نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2024: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2024 — Filière PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L’usage de la calculatrice est autorisé

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de

rappeler avec précision les | références | des questions abordées.

L'épreuve est composée de quatre parties largement indépendantes. Chaque partie contient
des informations qui peuvent vous aider dans les parties suivantes, une lecture attentive est
alors recommandée.

Il est fortement recommandé de commencer par la première partie. Cette partie
est notée sur 4 points et le reste de l'épreuve sur 16 points.

Quelques aspects de la physique des semi-conducteurs

Les semi-conducteurs sont des matériaux importants dans l’électronique moderne. Leur
conductivité électrique se situe entre celle des conducteurs et celle des isolants. À l’état pur,
les atomes des cristaux semi-conducteurs partagent des électrons pour former des liaisons
covalentes. Ces matériaux ne conduisent pas l'électricité à basse température. À tempéra-
ture ambiante, certaines liaisons sont rompues et les électrons sont excités dans la bande de
conduction. Le matériau devient alors légèrement conducteur.

La conductivité des semi-conducteurs peut être modifiée grâce à un processus spécifique
appelé dopage. Cette propriété fait que les semi-conducteurs jouent un rôle central dans de
nombreuses applications. Le silicium est le matériau semi-conducteur le plus utilisé.

Données numériques :
- Charge élémentaire : ‏ع‎ = 1,6 x 10-"°C;
- Masse de l’électron : m = 9,1 x 10-7

Partie 1

Action d’un champ électrique sur une particule chargée
(Barème : 4/20)
On considère une particule assimilée à un point matériel M de masse m et de charge q
soumise à un champ électrique constant = 1777 .. La particule se déplace à la vitesse TV
par rapport au référentiel de laboratoire R supposé galiléen. Nous supposons que, en plus de

l’action du champ électrique, la particule est soumise à une force de frottement visqueux :
‏جه‎ m eux 3 x 4 els , :

f =-— Ÿ, avec + une constante positive homogène à un temps. On néglige l’action de la
5

pesanteur sur la particule.

1.1. Ecrire la deuxième loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) dans le
référentiel R pour la particule M.

1.2. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par 7 sachant 70 = 0) = 0. Montrer que le
mouvement de la particule est suivant l'axe Ox et qu’une vitesse limite (régime stationnaire)

Physique 2 1/7

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7 un peut être atteinte :

Quelle est la constante de temps d’établissement de cette vitesse limite ?
1.3. Tracer l’allure de la courbe représentative de la vitesse en fonction du temps v(t).

1.4. Déterminer les expressions de Pr et P;, les puissances respectives de la force électrique
et de la force de frottement, en régime stationnaire en fonction de q, m, E et 7. Conclure.

Partie 2

Propriétés électriques d’un semi-conducteur intrinsèque

2.1. Modèle de la conduction électrique dans un conducteur

On considère un conducteur électrique métallique modélisé par un gaz d'électrons libres
de charge —e et de masse m. Ces électrons responsables de la conduction électrique, qui sont
au nombre de N par unité de volume, se déplacent librement dans un cristal d'ions supposés
fixes dans le référentiel de laboratoire R supposé galiléen. Les électrons libres subissent des
collisions (chocs) de manière aléatoire. L'action de la pesanteur sur ces électrons sera négligée.

La conduction électrique peut être interprétée par le modèle connu sous le nom de « modèle

de Drude », dans lequel nous supposons que :

- En présence d’un champ électrique E appliqué, un électron de conduction est animé
d'une vitesse moyenne 7. Cette vitesse est appelée vitesse d’ensemble ou vitesse de
dérive des électrons libres dans le cristal ;

- Les chocs amortissent l’établissement du mouvement d’ensemble des électrons. L'effet
des chocs est analogue à celui d’une force de frottement de type visqueux égale à — =

agissant sur chaque électron libre ; 7 est une constante homogène à un temps.

