نموذج مباراة توظيف مهندس في الهندسة الهيدرولوجية - وكالة الحوض المائي لسبو - دورة 17 فبراير 2019

Ce modèle est l'épreuve écrite spécifique du concours de recrutement d'un ingénieur en génie hydraulique de l'Agence du Bassin Hydraulique du Sebou, session du 17 février 2019. Durée : 4 heures. Partie A — Hydrologie et hydraulique (6 exercices, 17 points) ; Partie B — Hydrogéologie (3 points). Les annexes (feuille pour l'hydrogramme, papier de Gumbel, diagramme de Moody) ne figurent pas dans le document : les lectures graphiques sont remplacées ici par le calcul.

💡 Épreuve longue : 4 heures pour 6 exercices chiffrés. Traitez d'abord les questions de cours (exercice 1) et les calculs directs (exercices 2, 6, hydrogéologie), puis les calculs itératifs (laminage de Puls, exercice 5). Écrivez toujours la formule avant l'application numérique et l'unité du résultat.

A/ Hydrologie

Exercice 1 (2 points) — Questions de cours

1. Types d'écoulement : en charge (conduites pleines) ou à surface libre (canaux, rivières) ; permanent ou non permanent (variable dans le temps) ; uniforme ou non uniforme (graduellement ou brusquement varié) ; laminaire ou turbulent ; fluvial, critique ou torrentiel.
2. Oui : en un point d'un fluide au repos, la pression est la même dans toutes les directions (isotropie de la pression, principe de Pascal) ; c'est une grandeur scalaire, qui ne varie qu'avec la profondeur (hydrostatique).
3. Nombre de Froude Fr = V / √(g·y) : distingue l'écoulement fluvial (Fr < 1), critique (Fr = 1) et torrentiel (Fr > 1) dans les écoulements à surface libre.
4. Nombre de Reynolds Re = ρ·V·D / μ : distingue l'écoulement laminaire (Re < 2 000 environ en conduite), transitoire et turbulent (Re > 4 000 environ).
5. L'envasement (alluvionnement, sédimentation) de la retenue.
6. Temps de concentration : temps mis par une goutte de pluie tombée au point hydrauliquement le plus éloigné du bassin versant pour atteindre l'exutoire ; au-delà de cette durée d'averse, tout le bassin contribue au débit à l'exutoire.
7. Types de barrages : barrages en béton — poids (béton conventionnel ou BCR), voûte, poids-voûte, à contreforts ; barrages en remblai — en terre (homogène ou zonée), en enrochements (à noyau argileux ou à masque amont en béton) ; barrages mobiles (seuils vannés).
8. La méthode de Bishop est utilisée en géotechnique : calcul de la stabilité des talus (glissement circulaire, méthode des tranches), notamment des talus amont et aval des barrages en remblai.

Exercice 2 (2,5 points) — Bassin du Sebou au point P

1. Pluie moyenne annuelle (moyenne pondérée par les surfaces) :

P = (1700 × 600 + 2000 × 450) / 3700 = 1 920 000 / 3700 ≈ 518,9 mm

2. Lame ruisselée et volume : Lr = C × P = 0,28 × 518,9 ≈ 145,3 mm ; V = 0,1453 m × 3700 × 10⁶ m² ≈ 537,6 × 10⁶ m³, soit ≈ 538 Mm³/an.

3. Lecture de l'hydrogramme (tracé Q en fonction de t) :

• Débit de pointe : Qp = 2 500 m³/s ;
• temps de montée : tm = 8 h (de 0 à la pointe) ;
• temps de base : tb ≈ 17 h (le tableau s'arrête à 17 h avec 90 m³/s ; en prolongeant la décrue, la fin du ruissellement se situe vers 18 h).

