نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2024: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2024 — Filière MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L’usage de la calculatrice est autorisé

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de

rappeler avec précision les | références | des questions abordées.

Le sujet est constitué de quatre parties et aborde quelques thématiques en lien avec la
mécanique terrestre. Les parties 1 et 4 sont totalement indépendantes des autres parties de
l’épreuve. Cependant, certaines questions de la partie 3 utilisent des réponses de la partie 2.

Il est fortement recommandé de commencer par la première partie. Cette partie
est notée sur 4 points et le reste de l’épreuve sur 16 points.

Données numériques :

- Constante de gravitation universelle : G = 6,7 x 10-"N.m?.kg7*

— Rayon moyen de la Terre : R = 6,4 x 077

- Masse de la Terre : M7 = 6 x ‏و1047‎

- Vitesse de rotation de la Terre autour de son axe : wr = 7,3 x 10 1.4 1

On rappelle la formule du double produit vectoriel suivante :

Partie 1

Etude d’un pendule simple
(Barème : 4/20)

Un objet ponctuel M de masse m est suspendu à l’extrémité d’un fil de masse négligeable
et de longueur L = OM. Le fil est attaché au point 0 fixe dans le référentiel terrestre 77
supposé galiléen (figure 1).

L'objet est astreint à se déplacer dans le plan vertical Oyz et soumis au champ de pesanteur
7 = —g ‏.له‎ Sa position est repérée par l’angle 0 que fait le fil avec l’axe vertical Oz. Les
frottements seront négligés dans toutes les questions de cette partie.

1.1. Quelles sont les forces appliquées au point M ? Donner les projections de ces forces dans

la base locale (+, Te).
1.2. Exprimer la vitesse et l’accélération du point M dans la base (Ÿ,, Up).

1.3. Déterminer l’équation différentielle en 0 régissant le mouvement du point M dans le
référentiel terrestre R7.

Physique 1 1/7

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1

1
FIGURE 1 — Pendule simple.

1.4. On se place dans l’hypothèse des petits mouvements où l'angle 0 reste petit. Déterminer
0(t) sachant que l’objet est abandonné sans vitesse initiale à la position 0(0) = 60.

0
En déduire que le mouvement est périodique de période : T = 22 -
9

Partie 2

Gravitation et pesanteur de la Terre sphérique

Dans cette partie, on étudie les actions subies par un objet ponctuel matériel M de masse
m dans le référentiel terrestre R,. Le référentiel géocentrique R« est supposé galiléen et on
le munit du repère (OXY Z) (voir figure 2). Ce référentiel est appelé par la suite "référentiel
absolu". Le référentiel terrestre R7 est en rotation uniforme autour de l’axe OZ qui relie les
les pôles sud et nord de la Terre, avec une vitesse angulaire ‏ول‎ zu Ta supposée constante.
Rey est dit "référentiel relatif".

Le point M reste suffisamment proche de la surface terrestre de tel sorte qu’on puisse écrire
en première approximation OM = R. On note H la projection orthogonale de M sur l’axe de
rotation OZ.

Dans cette partie, on considère la Terre comme parfaitement sphérique et homogène, de
rayon moyen À et de masse M7.

On rappelle la formule liant les dérivées par rapport au temps d’un vecteur A dans les deux

dA| - 4

dt dt

référentiels :

2.1. Champ gravitationnel de la Terre

2.11. Ecrire l’expression de la force de gravitation F, exercée par la Terre sur l'objet M.

Physique 1 277

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2.12. Le champ gravitationnel de la Terre au point M est défini par 71 = —. Exprimer

‎en fonction de G, M7, R et OM.‏ 771

FIGURE 2 — Terre sphérique en rotation autour de l’axe des pôles.

2.2. Lois de composition des vitesses et des accélérations

2.2.1. Le référentiel terrestre RT est-il galiléen ? Justifier.

On associe au référentiel terrestre R7 un repère d’origine un point 0 situé la surface de la
Terre.

2.2.2. Exprimer la vitesse du point M dans le référentiel absolu en mettant en évidence
une vitesse relative et une vitesse d'entrainement. Donner les expressions de ces deux vitesses.

2.23. Exprimer l’accélération du point M dans le référentiel absolu en mettant en évidence
une accélération relative, une accélération d'entrainement et une accélération complémentaire
dite de Coriolis. Donner les expressions de ces trois accélérations.

2.2.4. Montrer que lorsque le point M est soumis uniquement à la force de gravitation dans
le référentiel Ra, l’application du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
relatif R7 fait apparaître deux autres forces dont on donnera les noms et les expressions.

2.3. Définition du poids d’un corps

On considère un pendule simple constitué du point M, objet d’étude de cette partie, sus-
pendu par un fil. Ce pendule est supposé en équilibre dans le référentiel terrestre R7.

2.3.1. Ecrire la condition d’équilibre du pendule en faisant intervenir la force gravitation-
nelle, les forces évoquées dans la question précédente et la tension 7 du fil.

Physique 1 3/7

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2.3.2. Le poids P du corps est défini tel qu’à l’équilibre du pendule, on a la relation :
+ F = 0. Le champ de pesanteur terrestre 7 au point M est défini par P =m 7 (M).

Montrer que le champ de pesanteur terrestre au point M est donné par

جب ‎M,‏ كن

7)11( = RTS 017+ 1 (1)

O étant le centre de la Terre et H la projection orthogonale de M sur l’axe des pôles (voir
figure 2).

2.3.3. Calculer la valeur numérique de Ag = || & (N)|| - || à (E)||, la différence des inten-
sités du champ de pesanteur terrestre au pôle nord N et en un point Æ de l'équateur.

