نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2022: الفيزياء 1 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2022 - Filière PSI

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les
des questions abordées.

٠ Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

°  Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du
problème sont relativement indépendantes entre elles.

e Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes :
la première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1 : Turbine à gaz

De la vapeur d'eau évolue dans une turbine horizontale, de section
constante Z, munie d’une hélice. À l’extérieur, la température est constante et
vaut 7,=35°C . La vapeur est admise dans la turbine à la température
T, = 400 °C et la pression P = 6,0 bar , et ressort à la température T, =100 °C sous
pression P,=1,0har . Le débit massique au travers de la turbine vaut
D, =1kg.s". On assimile la vapeur d’eau à un gaz parfait et on note c, sa
chaleur massique.

Données :
- Masse molaire de l’eau : M, =18g.mol"".

- Coefficient isentropique : y = ©! 13
- Constante des gaz parfaits : R=8,314 J.mol".K”".
- Expression de l’entropie molaire d’un gaz parfait en fonction de la
température T et de la pression P :
7-1 7 P
- Expression des deux principes de la thermodynamique pour un fluide en
écoulement stationnaire :
0
avec h l’enthalpie massique, e, l’énergie cinétique massique et e,

créée *

l’énergie potentielle massique du fluide ; P, la puissance mécanique utile qu’il

reçoit et P, la puissance thermique reçue, s,, l'entropie créée par unité de

“créée

temps et où l’on a noté e les grandeurs en entrée et s celles en sortie.
On néglige les variations d’énergie cinétique.

Épreuve de Physique I 1/6

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1. Sachant que le but d’une turbine est de récupérer une puissance
mécanique, les pertes thermiques sont donc a priori faibles. Exprimer, en
fonction de D,, c,, T, et T,, la puissance maximale cédée à la turbine

dans l'hypothèse d’un écoulement adiabatique.

2. Calculer la variation d’entropie du fluide entre l’entrée et la sortie de la
turbine. Justifier que le résultat obtenu est contradictoire avec
l'hypothèse d’un écoulement adiabatique.

On suppose que la transformation est réversible dans la turbine.
3. Déduire du second principe de la thermodynamique la puissance 7

cédée par la vapeur d’eau à l’extérieur.
4. En déduire la puissance P, cédée à la turbine.

Partie 2 : Mesure de la vitesse d’un écoulement

L'objectif de cette partie est d’étudier deux méthodes qui permettent de
mesurer la vitesse d’un écoulement et donc son débit volumique.
Données :

*  Divergence en coordonnées cylindriques : div(A) = :
r dr 7+7 080 0z

*  COs(a)+cos(b)=2cos g cos › ;
2 2

1. Profil de vitesse dans une conduite cylindrique

On étudie l’écoulement d’un fluide k k +
dans une conduite cylindrique 1 0 | a
horizontale de rayon a, de longueur L ‏الي ان حسم .ااا‎ 2
et d’axe (Oz) orienté par le vecteur \ 2 \ |
unitaire e, , (figure 1). On repère un Figure 1 : Conduite cylindrique
point de l’espace par ses coordonnées
cylindriques (r,0,2) auxquelles on assoie la base cylindrique (eee) ;
L’écoulement du fluide, de vitesse v, est décrit en première approximation
comme l’écoulement d’un fluide visqueux, incompressible et homogène. On note
n la viscosité dynamique du fluide, p sa masse volumique et D, le débit

volumique. On suppose que l’écoulement du fluide est laminaire en régime
permanent et on néglige les effets de la pesanteur.
1.1. Quelle conséquence l'hypothèse de fluide en écoulement incompressible

a-t-elle sur la masse volumique du fluide ?

1.2. L’équation locale de conservation de la masse dans le cas d’un fluide

quelconque est SL + div(pv) =0. Que peut-on en déduire concernant le

champ de vitesse pour le fluide incompressible ? Que peut-on dire aussi

du débit volumique D, ?