4. Volume de la crue (méthode des trapèzes, Δt = 1 h = 3 600 s) :

V = 3600 × [ (0 + 90)/2 + 50 + 150 + 300 + 500 + 1020 + 1500 + 2000 + 2500 + 2100 + 1800 + 1500 + 1200 + 1000 + 500 + 200 + 100 ] = 3600 × 16 465 ≈ 59,3 × 10⁶ m³, soit ≈ 59,3 Mm³ (+0,16 Mm³ si l'on ajoute la fin de décrue après 17 h).

5. Transport solide : 2 g/l = 2 kg/m³, d'où une masse M = 59,3 × 10⁶ × 2 ≈ 118,5 × 10⁶ kg ≈ 118 500 t. Converti en volume avec une densité des dépôts de 1,7 t/m³ (valeur utilisée dans l'exercice 4) : ≈ 118 500 / 1,7 ≈ 69 700 m³ (réponse probable : l'énoncé ne donne pas la densité ; avec la densité des grains, 2,65 t/m³, on trouverait ≈ 44 700 m³).

Exercice 3 (3 points) — Débits maximums instantanés annuels (30 ans, 1988-2018)

1. Indicateurs statistiques (n = 30, somme = 8 778 m³/s) :

• Moyenne = 8 778 / 30 = 292,6 m³/s ;
• médiane = moyenne des 15e et 16e valeurs classées = (232 + 261) / 2 = 246,5 m³/s ;
• écart type (estimateur à n − 1) = 189,5 m³/s (186,3 m³/s avec n). Coefficient de variation ≈ 0,65 : forte irrégularité interannuelle ; moyenne > médiane : distribution dissymétrique vers les fortes crues.

2. Fréquences de Hazen F(i) = (r − 0,5)/30 (non-dépassement) et probabilité de dépassement 1 − F ; la dernière colonne donne la variable réduite de Gumbel u = −ln(−ln F) utile pour la question 3 :

3. Ajustement de Gumbel Q = u₀ + α·u. Sur papier de Gumbel, les points (u, Q) s'alignent correctement. Par la méthode des moments (contrôle du tracé) : α = s·√6/π = 189,5 × 0,780 ≈ 147,7 ; u₀ = Q̄ − 0,5772·α = 292,6 − 85,3 ≈ 207,3. D'où Q = 207,3 + 147,7·u (un ajustement graphique ou par moindres carrés sur les points de Hazen donne une droite très proche : Q ≈ 207,6 + 149,7·u).

4. Débits de période de retour T, avec u = −ln(−ln(1 − 1/T)) :

5. La loi de Gumbel (loi des valeurs extrêmes de type I) s'applique aux séries de maxima : débits maximums annuels (crues), pluies maximales journalières ou horaires, vitesses de vent maximales, niveaux marins extrêmes.

Exercice 4 (4,5 points) — Dimensionnement d'un barrage

1. Besoin annuel en eau potable au pied du barrage en 2089

• Population 2089 : P = 390 000 × 1,01⁷⁰ ≈ 390 000 × 2,0068 ≈ 782 640 hab.
• Besoin journalier à la ville : 782 640 × 0,080 ≈ 62 611 m³/j.
• Annuel à la ville (majoration de 20 % en juin, juillet, août, soit 92 jours) : 62 611 × 365 + 0,20 × 62 611 × 92 ≈ 22,85 + 1,15 ≈ 24,0 Mm³.
• Au pied du barrage (rendements adduction et distribution) : 24,0 / (0,93 × 0,825) = 24,0 / 0,767 ≈ 31,3 Mm³/an.

2. Besoins d'irrigation au pied du barrage : 1 mm sur 1 ha = 10 m³, donc volume net = lame (mm) × 10 × 7 750, puis division par le rendement 0,85.

3. Tranche morte (volume des sédiments piégés en 70 ans) :

Vm = S × Ds × durée × 0,9 / γs = 2900 × 56 × 70 × 0,9 / 1,7 = 10 231 200 t / 1,7 ≈ 6,02 × 10⁶ m³, soit ≈ 6,0 Mm³.

