نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2022: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2022)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 2
- الدورة
- 2022
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
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— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière PSI * On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. * Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. ° Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. * Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. * Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatibles avec les données fournies. Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points. Partie 1 : Champ magnétique d’une spire circulaire On considère une spire circulaire de rayon a, de centre O et d’axe Oz (figure 1.1). Cette spire est contenue dans le plan Oxy orthogonal à l’axe Oz. Elle est parcourue par un courant électrique d'intensité constante /. Figure 1.1 : spire circulaire 1. Montrer, par un raisonnement rigoureux, que le champ magnétique B,,(M) créé par la spire au point M de son axe Oz est porté par 3 : 2. Montrer que B,(M) est donné par l’expression B,(M) = Bar sin ae où a est sp sp l’angle sous lequel la spire est vue depuis le point M . Exprimer le champ magnétique B, (O) au centre O de la spire. 3. Représenter l’allure du champ B,,(M) en fonction de z= OM e, : 4. Application numérique : on fixe a=5cem. Calculer B,(0) pour /=1A. Calculer la valeur de / pour avoir B,(0)=1T. Commenter. Citer deux systèmes qui permettent d’obtenir un champ magnétique intense. On donne la perméabilité magnétique du vide : مير 42.10 17.01 Épreuve de Physique II 1/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière PSI Partie 2 : Modélisation d’une bobine Données : - Équations de Maxwell dans un milieu assimilé au vide en présence de charge et de courant : dvE=L dvB=0 86 rotE=—-— rotB= jte — at Lo ji 0 y | - Relation de passage du champ magnétique à la traversée d’une surface (Z) parcourue par un courant surfacique de densité 0 B,(M) - B,(M) = 4j (M) A isa ; m— étant la normale à la surface (Z) en M. - On repère un point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r,0,z) rapportées à la base cylindrique (44) : - Rotationnel du vecteur A(rje, en coordonnées cylindriques : 1. Champ magnétique créé par une bobine infinie On forme une bobine simple en enroulant un fil conducteur électrique sur un cylindre isolant d’axe Oz, de rayon a et de longueur / (figure 2.1). Le fil, de diamètre négligeable, est enroulé en formant N spires circulaires jointives de rayon a d’axe Oz. La bobine est parcourue par un courant d'intensité Z constante. On désigne par n le nombre de spires jointives par unité de longueur. Figure 2.1 : bobine 1.1. Montrer que le champ B,,(M) créé par la bobine au un point M de l’axe Oz est 1.2. Déduire le champ magnétique créé par la bobine supposée de longueur infinie en un point M de son axe Oz. Épreuve de Physique 1 2/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière PSI Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que la bobine, constituée de n spires jointives par unité de longueur, de rayon a et d’axe Oz, est suffisamment longue pour pouvoir négliger les effets de bord. On note B(M) le champ magnétique créé par la bobine de longueur infinie en tout point M de l’espace. 1.3. Justifier que le champ magnétique B(M) créé par la bobine en tout point M de l’espace est de la forme B(M)= B(rje. : 1.4. Comment se simplifient les équations de Maxwell en régime statique ? 1.5. À partir de l’une des équations locales de Maxwell, montrer que le champ magnétique B(M) est uniforme. Que vaut alors le champ magnétique pour 1.6. En utilisant la relation de passage en r=a, établir l'expression de B(M) pour 2. L’ARQS magnétique La bobine est parcourue par un courant sinusoïdal d’intensité i(t)= I, cos(œr). On admet que dans le cadre de l’approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS), le champ magnétique, dans l’espace intérieur à la bobine assimilé au vide, est donné par : 2.1. En quoi consiste l’approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS) ? Quelle inégalité vérifient ,هم c et a dans l’ARQS, c désigne la vitesse de la lumière dans le vide ? 2.2. Donner l’expression de B, en fonction des données. 2.3. Montrer qu’il règne dans la bobine un champ électrique E(M,1) . Justifier que E(M,1) est orthoradial et que E(M,1) = E(r,1)e, : 2.4. En utilisant l'expression intégrale de l’équation de Maxwell - Faraday, Montrer que, pour r‹a, le champ électrique E(M,1) est donné par : 2.5. Calculer les densités volumiques d’énergie électrique (u,) et magnétique (u,) emmagasinées dans la bobine. Calculer leurs valeurs moyennes temporelles respectives, › يا › et ‹u, ›. 