On se place en régime stationnaire, la vitesse d’un électron de conduction est donnée par
la relation (1) établie dans la première partie : 7 = 7x

2.11. Donner la signification physique de la vitesse d'ensemble (ou de dérive) des électrons
libres à travers le cristal métallique.

2.12. Définir le vecteur densité volumique de courant 7 qui apparaît en régime station-
naire au sein du conducteur, en fonction de 7 , N et e.

2.1.3. Ecrire la loi d'Ohm locale dans le conducteur en reliant la densité de courant et
le champ électrique. En déduire que la conductivité ‏ه‎ du matériau conducteur s’écrit sous la
forme : à

Ne“T

2.14. Calculer 7 sachant que dans un métal, la conductivité est de l’ordre de 107 S.m”* et
que le nombre d’électrons par unité de volume est de l’ordre de N = 10 ‏.حدس‎ Commenter.

Physique 2 2/7

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2.2.  Semi-conducteur intrinsèque

Un semi-conducteur intrinsèque est un cristal parfait sans défauts d’empilement ni impu-
retés. C’est un isolant à température nulle. À une température 7’, l’agitation thermique rompt
quelques liaisons covalentes. Un électron, de charge —e, faisant généralement partie d’une liai-
son covalente, est délogé et devient libre, laissant une liaison covalente incomplète, appelée
trou. Le trou est considéré comme une particule de charge +e et de masse m égale à celle de
l’électron. Les trous et les électrons sont des porteurs de charges et contribuent à la conduction
électrique.

On note n la concentration en électrons et p la concentration en trous. La neutralité
électrique du matériau impose que les trous et les électrons sont en nombres identiques, c’est-
à-dire n = p = ‏يد‎ où n; est appelée concentration intrinsèque.

Pour le silicium pur à T = 300 K,n = p = n; = 1,5 x 1090173. Ce nombre est très faible
si on le compare au nombre d'atomes par unité de volume : ns; = 5 x 10%*m7*.

On suppose que le modèle de conduction de la section précédente est aussi valable pour le
semi-conducteur et que la courant électrique est la somme des contributions des électrons et
des trous dans la conduction.

La vitesse d’ensemble d’un type de porteurs est liée au champ électrique par la relation
7, = pu, E où 1, est la mobilité du porteur. L'indice « j » fait référence à un type de porteur
particulier (électron ou trou).

On notera je, et ju, les mobilités respectives des électrons libres et des trous respectivement.
A T = 300 K, les mobilités des porteurs de charges dans le silicium intrinsèque sont :
in = —1500 x 10-* SI et ju, = 600 x 10-* SI.

2.2.1. On associe au mouvement d’ensemble de charges le vecteur densité de courant élec-
trique 7 . Donner l’expression de j en fonction de n, p, e, 7 et 1 puis en fonction ‏عل‎ n,

2.2.2. Montrer que la conductivité électrique ‏ه‎ du semi-conducteur pur s’écrit :
ga=e (p Hp — N Hn ) (3)

2.23. Calculer la valeur numérique de ‏ه‎ pour le silicium à 7 = 300 Æ. Comparer cette
valeur à celle du cuivre qui est de l’ordre de 107 S.m—*.

Partie 3

Semi-conducteur dopé

Pour augmenter le nombre de porteurs mobiles dans un semi-conducteur pur, tel que le
silicium par exemple, on introduit dans le cristal des atomes différents du silicium, qu’on
qualifie d’impuretés. On dit alors que l’on effectue un dopage et que le semi-conducteur est
dopé.

Le dopage s’effectue par un phénomène de diffusion qui a lieu à température élevée. Lorsque
le système est ramené à température ambiante, les impuretés sont figées et sa conductivité

Physique 2 3/7

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électrique est alors modifiée.

3.1. Diffusion d’impuretés dans un semi-conducteur : Dopage

On note c(M,t) la concentration en impuretés en un point M à un instant t. L’inhomo-
généité en concentration entraîne un mouvement des impuretés caractérisé par un vecteur
densité de courant de particules TM, t).