4. Volume de la retenue normale. Volume à régulariser = AEP + irrigation ≈ 31,3 + 30,5 ≈ 61,8 Mm³/an. Sur la courbe de régularisation, un volume régularisé de ≈ 62 Mm³ correspond à un volume de retenue (utile) d'environ 43 Mm³ (entre les points 40 → 59 et 60 → 78 Mm³). On ajoute la tranche morte et la tranche de protection contre les crues : V_RN ≈ 6,0 + 43 + 20 ≈ 69 Mm³ (réponse probable : la valeur dépend de la lecture du graphique et du fait que la courbe soit exprimée en volume utile). La variante retenue par l'énoncé (101,25 Mm³) est donc plus large que ce minimum, ce qui donne une marge pour l'évaporation, les années sèches et la croissance des besoins.

5. Hauteurs caractéristiques, à partir de V = 0,05 (H − 120)² (V en Mm³), soit H = 120 + √(V/0,05) :

• Vidange de fond (au niveau de la tranche morte, V = 6,02 Mm³) : H_vf = 120 + √120,4 ≈ 131,0 m ;
• retenue normale (V = 101,25 Mm³) : H_RN = 120 + √2025 = 120 + 45 = 165,0 m ;
• base de la tranche de laminage (V = 101,25 − 20 = 81,25 Mm³) : H_LC = 120 + √1625 ≈ 160,3 m.

6. Lame ruisselée horaire (Ia = 15 mm, fc = 6 mm/h) :

Tant que le cumul est inférieur à 15 mm (heures 1 et 2), rien ne ruisselle ; ensuite seule la part de l'intensité au-dessus de 6 mm/h ruisselle. Lame ruisselée totale = 14 mm.

7. Hydrogramme entrant. L'hydrogramme unitaire correspond à 1 mm de pluie ruisselée en 1 h (vérification : son volume, ≈ 400 × 7 200 s ≈ 2,9 Mm³, est bien 1 mm sur 2 900 km²). Ordonnées lues toutes les 2 h (0 ; 40 ; 200 ; 120 ; 40 ; ≈ 0), interpolées au pas horaire : u = 0, 20, 40, 120, 200, 160, 120, 80, 40, 20, 0 m³/s pour t = 0 à 10 h. Par convolution Q(t) = 4·u(t − 3) + 6·u(t − 5) + 4·u(t − 7) :

Pointe ≈ 1 840 m³/s à t = 9 h ; volume ≈ 11 200 × 3 600 ≈ 40,3 Mm³ (= 14 mm × 2 900 km², aux arrondis de lecture près).

8. Coefficient de ruissellement de l'averse : C = 14 / 52 ≈ 0,27 (27 %).

9. Laminage par la méthode de Puls (Δt = 2 h = 7 200 s). Au début de la crue, la retenue est à 20 Mm³ sous la RN : V₀ = 81,25 Mm³, H₀ = 160,31 m, Θ = 0 tant que H ≤ H_RN = 165 m, puis Θ = 25 (H − 165)^1,5. À chaque pas on cherche H(t+Δt) tel que (I_t + I_{t+Δt})/2·Δt + V_t − Θ_t/2·Δt = V(H) + Θ(H)/2·Δt (résolution par essais successifs) :

Conclusion : le creux de 20 Mm³ absorbe la première moitié de la crue ; le déversement ne commence qu'après 10 h. Le débit déversé maximal, atteint quand Θ = I (entre 14 et 16 h), est d'environ 180 m³/s pour une pointe entrante de plus de 1 700 m³/s : l'écrêtement est de l'ordre de 90 %. Plus hautes eaux ≈ 168,7 m, soit ≈ 3,7 m au-dessus de la RN. (Au pas de 2 h on échantillonne les entrées aux heures paires ; le pic horaire de 1 840 m³/s à 9 h n'est pas pris en compte, ce qui reste dans la précision de la méthode.)

Exercice 5 (2,5 points) — Centrale hydroélectrique au fil de l'eau

1. Charges. Avec la pression atmosphérique à l'entrée (prise d'eau libre) et à la sortie (centrale), et la même vitesse V dans la conduite de diamètre constant :

H_entrée = Z_prise + V²/2g ; H_sortie = Z_usine + V²/2g ; ΔH = Z_prise − Z_usine = 1242 − 1005 = 237 m.