On rappelle l’expression du nombre de Reynolds pour une conduite

Épreuve de Physique I 2/6

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cylindrique de rayon a :

7
où v, est la vitesse moyenne ‏عل‎ l’écoulement dans une section droite.

1.3. Exprimer l’unité de n en fonction du mètre, du kilogramme et de la

seconde.
1.4. Expliquer ce que signifient écoulement laminaire et écoulement turbulent.

On suppose que les champs des vitesses et pressions présentent une
invariance par rotation autour de l’axe de la conduite : v=v(r, 2e, et P=P(r,z).
1.5. Justifier que l’on peut chercher un profil de vitesse sous la forme

1.6. Justifier qu’une particule fluide est animée d’un mouvement rectiligne
uniforme.

1.7. Exprimer la résultante des forces pressantes dF, qui s’exercent sur la
particule fluide.

1.8. Exprimer la résultante des forces de viscosité dF, = dF,e. qui s’exercent

sur la particule fluide en fonction de n, r, pm et dz.

1.9. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que

dP _ 2n dv(r)

dz r dr

1.10. En déduire que la pression ne dépend pas de r et que c’est une fonction

affine et décroissante. Exprimer la pression P(z) en fonction des deux
valeurs aux extrémités du tuyau, AP = P(z=0)-P(=L).

1.11. Justifier la condition aux limites que doit respecter le champ des vitesses,

1.12. Montrer que le profil de vitesse dans le tronçon cylindrique de l'artère a

ainsi pour expression :

Donner l’expression de v, -

1.13. Représenter graphiquement le profil du champ des vitesses. Commenter.

Épreuve de Physique I 3/6

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1.14. Montrer que le débit volumique du fluide est donné par l’expression :

D,=e€ 9 AP
‏ع‎ étant un coefficient numérique dont on donnera la valeur.

1.15. En déduire la vitesse moyenne v, du fluide.

1.16. Application numérique : Le fluide est du sang dans une grosse artère
avec  p=1,05.10*kem” , n=3.10"PI , a=410*m , L=1,2.10"m et
AP=7,5Pa . Calculer v, et R. Comparer à la valeur critique de R, de
l’ordre de 1000 et conclure quant à la nature de l’écoulement, laminaire
ou turbulent.

2.  Vélocimétrie laser
La vélocimétrie laser est une technique ‘

optique qui consiste à croiser deux faisceaux | tuyau

laser cohérents, faisant entre eux un angle |
de 24 (a‹‹1) afin de mesurer la vitesse
locale d’un fluide qui s’écoule selon l’axe Oz

dans un tuyau transparent (figure 2).

L’écoulement du fluide est ensemencé par
des particules fines solides réfléchissantes Figure 2 : Principe de la
(appelées traceurs). En passant vélocimétrie laser.

alternativement dans les franges brillantes

et sombres qui résultent des interférences des deux faisceaux (Il) et (2), les

traceurs réfléchissent la lumière. Ils diffusent une intensité lumineuse
proportionnelle à l’éclairement de leur surface. La lumière diffusée présente un
clignotement régulier et est détectée par un photodétecteur qui la convertit en
signal électrique.

Les traceurs sont emportés par l’_écoulement stationnaire et on pourra
assimiler leur vitesse à celle du fluide.

On ne considère pour l'instant qu’une seule particule.

Les deux faisceaux laser cylindriques, de même intensité, de même état
de polarisation et de même diamètre, sont issus d’un laser de longueur d'onde
dans le vide À =514,5nm . Leurs directions forment un angle 24 - 20 . Le plan
médiateur des deux faisceaux est réglé pour être exactement perpendiculaire à
la direction de l’_écoulement. Les amplitudes instantanées au point M des ondes
correspondant aux deux faisceaux, supposées planes et de vecteurs d’onde k, et

27

‎Fu ), s’écrivent respectivement sous la forme :‏ = ماح اميا

‎Épreuve de Physique I 4/6

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avec 9, (M,1)=ot- k,.OM +Q, et P,(M,1)=ot- k,. OM + ‏,و0‎ P, étant une constante.

