نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2006: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun
École Mohammadia d'Ingénieurs

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Écoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2006

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière TSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Concours National Commun - Session 2006 - Filière TSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.

L'épreuve est composée de deux problèmes indépendants et peuvent être traités dans un ordre
quelconque. Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention
particulière sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui
dépend en général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de
chiffres significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit
être accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Premier problème
Thermodynamique

On dispose d’un réservoir R, de température constante de grande capacité, contenant un gaz
diatomique G, sous une pression Pp = 25x 10° Pa et une température Ty = 300 K constantes.

On admettra dans la suite que le volume de ce réservoir est tel que l’on pourra l’assimiler
à un générateur de gaz comprimé parfait. C'est-à-dire que la pression dans le réservoir R est
indépendante de la quantité de gaz qui peut en sortir.

On admettra de plus dans tout le problème que G est un gaz parfait diatomique rigide de
masse molaire M = 28 x 107 kg.mol”!. On prendra pour valeur de la constante des gaz parfaits

1°'° partie

Étude d’un réservoir à gaz

Un cylindre indéformable C isolé thermiquement de l'extérieur est séparé, à l’aide d’un piston
II à parois athermanes, en deux compartiments ‏ن‎ et @, de volumes respectifs V, et ‏.ا‎ Le piston
IL, de masse négligeable, peut glisser sans frottement tout en restant perpendiculaire à l’axe À du
cylindre C (figure 1).

C; peut être mis en communication avec le réservoir R par l'intermédiaire d’une vanne 11 et
avec @ par l'intermédiaire d’une vanne 2.

‎peut être mis en communication avec un autre réservoir R, au moyen d’une vanne M.‏ نين

‎On négligera systématiquement tout transfert thermique à travers une vanne fermée.

‎1.1. On note y le rapport des capacités calorifiques à pression et à volume constant et on donne,
pour les gaz diatomiques rigides, y = z :

‎1.1.1. Donner un exemple de gaz diatomique.

‎1.1.2. Exprimer les capacités calorifiques molaires à volume constant c, et à pression constante
cp pour un gaz parfait diatomique rigide en fonction de y et R. Application numérique.

‎1.2.  Lepiston IL est bloqué. Le compartiment ‏ن‎ de volume V, = 10 L constant contient le gaz ©
à la température Ty = 300 K et sous la pression My = 1 x 10° Pa. Les vannes ‏وأ‎ et 7 étant fermées,

‎on ouvre brutalement la vanne 11 afin de remplir le compartiment ‏ن‎ avec le gaz ©

‎Épreuve de Physique I 1/8 Tournez la page S.V.P.

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Figure 1: Réservoirs reliés à un cylindre à piston.

1.2.1. Exprimer la quantité de matière N, du gaz contenu initialement dans le compartiment
© en fonction des données du problème. Application numérique.

1.2.2. Que vaut la pression P, dans le compartiment 0 à la fin de l'opération ?

1.2.3. Exprimer de même la quantité de matière N du gaz qui passe du réservoir R dans le
compartiment Ç; en fonction de R, Po, Pr, V1, To et de la température T,du gaz contenu dans Ç; à
la fin de l'opération.

On considère comme système le gaz contenu initialement dans ‏ن‎ (quantité de matière N,) et le
gaz qui passe de Rà C; (quantité de matière N'.

1.2.4. Exprimer la variation AU de l'énergie interne du système en fonction de N, 27, To, T1, Y
et R.

1.2.5. Exprimer le travail W reçu par le système en fonction de la pression Pp et du volume Vy
qu’occupait la quantité de matière N du gaz dans le réservoir R,

1.2.6. En déduire la température finale 11 du gaz. Pour cela on pourra appliquer le premier
principe de la thermodynamique après avoir montré que la transformation peut être considérée
comme adiabatique. On exprimera 1 en fonction de Pr, Po, To et y. Application numérique.

1.3.  Lepiston II étant toujours bloqué et le compartiment @ parfaitement vide, on ferme la vanne
11 puis on ouvre la vanne 112. La tuyauterie est thermiquement isolée de l'extérieur, mais permet
l'échange thermique entre ‏ن‎ et G quand 9 est ouverte. On donne V, = 10 L et V, = 2, 0 L. Soit T2
la température du gaz lorsque l'équilibre est atteint.

