نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2023: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2023 - Filière TSI

e On veillera à une présentation et une rédaction, claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve
sont relativement indépendantes entre elles.

La comète C/1995 O1 Hale-Bopp

Les divers peuples du monde
connaissent les comètes depuis bien
longtemps. Les comètes apparaissent dans
le ciel, leur brillance =—augmentant
progressivement en quelques mois en
révélant une majestueuse structure formée
d'une tête brillante, appelée chevelure ou
coma, suivie d'une longue traîne lumineuse
(figure 1). Les comètes s'affaiblissent
ensuite progressivement et disparaissent en
plusieurs mois.

Figure 1: Comète de Hale-Bopp :
Observer : Wally Pacholka
(http://www.jpl.nasa.gov/comet)

Le mouvement des comètes, comme celui des planètes, se réfère à leur
position par rapport au « fond céleste » que constituent les constellations d'étoiles,
dont la forme et la disposition relative semble immuable. Sur ce fond les comètes
se déplacent bien plus vite que les planètes.

Données :

- Masse du Soleil : M, =2.10" kg.

- Rayon de l’orbite terrestre supposée circulaire : d,, =1,5.10*km .
- Masse volumique de l'eau : u, =10*kg.m”.

- Constante de gravitation universelle : G=6,67.10""'S] .

- Vitesse de la lumière dans le vide : c=3,00.10%3m.s”*.
-  Équations de Maxwell dans le vide sans charge ni courant :
dvËE-0 ‏دمر‎
‎01

divB=0 70117 - ‏ع مكار‎

- Densité volumique d’énergie électromagnétique : u,, = 5 + ‏ا‎

Épreuve de Physique 1 1/5

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L'épreuve est composée de deux parties indépendantes, à l’intérieur
desquelles de nombreuses questions peuvent être traitées indépendamment les
unes des autres.

La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Partie 1
Onde électromagnétique dans le vide

On étudie la propagation d’une onde électromagnétique sinusoïdale dans le
vide. On suppose que le champ électrique de cette onde en un point M de

l’espace à l'instant / est de la forme : E(M,1)= E, cos(at — kz)e, . On pose k= ? avec
0

‎et k sont respectivement la pulsation et le module d’onde de l’onde, et c est la‏ ن
‎vitesse de la lumière dans le vide.‏

‎1. Déterminer la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde.
2. Exprimer le champ magnétique B de cette onde puis la moyenne
temporelle ‹II› du vecteur de Poynting 11- EnB de l’onde, u, étant la

‎perméabilité magnétique du vide.
3. Exprimer la moyenne temporelle de la densité volumique d’énergie
électromagnétique ‹u,, › de cette onde.

‎4. Quelle relation y a-t-il entre ‹T] › et › Un › ?

‎Partie 2
La comète Hale-Bopp

‎1. Trajectoire de la comète Hale-Bopp

‎En 1997, la comète Hale-Bopp, découverte indépendamment par Alan Hale
et Thomas Bopp en 1995, est passée relativement près de la Terre. Cette comète,
supposée centrée au point C, possède une orbite elliptique autour du Soleil
centré au point S avec une excentricité e.=0,995. À son périhélie (point de
l'orbite le plus rapproché du Soleil), le 1°" avril 1997, sa distance au Soleil était
r! =1,35.10*km et en ce point sa vitesse par rapport au référentiel de Copernic
valait y; =45km.s". On note M, et m, les masses respectivement du Soleil et de la

‎comète assimilés à des points matériels, et G la constante de gravitation. On
néglige la masse de la comète devant celle du Soleil. L’étude est faite dans le
référentiel de Copernic centré sur le Soleil et supposé galiléen.

‎On note (Sxy) le plan de la trajectoire de la comète et on repère la position
de la comète par ses coordonnées polaires (r.,0.) auxquelles on associe la base

‎(e 3 , e, étant le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan.

‎On donne l’équation polaire de la trajectoire elliptique de la comète

‎est le paramètre de l’orbite. On rappelle l'accélération d’un‏ م ‎où‏ 17716 حم

‎corps céleste assimilé à ‘un point matériel écrite en coordonnées

‎Épreuve de Physique 1 2/5

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53 | = ‏ل‎ + 5 , C, étant la constante des aires.
7

r 207

polaires : ‏دي‎ d

1.1. Quelle serait la trajectoire (hypothétique) de la comète si on avait e, =1 2

1.2. Faire un schéma de la trajectoire de la comète. Faire apparaître la position
du Soleil S$, celle du périhélie P et celle de l’aphélie A (point de l’orbite le
plus éloigné du Soleil). En un point C quelconque de la trajectoire, faire
apparaître la base locale cylindrique.

1.3. Rappeler l’expression de la force de gravitation Fs… exercée par le Soleil
sur la comète. Justifier que cette force est centrale.

1.4. Expliquer comment la conservation du moment cinétique permet
d’expliquer que la trajectoire de la comète est plane.

1.5. Calculer le paramètre ‏م‎ de l’orbite de la comète et la distance ‏يدي‎ de la
comète à l’aphélie.

1.6. Ecrire la conservation du moment cinétique au périhélie et à l’aphélie. En
déduire l’expression de la vitesse y; de la comète à l’aphélie. Calculer la
valeur numérique de ‏ير‎

1.7. Calculer le demi-grand axe a, de l'orbite.

1.8. Sachant que la trajectoire de la Terre est presque un cercle de rayon dy,
décrit uniformément, montrer que la période orbitale 7, de la Terre autour

) ,لله

1.9. En utilisant la 3ème loi de Kepler, exprimer la période orbitale 7. de la

du Soleil est donnée par T7, = |

comète Hale Bopp en fonction dea,, T, et ‏م‎
‎1.10. Calculer 7.. En quelle année peut-on espérer revoir la comète Hall-Bopp 2
S'agit-il d'une comète à courte période ou d'une comète à longue période ?
1.11. Exprimer l’énergie mécanique de la comète en fonction des paramètres au
périhélie (l’énergie potentielle étant définie comme nulle à l’infini). En
déduire qu’elle se met sous la forme :

1-6 2٠م‏ 1
| العام -دح) مط

Commenter le signe de l’énergie mécanique.