Dans un premier temps, on assimile l’indice optique du fluide à celui de

2.1. À quelle couleur correspond la longueur d’onde À, =514,5nm ?

2.2. Exprimer les vecteurs d’onde 3 et k, en fonction de k, et à. Dans la
base (ee) associée repère (0x2) :

2.3. Exprimer l’amplitude de l’onde résultante :)04.1( au point M de la zone
de croisement (champ d’interférence) des deux faisceaux en fonction des
coordonnées x et z de M , et des autres données.

2.4. L’onde résultante est-elle plane ? Est-elle progressive ? Est-elle
stationnaire ? Est-elle monochromatique ?

On définit l'intensité lumineuse /(M) au point M par I(M)=‹ s’(M,1)›,

moyenne temporelle de s’(M,f#), et on note ‏...ا‎ l’intensité maximale en M .

2.5. Justifier que l’on observe des interférences dans la zone de croisement
des deux faisceaux laser.
2.6. Exprimer le déphasage p=@(M,t)-@,(M,t) entre les deux ondes en un

point M du champ d’interférence. Montrer que /(M) se met sous la

forme 1(M)=1,, 5 ar . Donner l’expression de À, -

0
2.7. Décrire l'aspect des franges d’interférences. Exprimer l’interfrange i, en
fonction de À et a.
2.8. Tracer l’allure de (M) en tenant compte de la largeur des faisceaux
incidents.

La figure 3 donne le signal électrique

détecté par un photodétecteur.

2.9. Que vaut la période T du ‏ا‎
‎clignotement ? ‏ات‎ | TR spi
2.10. Exprimer la vitesse V d'écoulement du ‏ال رز‎ ٠

fluide en supposant que le traceur suit |] 275

Figure 3: Tension en sortie
valeur numérique. du photodétecteur (1V/div et
lus/div).

parfaitement l'écoulement. Calculer sa

Épreuve de Physique I 5/6

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On souhaite connaître l’influence de l’indice du fluide dans le résultat
établi. On considère alors le cas réel où l'indice optique du fluide est n,#n, =1.

Chaque rayon lumineux d’un des deux faisceaux incidents, arrive avec un angle
d'incidence ‏مه‎ par rapport à l’axe (Ox) qui est la normale au dioptre air-fluide.

On note a' l’angle de réfraction.
2.11. Écrire la relation entre a et a'.

2.12. Exprimer la longueur d’onde À du laser dans le fluide.

2.13. Quelle est la nouvelle expression de l’interfrange ; de la figure
d’interférences ‏ث7‎ Y a-t-il besoin de connaître l'indice optique du fluide
pour pouvoir ‘interpréter l’expérience et déterminer la vitesse
d’écoulement ?

Afin de déterminer le sens de l’écoulement du fluide, on place sur le trajet
du faisceau laser (l) un dispositif optoélectronique composé d’une lame
transparente d’épaisseur e. L’indice de réfraction n, de cette lame varie en

fonction de la tension u(t) qu’on lui applique : n,(1)=1+au(t), avec a une

constante positive. On suppose que l'incidence du faisceau laser est normale

sur la face d’entrée de la lame. On assimile de nouveau l’indice optique du fluide

à celui de l’air.

2.14. Exprimer le nouveau déphasage @'(M) entre les deux ondes qui
interfèrent au point M du champ d’interférence en fonction de u(t), a, e,
M. A et z.

2.15. En déduire la position des franges brillantes.

2.16. On souhaite obtenir des franges d’interférences qui se déplacent à une

vitesse constante V, dans la direction de l’axe Oz. Quelle est l’expression
de la tension u(t) dans ce cas ? Expliquer comment connaître le sens de

déplacement.
2.17. On suppose que la particule se déplace dans le sens des z positifs.
Comment varie la période du signal délivré par le photodétecteur dans ce

cas ?

Épreuve de Physique I 6/6

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