\ 2142 E ‏ا 8 : 2= جد‎
En réalité, on mesure ‏وت‎ = 52 x 10 Sms ; proposer une raison pour expliquer l’écart
trouvé.

Partie 3

Etude de la chute d’un corps : Déviation vers l’Est

Dans cette partie, on va voir comment une expérience de chute libre dans le référentiel
terrestre permet de mettre en évidence la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles par
rapport au référentiel géocentrique.

On travaille dans le référentiel terrestre R7, dans lequel on étudie la chute d’une bille (mobile
ponctuel M) lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur h au dessus du sol. On suppose que
l’expérience est réalisée à l’équateur. On prend comme repère (O'xyz), 0 étant un point de
la surface terrestre, à la verticale du point L du lâcher, (O'x) est dirigé suivant la verticale
ascendante, (O'y) est dirigé vers l’Est et (O'z) vers le nord (voir figure 3). On note wr le
vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique Re, ‏و‎ l’intensité du champ
de pesanteur supposé uniforme et m la masse de la bille. On néglige tout frottement.

La bille, assimilé à un point matériel, est repéré par ses trois coordonnées cartésiennes
(x, y, z) relativement au repère (O'xyz).

3.1. Equations du mouvement

3.11. En utilisant les résultats de la section 2.2., montrer que le principe fondamental de
la dynamique appliqué à la bille s'écrit dans R7 :

mA (M/Rr) =mŸ — 2012077 Ù(M/R7)
où 7 est le champ de pesanteur terrestre donné par la relation (1).

La bille M reste suffisamment proche de la surface terrestre (OM = R). Compte tenu de la
valeur numérique calculée dans la question 2.3.3., on admettra par la suite que les composantes
de l’accélération de pesanteur 7 dans la base (à, 75 d.) sont (—g, 0, 0) avec g = 9,8 71.8 2

Physique 1 4/7

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FIGURE 3 — Expérience de chute dans le référentiel terrestre.

3.12. Déterminer les trois équations différentielles auxquelles obéissent les trois coordon-
nées cartésiennes (x, y, 7) de M dans le référentiel terrestre.

3.2. Déviation vers l’Est

La chute de la bille est sans vitesse initiale, à partir du point L(h,0,0). Comme wr est

petite, il est possible d’étudier le phénomène " à l’ordre 1 en wr ", c’est à dire en négligeant

dans les équations tous les termes proportionnels à w7 ou à des puissances supérieures à 2.

3.21. Résoudre dans cette approximation les équations différentielles obtenues à la ques-
tion précédente en montrant que :

xt) =als+he ‏بلقم و)إن‎ 2)0 -0
où a et b sont deux constantes à expliciter en fonction ‏و عل‎ et w7.

3.2.2. En déduire que la bille tombe sur le sol en étant déviée d’une quantité y1 vers l'Est.
Calculer la valeur numérique de y, lorsque h = 200m.

Partie 4

Gravimètre optique à chute libre

Dans cette partie, on s'intéresse à la mesure de l’accélértion de pesanteur en utilisant une
méthode interférométrique. Pour cela on mesure la variation de la position d’une masse en
chute libre dans le champ de pesanteur terrestre, en fonction du temps.

La figure 4 décrit le schéma de principe du dispositif expérimental de mesure de l'accélération
de pesanteur terrestre. Le cœur du dispositif est un interféromètre optique abrité dans une

Physique 1 5/7

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chambre à vide. Un faisceau laser est divisé en deux faisceaux à l’aide d’une lame semi-
réfléchissante (S,). L’un des deux faisceaux est réfléchi par un miroir immobile (M), le second
faisceau est réfléchi par un miroir mobile (M2) en chute libre verticale. Les deux faisceaux sont
mélangés au niveau d’une photodiode (détecteur de lumière). Le signal lumineux détecté par
la photodiode est enregistré par un dispositif (Enregistreur). Le signal enregistré est donné
par la figure 5.

On néglige les frottements et on pose (4 = OO, et ‏.و00 = وا‎ Le miroir mobile (Mz) est lâché
à l’instant t = 0, sans vitesse initiale, à partir de la position correspondante à £(t = 0) = 4.

Enregistreur ‏صصح‎ Détecteur (D)

FIGURE 4 — Interféromètre de Michelson.

4.1. Equation horaire du mouvement

4.11. Expliquer l’intérêt de placer l’interféromètre sous vide.

4.1.2. On considère l’accélération de la pesanteur uniforme et constante, de valeur ‏.و‎ Mon-
trer que la position z du mobil est donnée par la relation

4.2. Mesure de la gravité par interférométrie optique

4.21. Rappeler les conditions pour observer le phénomène d’interférence entre deux ondes
lumineuses.

On admet que ces conditions sont satisfaites. Le faisceau laser incident supposé à rayons
parallèles est divisé en deux faisceaux de même amplitude par la lame séparatrice (S,).

Physique 1 6/7

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4.2.2. Déterminer la différence de marche ô des deux faisceaux au point F" en fonction de

4.2.3. Donner l’expression ‏عل‎ l’intensité lumineuse [7 reçue au point 1 où le faisceau arrive
sur le détecteur en fonction de e. On note 2750 l'intensité maximale.

4.24. En utilisant la relation (2), écrire l’expression de l’intensité lumineuse en fonction
du temps FE(t).

Les variations de l’intensité lumineuse Æ(t) enregistrées en F" au cours du temps sont don-
nées par la figure 5. La longueur d’onde du laser utilisé est À = 633 nm.

4.2.5. En utilisant la figure 5 et en remarquant qu’un minimum d'intensité est enregistré
en t = 0,40 ms, déterminer la valeur numérique de ‏.و‎ Justifier.

2.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t (ms)

FIGURE 5 - Interférogramme E(t).

FIN DE L'ÉPREUVE

Physique 1 777

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