1.3.1. Comment appelle-t-on une telle transformation ?
1.3.2. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, montrer que 15 = ٠

1.3.3. La transformation du gaz est-elle réversible ? Déterminer l'expression de la variation
d’entropie AS en fonction de Pr, V,, V2 et T,. On justifiera soigneusement la méthode utilisée.

Épreuve de Physique I 2/8 ‏ب‎

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Commenter le résultat obtenu.
1.3.4. Calculer numériquement AS et commenter le résultat obtenu. On donne In Ë = 0, 18.

1.3.5. L'état final du système dépend-il de l’ordre de fermeture et d'ouverture des vannes 11 et
V2 ? Expliquer brièvement.

1.4.  Lepiston 11 étant bloqué et la vanne 2 fermée, le compartiment ‏ن‎ de volume V, = 10 L est
rempli à l'aide du réservoir R, La température du gaz contenu dans ‏ن‎ est alors Ty = 300 K.

Le compartiment @ est rempli à l'aide d’un réservoir Ry contenant un gaz parfait Go à la
pression P = ‏ال‎ On donne ‏ومن‎ = 3R la capacité calorifique molaire à volume constant de Go
et on note y) son rapport de capacités calorifiques à pression constante et à volume constant.

Dans l’état initial, la température du gaz Go contenu dans @ est Ty = 300 K et on note le volume
vi du compartiment @ sous la forme 7 = Vox où 0 = 0,1 ‏ا آ‎ 2 = 5e est un paramètre réel
pouvant varier de 0 à Tmax-

Les vannes #9 et M restant fermées, la vanne 11 est à nouveau ouverte. On débloque le piston
11 et on le bloque à nouveau dès que la pression est la même dans les deux compartiments.

1.4.1. Déterminer la quantité de matière na du gaz Go dans le compartiment @ en fonction de
Pr, Vo et To.

1.4.2. Donner l'expression du volume ‏وا‎ occupé par le gaz de @ dans l’état final en fonction
de sa température T ainsi que de 16 et Vo.

1.43. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, montrer que la température
T'(x) du gaz Go contenu dans @ est donnée par :

1
4 0

1.44. En déduire l'expression de ‏وآ‎ en fonction de Vy et x.

1.45. Déterminer la variation d’entropie AS du gaz Go contenu dans @ en fonction de Pr, Vo,
To et x.

1.4.6. Applications numériques
1.4.6.1. Calculer numériquement T et AS pour x = 25. On donne In2 = 0,69 ‏قصل‎ = 1,1.
1.4.6.2. Déterminer la valeur numérique de AS pour x = 1 et pour x tendant vers zéro.

1.4.6.3. Déterminer Fmax ainsi que la valeur numérique de AS lorsque 2 = ‏.مو‎ On donne

In 7450 = 8, 92.

1.4.7.  Représenter AS en fonction de x et commenter le graphique obtenu.

2°"° partie
Étude d’un moteur à piston

Un moteur à piston est constitué d’un cylindre calorifugé de volume V4 = 0,8 L, muni de deux
soupapes S, et ‏وق‎ et d’un piston IL athermane pouvant glisser sans frottement le long de l'axe du
cylindre (figure 2). Le cylindre est relié à l’aide de la soupape S, au réservoir à gaz R étudié en 1,
rempli du gaz parfait G.

Épreuve de Physique I 3/8 Tournez la page S.V.P.

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Figure 2: Moteur à piston.

2.1. Initialement le piston est placé contre la culasse K et le volume de gaz enfermé dans le
cylindre est nul. La soupape Sa étant fermée, on ouvre la soupape S, pour mettre le cylindre en
communication avec le réservoir R, Le piston se déplace alors vers la droite jusqu'à ce que le volume
V du gaz enfermé dans le cylindre soit égal à 4. Pour les applications numériques, on prendra

2.1.1. Que vaut la pression à l'intérieur du cylindre à la fin de cette première étape ? Comment
appelle-t-on une telle transformation ?

2.1.2. Exprimer la quantité de matière no admise dans le cylindre à la fin de cette étape en
fonction de Pr, V4, ‏ه‎ et de la température T, du gaz dans le cylindre.

2.13. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, exprimer 7} en fonction de
120:

2.1.4. Calculer numériquement no.

2.2. À la fin de la première étape, alors que la soupape ‏و8‎ est toujours fermée, la soupape S, se
ferme et le gaz enfermé subit une détente adiabatique, que l’on suppose réversible, jusqu’à ce que
le volume du cylindre soit égal à V4.