2. Débit maximum. Le débit est maximal quand toute la charge est dissipée par frottement : ΔH = ξ·L·V²/(2g·D). Écoulement rugueux supposé : ε/D = 1/750 ≈ 0,0013, et le diagramme de Moody (ou la formule de Kármán-Nikuradse 1/√ξ = −2 log(ε/3,7D)) donne ξ ≈ 0,021.

V = √(2g·D·ΔH / (ξ·L)) = √(2 × 9,81 × 0,75 × 237 / (0,021 × 5000)) ≈ 5,75 m/s ; Q = V × πD²/4 = 5,75 × 0,442 ≈ 2,54 m³/s.

Vérification : Re = ρVD/μ = 1000 × 5,75 × 0,75 / 10⁻³ ≈ 4,3 × 10⁶ ; pour ε/D = 0,0013 on est bien dans la zone de turbulence rugueuse du diagramme de Moody (ξ ne dépend plus de Re). (Si l'on inclut déjà les pertes singulières de la centrale, Ks = 51, on trouverait V ≈ 4,93 m/s et Q ≈ 2,18 m³/s.)

3. Débit optimal et puissance maximale. Avec V = Q/A : P = ρgQ·[ΔH − (ξL/D + Ks)·Q²/(2gA²)]. dP/dQ = 0 donne ΔH = 3·(ξL/D + Ks)·Q²/(2gA²), c'est-à-dire que les pertes valent ΔH/3 à l'optimum :

Q_opt = (πD²/4) · √( 2g·ΔH / (3·(ξ·L/D + Ks)) ) et P_max = (2/3)·ρ·g·Q_opt·ΔH.

Application : ξL/D = 0,021 × 5000 / 0,75 ≈ 140,6 ; ξL/D + Ks ≈ 191,6 ; V_opt = √(2 × 9,81 × 237 / (3 × 191,6)) ≈ 2,84 m/s ; Q_opt ≈ 2,84 × 0,442 ≈ 1,26 m³/s ; P_max ≈ (2/3) × 1000 × 9,81 × 1,26 × 237 ≈ 1,95 × 10⁶ W ≈ 1,95 MW (puissance hydraulique, avant rendement de la turbine). L'énoncé écrit « pression maximale » : il s'agit de la puissance maximale.

Exercice 6 (2,5 points) — Canal rectangulaire (b = 10 m, n = 0,012)

1. Débit par unité de largeur : q = Q/b = 40/10 = 4 m²/s.

2. Régime critique :

• yc = (q²/g)^(1/3) = (16/9,81)^(1/3) ≈ 1,18 m ;
• Vc = q/yc = √(g·yc) ≈ 3,40 m/s ;
• pente critique (Manning, avec A = 11,77 m², P = 12,35 m, R = 0,953 m) : Ic = (Q·n / (A·R^(2/3)))² = (40 × 0,012 / (11,77 × 0,968))² ≈ 1,77 × 10⁻³, soit ≈ 1,8 ‰.

3. Pente du canal < pente critique : la hauteur normale est supérieure à yc, l'écoulement est fluvial (Fr < 1).

4. Explication. Tant que l'énergie spécifique disponible à l'amont suffit pour franchir la surélévation de 0,5 m en restant fluvial, le seuil n'a pas d'influence sur le niveau amont (la surface s'abaisse seulement au-dessus du seuil) : le niveau amont reste celui imposé par l'écoulement dans le canal. Lorsque le débit augmente, l'énergie minimale nécessaire pour passer le seuil (Ec + Δz) finit par égaler l'énergie amont : l'écoulement devient critique sur le seuil, qui devient une section de contrôle. Au-delà, pour faire passer le débit, l'eau doit s'exhausser à l'amont (courbe de remous) : le niveau amont se met à augmenter à partir de h1.