3.11. La diffusion des impuretés est régie par la loi de Fick. Cette loi fait apparaitre un
coefficient de diffusion D de l’impureté dans le semi-conducteur. L’expression mathématique
de la loi de Fick est :

Interpréter cette loi et préciser les unités de chaque grandeur.

Le semi-conducteur intrinsèque est assimilé à un milieu homogène et on suppose la diffusion
unidirectionnelle. On note c(x, t) la concentration en impuretés.

3.12. Dans un volume élémentaire cylindrique de section S et d’épaisseur dx, situé entre
les abscisses x et x + dr, effectuer un bilan de matière portant sur les impuretés afin d'établir
une relation entre Ja(x,t) et c(x,t). Ce bilan traduit la conservation du nombre d’impuretés.

3.13. En déduire que l’équation de diffusion s’écrit :

Oc ‏م2‎

À l'instant initial (t = 0(, la concentration en impuretés est nulle en tout point du semi-
conducteur. On note Ny le nombre d’impuretés par unité de surface introduites à partir de
l’instant initial en x = 0 à la surface du semi-conducteur considéré comme semi-infini s’éten-
dant de ‏م‎ = 0 à x + +0.

3.14. On cherche, pour t › 0, une solution de l’équation de diffusion sous la forme :

3.1.4.1. Déterminer les équations satisfaites par A(t), B(t) et leurs dérivées.

1118 suite 1 ni 1) = No me
On admettra pour à sulte expression C1-CI€ssous : els, 0) = exp 8

71 1471

3.1.4.2. Vérifier que les équations établies à la question précédente sont satisfaites.

3.1.43. Tracer l’allure de la concentration c en fonction de r à deux instants ‏را‎ et ts › ٠

3.15. À une date ty fixée, à quelle profondeur 6 la concentration est-elle la moitié de celle
en 7 = 0? Exprimer 6 en fonction de D et to.
Le coefficient de diffusion du phosphore dans le silicium à 1000 Æ vaut D = 3x10-"*em?.s—*.

Calculer 6 au bout d’une heure.

Physique 2 477

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3.2. Dopage N et P du silicium

Si les impuretés augmentent la concentration en électrons libres dans le semi-conducteur,
on dit que les impuretés sont de type N et que le semi-conducteur est de type N. L'atome
d’impureté se substitue à un atome de silicium dans le réseau cristallin en apportant un électron
de plus que l’atome qu’il remplace.

De même, si les impuretés augmentent la concentration en trous dans le semi-conducteur,
on dit que les impuretés sont de type P et que le semi-conducteur est de type P. L'atome
d’impureté apporte ici un électron de moins que l’atome qu’il remplace dans le réseau cristallin.

3.2.1. Dans un échantillon de silicium de type N, on note c_ la nouvelle concentration en
électrons libres et on néglige la concentration en trous.

En utilisant la relation (3), donner l’expression approchée de la conductivité électrique ‏اه‎
‎du silicium dopé N en fonction de c_, e et ‏مر‎

3.2.2. Calculer la valeur numérique de o’ pour c_ = 5 x 10**em”*. Commenter.
On utilisera les valeurs numériques des mobilités données à la section 2.2.

Partie 4
Cellule photovoltaïque

La fabrication des panneaux solaires est l’une des applications des semi-conducteurs. Un
panneau solaire permet la conversion de l'énergie lumineuse en énergie électrique : lorsqu’un
électron de valence absorbe un photon suffisamment énergétique, il se détache de sa liaison
et passe dans la bande de conduction. Il y'a ainsi création d’une paire électron libre-trou
libre. Les cellules photovoltaïques fonctionnent sur ce principe. Le phénomène est appelé effet
Photovoltaïque. Un panneau solaire est constitué d’une série de cellules photovoltaïques reliées
les unes aux autres.

4.1. Schéma électrique équivalent d’une cellule photovoltaïque

On considère une cellule photovoltaïque en silicium. Celle-ci peut être modélisée par le
schéma électrique de la figure 1, où la cellule est connectée à une charge résistive R.