2.2.1. Exprimer la pression P, dans le cylindre à la fin de cette deuxième étape en fonction Pr,
y et œ. Application numérique. On donne 57/5 = 9, 52.

2.2.2. Exprimer le travail W3 reçu par le gaz au cours de cette étape en fonction de Pr, Va, y et
0

2.3. À la fin de la deuxième étape, la soupape ‏و5‎ s'ouvre mettant le gaz contenu dans le cylindre
en communication avec l'extérieur où la pression est P, = 1 x 10° Pa. Le piston reste d’abord
immobile (V = V4) tant que la pression P › Py, ensuite il est ramené vers la culasse jusqu'à V = 0.
Un nouveau cycle peut alors commencer.

2.3.1. Tracer l'allure du diagramme de WATT donnant la pression P du gaz, en ordonnée, en
fonction du volume V qu’il occupe. Indiquer les points remarquables et préciser le sens de parcours

du cycle.

Épreuve de Physique I 4/8 ‏ب‎

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2.3.2. Déterminer l'expression du travail Wy fourni au gaz par le piston au cours d’un cycle en
fonction de Po, Pr, Va, y et œ. Application numérique.

2.3.3. Quel doit être, en régime stationnaire, le débit massique D, du gaz pour que la puissance
mécanique du moteur soit P= 1 kW ? On donnera l'expression littérale de D; en fonction de P, Wo,
Pr, Va, To, M, R, Ÿ et ‏ده‎ et on calculera numériquement D, en kg/h.

2.3.3.1. Calculer numériquement la durée At d'un cycle dans ces conditions.
3ème partie
Étude d’un moteur à turbine

Un moteur à turbine (figure 3) est constitué d’une tuyère 7 calorifugée, au milieu de laquelle se
trouve une turbine T. Le gaz G du réservoir R de la partie 1, est injecté à l'entrée de la tuyère. Il
actionne la turbine puis sort dans l'atmosphère, à la pression Py avec une vitesse négligeable. On
s'intéresse au régime de fonctionnement stationnaire.

Figure 3: Moteur à turbine.

3.1. On suppose que le gaz G subit une détente adiabatique réversible. Soit W7 le travail fourni
à une mole de gaz par la turbine.

3.1.1. Rappeler l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un système
ouvert.

3.1.2. En déduire que, dans le cas du modèle de moteur à turbine étudié, le travail W7 est
simplement relié à la variation d’enthalpie molaire du gaz entre l'entrée et la sortie de la tuyère.

3.13. En déduire l'expression de W7 en fonction de Ty, Po, Pr, y et R. Application numérique.
Préciser le signe de W7 et commenter le résultat obtenu. On donne 5/7 = 2, 51.

3.1.4. Quel doit être le débit massique D» pour que la turbine ait une puissance P= 1 kW ? On
exprimera D» en fonction de P, W7 et la masse molaire M du gaz G. Application numérique.

3.2. Pour tenir compte des irréversibilités on admet que lors de la détente adiabatique, la
pression P et le volume V sont reliés par la loi polytropique :

PV" = constante avec k = 1,16

3.2.1. Déterminer, dans ces conditions, le travail W,. fourni à une mole de gaz par la turbine.
Application numérique. On donne 55/29 = 1, 56.

3.2.2. Quel est le débit massique correspondant D! assurant une puissance P = 1 kW de la
turbine ?

Épreuve de Physique I 5/8 Tournez la page S.V.P.

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4ème partie

Étude d’un moteur à réaction

On utilise le réservoir R pour faire fonctionner un moteur à réaction. Le gaz G est envoyé dans
une tuyère calorifugée 7 à la sortie de laquelle règne la pression Py = 1 x 10° Pa et où la vitesse du
gaz n’est plus négligeable (figure 4). On s'intéresse au régime de fonctionnement stationnaire et on
néglige la vitesse du gaz à la sortie du réservoir.

Figure 4: Moteur à réaction.
Pour tenir compte des irréversibilités, on admet la loi d'évolution polytropique :
PV" = constante avec ‏أ‎ 1,04

4.1.  Enappliquant le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert, exprimer
la vitesse v d’éjection des gaz en fonction de M, y, R, To, Po, Pr et k'. Application numérique. On
donne 5/13 = 1,13.