2.6. En déduire que la contribution électrique › ينا › à l’énergie électromagnétique dans la bobine est négligeable devant la contribution magnétique ‹u, ›. Épreuve de Physique 1 3/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière PSI 2.7. Exprimer les champs B(r,t) et E(r,t) en fonction de l’intensité i(r) et de sa dérivée première. En déduire que le vecteur de Poynting a pour expression Tien = ET 0م ‘ 2.8. Calculer la puissance électromagnétique P,, rayonnée à travers la surface qui limite la portion de la bobine de longueur 1. Montrer que P,, s’identifie à l’opposé de la variation d’énergie magnétique stockée dans la portion de la bobine. 2.9. On rappelle que dans le cadre de la magnétostatique, le coefficient de self inductance d’une telle portion de la bobine de rayon a a pour expression : L=u,n'a'xl. Vérifier si le résultat obtenu dans la question 2.7 est conforme au bilan local de puissance électromagnétique dans la portion de la bobine. 3. Caractéristiques d’une bobine 3.1. Self inductance 3.1.1.Calculer le flux du champ magnétique à travers l’ensemble des spires de la bobine. 3.1.2.Retrouver l’expression de l’inductance L de la bobine donnée ci-dessus. 3.2. Résistance interne Le fil conducteur ayant une conductivité y finie, la bobine résiste au passage du courant électrique. Pour calculer la résistance du fil, on considère que le fil est un cylindre de matériau conducteur, d’axe (Oz), de longueur 7, de diamètre d et parcouru par le courant / uniformément réparti en volume avec la densité j = je: : On néglige les effets de bord et on raisonne comme si l’on a affaire à un cylindre infini. La densité 0 de courant dans le fil conducteur ohmique est reliée au champ électrique E par j=yE. 3.2.1.Déterminer le champ électrique E en tout point intérieur au conducteur en fonction de /. 3.2.2.Exprimer la tension U aux bornes du fil conducteur. 3.2.3.En déduire la résistance interne r de la bobine. 3.2.4.Sachant qu’il y a N spires enroulées, montrer que la résistance est donnée 8Na par r= Épreuve de Physique 1 4/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2022 - Filière PSI 4. Mesure de l’impédance d’une bobine On modélise une bobine par l’association série d’une Multiplieur résistance r et d’une inductance ° L. On cherche à déterminer limpédance Z de la bobine à 1 us 5 0 l’aide du montage de « détection synchrone » représenté figure 2.3. Le générateur de courant délivre un courant électrique d’intensité Figure 2.3 : Mesure de l’impédance d’une bobine On note u, la tension aux bornes de la résistance K,, u, la tension aux bornes de l’impédance Z et u, la tension aux bornes du condensateur de capacité C. Le multiplieur, d’impédance d’entrée infinie et de constante de multiplication k, délivre une tension de sortie proportionnelle aux deux tensions d’entrée : u, = ku,u, . 4.1. Quelle est l’unité de la constante k ? 4.2. Exprimer l’impédance Z de la bobine. 4.3. Exprimer u,(t) et u,(f) en fonction de R,, r, اده ا etr. 4.4. En déduire l’expression de u,(f) et représenter qualitativement son spectre. 4.5. En utilisant des schémas équivalents à haute puis à basse fréquence, déterminer la nature du filtre formé par le bloc RC. 1 4.6. Déterminer la fonction de transfert H == de ce filtre. Retrouver le résultat de la question précédente. 4.7. Exprimer sa pulsation de coupure .هه à -3dB. 4.8. Montrer que l’on peut trouver une condition sur R et C telle que u, soit quasiment constante. En déduire comment déterminer r et donner son expression. On remplace R, par un condensateur C,- 4.9. Exprimer u,(t) en fonction de C,, w, 1, et t. 4.10. Donner la nouvelle expression de u.(t) et représenter qualitativement son spectre. 4.11. Montrer que la même condition sur R et C de la question 4.8 permet d’avoir u, quasiment constante. En déduire comment déterminer L et donner son expression. Épreuve de Physique 1 5/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2022, filière PSI, commun d'accès aux écoles d'ingénieurs marocaines après les classes préparatoires. Deux parties : champ d'une spire circulaire (4 points) et modélisation d'une bobine (16 points : solénoïde infini, ARQS et bilan de Poynting, inductance et résistance, mesure de l'impédance par détection synchrone). La durée n'est pas indiquée sur les pages fournies. Voici une correction proposée, dans l'ordre et avec la numérotation du sujet.