Cellule photovoltaïque

FIGURE 1 — Schéma électrique équivalent d’une cellule photovoltaïque sans pertes.

Physique 2 5/7

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La diode D a pour caractéristique : I; = Is (os (=) — 1 où ‏ها‎ =25mV à T = 25°C.

On donne, pour une cellule photovoltaïque dont l'aire exposée au rayonnement vaut 1, 0 em? :

= ‏رم[‎ = 40mA pour une puissance d’éclairement P, = 100mW sur la cellule.

4.1.1. Déterminer l'expression de l'intensité de courant I qui traverse la résistance R en
fonction de ‏مما‎ Is, V et V7.

4.12. Déterminer l'expression littérale de l'intensité de court-circuit 7. et de la tension en
circuit ouvert ‏.ما‎ Faire les applications numériques à 7 = 25°C pour une puissance d’éclaire-
ment P, = 100mW sur la cellule.

On représente sur la figure 2 la forme de la caractéristique I(V) pour différentes valeurs
de l’éclairement.

60
PL =125mW
501 ٍ
P, =100mW
2901 ;
= 30
5
5
20
10
00 01 02 03 04 05 06 07

Tension (V)

FIGURE 2 - Caractéristique courant-tension d’une cellule photovoltaïque sous différentes puis-
sances d’éclairement.

4.13. On considère dans cette question que la puissance lumineuse reçue vaut P, =
100mW. En utilisant le tracé de la caractéristique, déterminer approximativement la valeur
de résistance R de charge pour laquelle la cellule délivre une puissance électrique maximale.
Donner la valeur numérique de cette puissance P.

4.14. On souhaite associer plusieurs cellules élémentaires pour obtenir un panneau tel que,
sous des conditions d’éclairement correspondant à € = 1,0 kW.m7?, on obtienne une tension
aux bornes du panneau de 4017 et une puissance électrique égale à 320 W (par panneau).
Déterminer le nombre de cellules élémentaires à associer et préciser la manière de les associer.

4.15. Quelle surface de cellules doit-on placer pour obtenir une puissance totale de l’instal-
lation de 3,2kW dans ces conditions d’éclairement (€ = 1,0 W.m7*) ? Dans ces conditions,
définir et calculer numériquement le rendement de l'installation photovoltaïque. Expliquer par
un argument physique pourquoi ce rendement est éloigné de l’unité.

Physique 2 6/7

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4.2. Conversion continu-alternatif : Onduleur

Un onduleur permet de transférer l’énergie électrique des panneaux photovoltaïques, source
d’énergie électrique continue, à une charge fonctionnant en alternatif. Le schéma du circuit
électrique modélisant l’onduleur est représenté sur la figure 3.

FIGURE 3 — Schéma électrique d’un onduleur.

E est la force électromotrice constante et positive d’une source de tension idéale. On
suppose que les interrupteurs sont parfaits et sont commandés dans le temps comme suit :

- Pour 0 › › 7 : K, et K3 sont fermés et K» et K4 sont ouverts ;

1
- Pour 7 ‹t‹T : K, et K3 sont ouverts et Æ et Æ4 sont fermés.

La commande est périodique de période ٠
4.2.1. Tracer le chronogramme de la tension u(t).

4.22. Définir la valeur efficace d’un signal périodique quelconque puis établir la valeur
efficace de la tension u(t) en fonction de F. Comparer à la valeur efficace d’un signal sinusoïdal
d’amplitude ‏ا‎

4.2.3. La décomposition en série de Fourier de u(t) s’écrit :

4E € 1 27

n=0

Comment appelle-t-on le terme — sin 7 et les termes suivants ?
7

4.2.4.  Représenter le spectre en amplitude de la tension u(t).

4.25. Justifier que, par un choix judicieux des valeurs des composants, l’association RLC
de la figure 3 est un filtre qui permet d'obtenir en sortie une tension s(t) sinusoïdale avec en
entrée la tension u(t). Quelle est la nature de ce filtre ?

FIN DE L'ÉPREUVE

Physique 2 777

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