5. Hauteur h1 pour Q = 45 m³/s (écoulement critique sur le seuil) :

• q = 4,5 m²/s ; yc = (4,5²/9,81)^(1/3) ≈ 1,273 m ; Ec = 1,5·yc ≈ 1,910 m ;
• énergie amont : E1 = Ec + Δz = 1,910 + 0,5 = 2,410 m ;
• on résout (racine fluviale) h1 + q²/(2g·h1²) = 2,410, soit h1 + 1,032/h1² = 2,410 ⇒ h1 ≈ 2,20 m (Fr ≈ 0,44, fluvial).

B/ Hydrogéologie (3 points) — Nappe côtière de Mnasra

1.a Détermination de T et S : par essais de pompage. On pompe à débit constant Q dans un puits et on mesure le rabattement s dans le puits et dans un ou plusieurs piézomètres à distance r. Interprétation en régime transitoire par la méthode de Theis ou l'approximation logarithmique de Cooper-Jacob : sur le graphe s = f(log t), la pente Δs par cycle log donne T = 0,183·Q/Δs, et l'ordonnée à l'origine t₀ donne S = 2,25·T·t₀/r² (S exige un piézomètre d'observation). Les essais de courte durée (essais de puits) renseignent aussi sur le débit critique.

1.b T = 10⁻³ m²/s : aquifère sableux et calcarénitique de 80 m d'épaisseur, réputé très productif (10⁻⁵ m²/s correspondrait à un aquifère médiocre ; ici K ≈ 1,25 × 10⁻⁵ m/s).

1.c S = 5 % : pour une nappe libre, S est égal à la porosité efficace, de l'ordre de quelques pourcents ; 0,05 % (5 × 10⁻⁴) est un ordre de grandeur de nappe captive.

1.d Diffusivité : D = T/S = 10⁻³ / 0,05 = 0,02 m²/s.

1.e Coefficient d'infiltration : 20 %, cohérent avec des formations superficielles récentes (sables dunaires) de très bonne perméabilité.

1.f Infiltration annuelle : 0,20 × 0,5 m × 600 × 10⁶ m² = 60 × 10⁶ m³/an, soit 60 Mm³/an.

1.g Réserves totales : S × épaisseur × surface = 0,05 × 80 × 600 × 10⁶ = 2,4 × 10⁹ m³, soit 2 400 Mm³.

2.a Variation annuelle des réserves : ΔV = S × Δh × A = 0,05 × 0,8 × 600 × 10⁶ = 24 Mm³/an de déstockage. Le bilan est déficitaire : les sorties (surtout les prélèvements pour l'irrigation de 38 000 ha) dépassent les entrées d'environ 24 Mm³/an ; la nappe est surexploitée.

2.b Termes du bilan : entrées — infiltration efficace des pluies, retours d'irrigation, infiltration depuis l'oued et les canaux, apports latéraux souterrains (nappe du Gharb) ; sorties — prélèvements (puits, forages), écoulements vers l'océan et drainage par l'oued et les canaux d'assainissement, évapotranspiration là où la nappe est proche du sol, sorties latérales ; et la variation de stock : Entrées − Sorties = ΔV.

2.c Causes de l'intrusion marine : surexploitation et baisse piézométrique qui inverse le gradient près du littoral ; concentration de forages près de la côte ; recharge réduite par les sécheresses ; forte perméabilité des sables dunaires ; élévation du niveau marin à long terme.

2.d Actions de l'administration : contrôle des prélèvements (autorisations, compteurs, police de l'eau, dans le cadre de la loi n° 36-15 relative à l'eau) ; interdiction de nouveaux forages dans la bande côtière ; réseau de surveillance piézométrique et de salinité ; contrat de nappe avec les usagers ; économie d'eau en irrigation (goutte-à-goutte) ; substitution partielle par les eaux de surface ou non conventionnelles (dessalement, eaux usées épurées) ; recharge artificielle ; modélisation de la nappe pour fixer un volume exploitable.