1.12. L'énergie mécanique de la comète vaut E,(C)=-4,49.10"7. Calculer la masse
m, de la comète. En considérant que la masse volumique des roches

cométaire est très voisine de celle de l’eau et en faisant l’approximation
d’une comète sphérique, calculer le rayon moyen R, de cette comète.

2. La pression de radiation et la queue courbe de la comète

En observant la comète de Hale-Bopp en avril 1997, on a pu constater que
le nuage gazeux appelé queue, qui accompagne la comète est derrière la comète
quand celle-ci s’approche du Soleil et devant quand elle s’en éloigne. On peut en
distinguer deux queues : la queue courbe est due à la pression de radiation du
Soleil sur les poussières neutres de la comète tandis que la queue droite est due

Épreuve de Physique 1 3/5

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au vent solaire et provient de l'interaction de celui-ci avec les ions de la comète.
La queue courbe de la comète est constituée par de petites particules, supposées
parfaitement réfléchissantes, assimilées à des sphères homogènes de rayon ‏م‎ et
de masse volumique u . Une particule sphérique située dans l’espace
interstellaire (assimilé au vide) à la distance y du Soleil reçoit de la part de cette
étoile une énergie.

Afin de simplifier les calculs, on modélise la particule par son disque
équivalent de rayon ‏رط‎ supposé conducteur parfait (Figure 2). On modélise la
lumière solaire incidente normalement sur le disque équivalent par une onde
incidente (O,) plane progressive monochromatique caractérisée par le champ

électrique E(M,1)=E, exp( jt = KOM))e, , d’amplitude E,, de vecteur d’onde k et de

pulsation ‏ل |«( م‎ ). L’onde incidente se réfléchit sur la particule et donne
0
naissance à une onde réfléchie (0,) de champ électrique

E (M,1)= -E, exp( (wt-k,.OM))e, . On admet que l’onde réfléchie est de même

amplitude, de même pulsation, de même polarisation et que sa direction de
propagation est conforme aux lois de Snell-Descartes de la réflexion.
Disque
‏ص‎ du Soleil) équivalent

24

Figure 2 : pression de radiation

2.1. Exprimer les vecteurs d’onde ‏ع‎ et k, en fonction de ‏ذم‎ c et des vecteurs
unitaires de la base (e.6,6)

2.2. Exprimer le champ électrique total E,(M,1) . En déduire le champ

magnétique total B_(M,1).

2.3. Commenter l’expression des champs E,,(M,1) et B,,(M,1) pour z=0 (plan du
disque équivalent).

2.4. Un élément de surface d’aire dS au point M du plan z=0 subit une force
dF de la part du champ électromagnétique. Justifier l’expression la force
dF donnée par :

- 1; ‏ب حب‎ 22
dE==(0Eu+i0B,u)dS
2.5. Que vaut le champ électromagnétique dans un conducteur parfait ?
2.6. Exprimer la densité surfacique de charge o et celle de courant j qui se

développent en tout point M de la surface z=0 du conducteur éclairé par
l’onde solaire incidente.

2.7. Exprimer la moyenne temporelle › 47 ‹ de dF.

2.8. Montrer que la pression de radiation s’écrit sous la forme : P

Épreuve de Physique 1 4/5

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On tient compte maintenant de la géométrie sphérique de la particule. On
admet l'expression de la pression moyenne de radiation P, d’une onde
électromagnétique plane, qui arrive sous l’angle d’incidence 0 par rapport à la
normale à la surface sphérique de la particule : P, = &,Æ; cos“(0). On se propose
d’appliquer ce résultat à la lévitation, par le faisceau solaire, de la particule
sphérique parfaitement réfléchissante de la queue de la comète.

2.9. Justifier que la force moyenne F exercée par le rayonnement solaire qui
arrive sous l’angle d’incidence ‏و‎ sur la particule est suivant Oz.

2.10. Montrer que la force F a pour expression :

ا 1 =
6 11 7م76-- - 1
:0 0 4

On souhaite exprimer la force 7 en fonction de la puissance p, émise par
le Soleil. On considère que toute la puissance électromagnétique P reçue par la
particule est absorbée par celle-ci et que la force moyenne F exercée par le

rayonnement solaire est donnée par F=—e, ‏ناه‎ c est la vitesse de la lumière dans

le vide.

2.11. On suppose que la puissance émise par le Soleil se répartit de façon
isotrope sur une sphère de rayon ‏ع‎ et on admet que la particule intercepte
cette sphère sur une section efficace de valeur zh". Exprimer la puissance
laser P captée par la bille en fonction de P,, b et r.

2.12. En déduire l’expression de la force F en fonction de BR. ex het +

2.13. Exprimer la force de gravitation F, exercée par le Soleil sur la particule.

2.14. Exprimer la taille limite p, de la particule pour que la force de radiation due
au rayonnement solaire soit égale à la force de gravitation.

2.15. Calculer hp. On donne u=3.10*kg.m” et la puissance rayonnée ar le Soleil
P,=4.10*W . Justifier l’appellation de queue poussiéreuse ainsi que son

allure courbée.
2.16. Comment expliquer que les particules restent dans le sillage de la comète ?

Épreuve de Physique 1 5/5

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