💡 Les questions de symétrie (1, 1.3, 2.3) rapportent des points faciles si l'argument est complet : nommer le plan (symétrie ou antisymétrie), rappeler que B⃗ est un pseudo-vecteur et E⃗ un vrai vecteur, puis conclure. Les invariances donnent ensuite les variables dont dépend le champ.
Partie 1 — Champ magnétique d'une spire circulaire (4 points)
1. Direction du champ sur l'axe
Tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de la distribution de courant (le courant orthoradial lui est perpendiculaire et change de sens par réflexion). Le champ magnétique, pseudo-vecteur, est contenu dans les plans d'antisymétrie. Un point M de l'axe appartient à tous ces plans : B⃗sp(M) appartient à leur intersection, l'axe Oz. Donc B⃗sp(M) = Bsp(M) e⃗z.
2. Expression du champ
Biot et Savart : dB⃗ = (μ0I/4π) dl⃗ ∧ PM⃗/PM³, avec dl⃗ ⊥ PM⃗ et PM = a/sin α. Seule la composante axiale subsiste (question 1) : dBz = (μ0I/4π)(dl/PM²) sin α.
En intégrant sur la spire (∫dl = 2πa) : Bsp = (μ0I/4π) · 2πa · sin³α/a², d'où B⃗sp(M) = (μ0I/2a) sin³α e⃗z.
Au centre, α = π/2 : Bsp(O) = μ0I/(2a).
3. Allure de Bsp(z)
sin α = a/√(a² + z²) ⟹ Bsp(z) = μ0I a² / [2(a² + z²)3/2] : fonction paire, maximale en z = 0 (μ0I/2a), courbe « en cloche » avec points d'inflexion en z = ±a/2, décroissant comme 1/|z|³ loin de la spire.
4. Application numérique
Bsp(O) = 4π×10−7 × 1 / (2 × 0,05) ≈ 1,26×10−5 T (12,6 µT, du même ordre que le champ magnétique terrestre).
Pour 1 T : I = 2aB/μ0 = 0,1/(4π×10−7) ≈ 8,0×104 A. Commentaire : intensité irréalisable dans un fil ordinaire (effet Joule destructeur) ; une spire unique ne peut pas produire un champ intense.
Systèmes produisant un champ intense (deux au choix) : bobines (solénoïdes) à grand nombre de spires, électroaimants à noyau ferromagnétique, bobines supraconductrices (IRM : de l'ordre du tesla), aimants permanents néodyme-fer-bore.
Partie 2 — Modélisation d'une bobine (16 points)
1. Champ magnétique créé par une bobine infinie
1.1. Bobine de longueur finie, champ sur l'axe
Une tranche d'épaisseur dζ, à l'abscisse ζ, contient n dζ spires et crée en M le champ dB = (μ0 n I dζ/2a) sin³α. Avec ζ − zM = a cot α, on a dζ = −a dα/sin²α, d'où dB = −(μ0nI/2) sin α dα.
Quand ζ parcourt la bobine (de l'extrémité la plus proche de M à la plus éloignée), α varie de α2 à α1 :
Bso = −(μ0nI/2) ∫α2α1 sin α dα = (μ0nI/2)(cos α1 − cos α2), dirigé selon e⃗z.
1.2. Bobine infinie
α1 → 0 et α2 → π : B⃗ = μ0 n I e⃗z en tout point de l'axe.
1.3. Forme du champ
On assimile les spires jointives à une nappe de courant orthoradiale. Invariances par rotation autour de Oz et par translation selon Oz : B⃗ ne dépend que de r. Symétrie : le plan passant par M et perpendiculaire à Oz est un plan de symétrie des courants ; le pseudo-vecteur B⃗ lui est perpendiculaire, donc porté par e⃗z. D'où B⃗(M) = B(r) e⃗z.
1.4. Régime statique
Les dérivées temporelles s'annulent : div E⃗ = ρ/ε0 ; rot E⃗ = 0⃗ ; div B⃗ = 0 ; rot B⃗ = μ0 j⃗. Les équations de E⃗ et de B⃗ sont découplées.
