Lω0), constant.
2.1.5. a) B garde un module constant BT et sa direction fait avec Ox l'angle −(ω0t − π/4), qui varie linéairement avec le temps : c'est un champ tournant uniformément dans le plan Oxy. Avec les orientations retenues (i2 en avance), il tourne de Oy vers Ox ; inverser le branchement de (S2) inverse le sens de rotation.
b) Il tourne à la vitesse angulaire ω0, la pulsation de la source.
2.2.1. Le champ tourne à ω0 et le rotor à ω, à partir d'un écart initial θ0 : θ(t) = θ0 + (ω0 − ω)t.
Couple exercé sur le moment M : Γ = M ∧ B = M0BT·sin θ·ez, soit Γ(t) = M0BT·sin[θ0 + (ω0 − ω)t].
2.2.2. Si ω ≠ ω0, Γ(t) est sinusoïdal de valeur moyenne nulle : le rotor ne reçoit aucun couple moyen et ne peut pas entretenir sa rotation contre les couples résistants. Il n'y a de couple moyen non nul qu'au synchronisme, ω = ω0.
2.2.3.1. θ = θ0 constant : Γ0 = M0BT·sin θ0.
2.2.3.2. En moteur, le couple doit être moteur, c'est-à-dire de même sens que la rotation (sens positif de ez sur la figure 8) : Γ0 > 0 ⇒ 0 < θ < π, B en avance sur M. Le fonctionnement est de plus stable pour 0 < θ < π/2 (une augmentation de charge fait croître θ, donc le couple).
2.2.3.3. Pméca = Γ0·ω0 = M0BTω0·sin θ.
2.2.3.4. En régime permanent Γ0 = Γr, soit sin θ = Γr/(M0BT). Il faut donc Γr ≤ M0BT (couple maximal, atteint pour θ = π/2) ; au-delà le moteur « décroche » et s'arrête.
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