4.2. Quel est le débit massique ‏و10‎ du gaz permettant d’avoir une puissance cinétique d’éjection
P=1kW?

Deuxième problème
Mécanique

On considère le système mécanique représenté figure 1. AB est une barre homogène de masse
m et de longueur 2 €. L'extrémité À de la barre est assujetie à se déplacer, sans frottement, le long
de l’axe matérialisé par Oy. On note G le centre d'inertie de la barre repéré par ses coordonnées
cartésiennes (x,%y). L'orientation de la barre dans le plan rOy est repérée par l'angle 0 qu'elle fait
avec la verticale. Le champ de pesanteur est uniforme et donné par :

2 0 ا 7

En plus de son poids, la barre est soumise à l’action d’une force de rappel appliquée au point À et
schématisée par un ressort de raideur k et de longueur ‏و/‎ à vide. Au passage de l'extrémité À de la
barre par l’origine © (y4 = 0), la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide ‏.و‎

On s'intéresse aux mouvements d’oscillation de la barre AB dans le plan xOy. Toute l'étude sera
menée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

On donne le moment d'inertie J de la barre AB par rapport à un axe À perpendiculaire à la
barre et passant par son centre d'inertie G :

J= 3

Épreuve de Physique I 6/8 ‏يجت‎

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2

Figure 1: Système mécanique.

1** partie
Mise en équation
1.1.1. Exprimer z en fonction de / et 0.

1.1.2. Exprimer de même la coordonnée y4 donnant la position de l'extrémité A de la barre,
ya = 02 : 0 en fonction de y, 2 et 0.

1.2. On se propose de déterminer les équations du mouvement de la barre.

1.2.1. Faire le bilan des efforts exercés sur la barre en mouvement et représenter schématique-
ment leurs résultantes sur une figure.

1.2.2. Écrire le théorème de la résultante cinétique (TRC) appliqué à la barre AB.

1.23. En déduire l'expression de la réaction 7 de 1 ‏عحة‎ Oy en fonction de m, ‏ا ,و‎ 0, 0 et 0 ainsi
qu’une équation du mouvement reliant y, ÿ et 0. On posera :

1.24. Écrire le théorème du moment cinétique (TMC) en G.

1.2.5. En déduire, à l'aide d’une projection convenable, une deuxième équation du mouvement
de la barre reliant 0, 0, 0 et y. On posera :

42
w9= 7

2°M° partie
Étude des petites oscillations de la barre

On s'intéresse aux petits mouvements de la barre AB. Dans ce cas, y et 0 ainsi que toutes leurs
dérivées temporelles sont supposés être des infiniment petits de premier ordre.

Épreuve de Physique I 7/8 Tournez la page S.V.P.

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2.1. En linéarisant les équations du mouvement obtenues précédemment, montrer que, dans ce
cas, le mouvement général de la barre est décrit par :

ÿ+wiy=wiz
où l’on a posé z = 0.
2.2. On cherche les modes propres d’oscillation de la barre sous la forme, en notation complexe :
y = AexpiQt
z= BexpiQt
où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument + = . À et B sont deux constantes complexes.
2.2.1. Montrer que À et B sont solutions du système linéaire homogène suivant :
2.2.2. À quelle condition ce système admet-il des solutions non identiquement nulles ?
2.23. En déduire que ® est solution de l'équation :

2.2.4. Montrer alors que, dans le cadre des petites oscillations, le mouvement libre le plus
général est donné par :

y = A, expi; t + AgexpiQat
z=B,expi;t+ByexpiMat

et donner les expressions de ©, et N2 en fonction de ‏رم‎ et ‏.وم‎ On prendra Q; › Na. Comment
détermine-t-on ‏,رك‎ A», B, et 7

2.3. Initialement (t = 0), l'extrémité À étant au repos en 0, on écarte la barre AB d’un angle 0 › 0
très faible par rapport à la verticale et on la lâche sans vitesse initiale.

2.3.1. Déterminer les constantes ‏رمك ,يك‎ B, et B».
2.3.2. Que vaut y(t) ? Commenter.

2.3.3. En déduire l'expression de 0(t) en fonction de ,, 2 ‏و0‎ et t. L'expression obtenue
semble-t-elle en accord avec le résultat de la question 2.3.2. ? Expliquer.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique I 8/8 FIN

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