1.5. Champ uniforme
En dehors de la nappe (r < a ou r > a), j⃗ = 0⃗ : rot B⃗ = −(dB/dr) e⃗θ = 0⃗ ⟹ B est uniforme dans chaque région. Pour r < a, B garde sa valeur sur l'axe : B⃗int = μ0 n I e⃗z.
1.6. Champ extérieur
En r = a, la densité surfacique de courant est j⃗s = nI e⃗θ (sens qui donne Bint selon +e⃗z). Du milieu 1 (intérieur) au milieu 2 (extérieur), n⃗1→2 = e⃗r :
B⃗ext − B⃗int = μ0 nI e⃗θ ∧ e⃗r = −μ0nI e⃗z ⟹ B⃗(r > a) = 0⃗.
2. L'ARQS magnétique
2.1.
L'ARQS consiste à négliger les temps de propagation des ondes électromagnétiques devant la période des sources : dans Maxwell-Ampère, on néglige le courant de déplacement ε0∂E⃗/∂t devant j⃗, et B⃗ se calcule à chaque instant comme en magnétostatique avec les courants de cet instant. La taille du système doit être petite devant la longueur d'onde λ = 2πc/ω : a ≪ c/ω, soit ωa/c ≪ 1.
2.2.
Dans l'ARQS, B garde l'expression statique avec l'intensité instantanée : B = μ0 n I0 cos(ωt), donc B0 = μ0 n I0.
2.3. Existence et direction de E⃗
Maxwell-Faraday : rot E⃗ = −∂B⃗/∂t = B0ω sin(ωt) e⃗z ≠ 0⃗ : il existe un champ électrique induit. Tout plan contenant M et l'axe Oz est un plan d'antisymétrie des courants (orthoradiaux) ; E⃗, vecteur vrai, est perpendiculaire aux plans d'antisymétrie : il est orthoradial. Par invariance par rotation autour de Oz et par translation selon Oz : E⃗ = E(r,t) e⃗θ.
2.4. Expression de E⃗ (r < a)
Circulation sur le cercle d'axe Oz de rayon r, orienté selon e⃗θ : ∮E⃗·dl⃗ = 2πr E = −dΦ/dt = −d(B πr²)/dt = πr² B0ω sin(ωt).
E⃗(r,t) = B0(rω/2) sin(ωt) e⃗θ.
2.5. Densités d'énergie
ue = ε0E²/2 = ε0B0² r²ω² sin²(ωt)/8 ⟹ ⟨ue⟩ = ε0B0² r²ω²/16.
um = B²/(2μ0) = B0² cos²(ωt)/(2μ0) ⟹ ⟨um⟩ = B0²/(4μ0).
2.6.
⟨ue⟩/⟨um⟩ = ε0μ0 r²ω²/4 = (rω/c)²/4 ≤ (aω/c)²/4. Dans l'ARQS, aω/c ≪ 1 : ⟨ue⟩ ≪ ⟨um⟩, l'énergie électrique est négligeable.
2.7. Champs en fonction de i(t), vecteur de Poynting
B⃗ = μ0 n i(t) e⃗z. Comme di/dt = −I0ω sin(ωt), on a B0ω sin(ωt) = −μ0n di/dt, donc E⃗ = −(μ0 n r/2)(di/dt) e⃗θ.
Π⃗ = E⃗ ∧ B⃗/μ0 = −(μ0n r/2)(di/dt) · n i (e⃗θ ∧ e⃗z) = −(μ0n²r/2) d(i²/2)/dt e⃗r (car e⃗θ ∧ e⃗z = e⃗r).
2.8. Puissance rayonnée
Surface fermée : cylindre de rayon a et de longueur l. Π⃗ est radial : flux nul à travers les deux bases ; à travers la surface latérale (normale sortante e⃗r) :
Pray = Πr(a) · 2πa l = −μ0n²πa² l · d(i²/2)/dt.
Énergie magnétique stockée : Wm = (B²/2μ0) πa² l = μ0n² πa² l i²/2, donc Pray = −dWm/dt : la puissance qui sort est exactement la diminution de l'énergie magnétique (l'énergie électrique étant négligée). Quand i² croît, l'énergie entre (Pray < 0) et est stockée.
2.9. Comparaison avec L
Avec L = μ0n²a²πl : Wm = L i²/2 et Pray = −d(Li²/2)/dt = −L i di/dt : la puissance qui entre dans la bobine, L i di/dt, est la puissance électrique u·i reçue par une inductance pure (u = L di/dt). Le résultat est conforme.
Vérification locale (identité de Poynting, j⃗ = 0⃗ dans le vide intérieur) : div Π⃗ = (1/r) ∂(rΠr)/∂r = −μ0n² i di/dt et ∂um/∂t = μ0n² i di/dt, donc div Π⃗ + ∂um/∂t = 0 : le bilan local de puissance est bien vérifié (à ue près, négligée).
3. Caractéristiques d'une bobine
3.1.1. Flux propre
Chaque spire est traversée par le flux μ0nI · πa² ; pour les N = n l spires : Φ = N μ0 n I πa² = μ0n² πa² l I.
3.1.2. Inductance
Φ = L I ⟹ L = μ0n²πa² l, l'expression donnée.
3.2.1. Champ électrique dans le fil
Courant uniforme sur la section πd²/4 : j⃗ = (4I/πd²) e⃗z, et loi d'Ohm locale : E⃗ = j⃗/γ = 4I/(γπd²) e⃗z.
3.2.2. Tension
E⃗ uniforme : U = ∫E⃗·dl⃗ = E l′ = 4I l′/(γπd²).
3.2.3. Résistance
r = U/I = 4l′/(γπd²) = l′/(γS), avec S = πd²/4.
3.2.4. Avec N spires
Longueur du fil : l′ = N · 2πa ⟹ r = 4 · 2πaN/(γπd²) = 8Na/(γd²).
4. Mesure de l'impédance d'une bobine (détection synchrone)
4.1.
u3 = k u1u2 : k s'exprime en V−1.
4.2.
Z = r + jLω.
4.3.
u1(t) = R0I0 cos(ωt) ; u2(t) = I0[r cos(ωt) − Lω sin(ωt)] = I0√(r² + L²ω²) cos(ωt + φ), avec tan φ = Lω/r.
4.4. Sortie du multiplieur
u3 = k R0I0² cos(ωt)[r cos(ωt) − Lω sin(ωt)] = (kR0I0²/2)[r + r cos(2ωt) − Lω sin(2ωt)].
Spectre : une composante continue kR0I0² r/2 et une raie à 2ω d'amplitude (kR0I0²/2)√(r² + L²ω²). Aucune raie à ω.
4.5. Nature du filtre RC
Basse fréquence : C se comporte comme un interrupteur ouvert, u4 = u3. Haute fréquence : C est un fil, u4 = 0. C'est un filtre passe-bas.
4.6. Fonction de transfert
Diviseur de tension (sortie à vide) : H = 1/(1 + jRCω). H → 1 quand ω → 0 et H → 0 quand ω → ∞ : passe-bas du premier ordre.
4.7. Pulsation de coupure
|H| = 1/√2 ⟺ RCω = 1 : ωc = 1/(RC).
4.8. Mesure de r
Si ωc ≪ 2ω, soit RC ≫ 1/(2ω), la composante à 2ω est atténuée d'un facteur ≈ 1/(2RCω) ≪ 1 tandis que la composante continue passe intégralement (H(0) = 1). La sortie u4 (notée us dans la question) est alors quasi constante :
u4 ≈ kR0I0² r/2 ⟹ r = 2u4/(kR0I0²) : on mesure la tension continue u4 au voltmètre (mode DC).
4.9. R0 remplacée par C0
Impédance 1/(jC0ω) : u1 est en retard de π/2 sur i : u1(t) = (I0/(C0ω)) sin(ωt).
4.10. Nouvelle sortie
u3 = k(I0²/(C0ω)) sin(ωt)[r cos(ωt) − Lω sin(ωt)] = (kI0²/(2C0ω))[−Lω + Lω cos(2ωt) + r sin(2ωt)].
Spectre : composante continue −kLI0²/(2C0) et raie à 2ω d'amplitude (kI0²/(2C0ω))√(r² + L²ω²).
4.11. Mesure de L
Le même filtre (RC ≫ 1/(2ω)) supprime la raie à 2ω et conserve la composante continue : u4 ≈ −kLI0²/(2C0), d'où L = −2C0u4/(kI0²) (u4 < 0 si k > 0). Principe de la détection synchrone : multiplier par une référence en phase (R0) extrait la partie réelle de Z, multiplier par une référence en quadrature (C0) extrait la partie imaginaire.
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
