نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2017: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2017 - Filière PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies.

Il convient en particulier de rappeler avec précision les des
questions abordées.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

L'énergie électrique : centrale hydroélectrique

La prise électrique que nous connaissons tous, est l’aboutissement de tout
un réseau de production et de transport de l’énergie électrique. Dans ce
problème, on propose d'étudier de façon simplifiée le fonctionnement de quelques
parties d'une centrale hydroélectrique. L’énergie hydraulique est transformée en
énergie mécanique, par une turbine qui entraine un alternateur, lequel produit de
l’électricité.

Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.

1. Questions préliminaires : statique des fluides

On considère un fluide homogène incompressible de masse volumique ‏نا‎
‎au repos dans un référentiel R(O,x,y,z,1) supposé galiléen. Un point M du fluide
est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) dans le référentiel (R) auquel

on associe la base (e.e,,e:). L’axe Oz coïncide avec la verticale ascendante et la
côte z=0 est prise au niveau de la surface du fond du fluide de hauteur h,. On

désigne par P(M) la pression au point M et P, celle à la surface libre du fluide.

Dans cette étude, le champ de pesanteur terrestre g=-ge. est supposé uniforme.

1.1. Qu’appelle-t-on un fluide homogène incompressible ?

1.2. Justifier que la dimension de la pression dans le système international est :
‏-1[ط]‎ 1177173 , où M, L et T sont les dimensions respectives de la masse, de la
longueur et du temps.

1.3.On considère une particule élémentaire de fluide de forme
parallélépipédique de volume dr =dxdydz. Montrer que la force de pression
qui s’exerce sur cette particule s’écrit : 47 ‏مم‎ =-grad(P)dt . Écrire la condition
d’équilibre de cette particule dans le référentiel (R).

1.4. En déduire l’équation locale du fluide en équilibre dans le champ de
pesanteur terrestre. Quelle est la nature des surfaces isobares ?

1.5. Exprimer la pression P(M) à la côte z .

1.6. On tient compte dans cette question de la variation de la masse volumique
u, du fluide avec la pression. Le fluide est de l'eau supposée en équilibre

isotherme. Sa masse volumique varie avec la pression selon la loi

Épreuve de Physique Il 1/7 FIN.

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f 0 0 0 58 0

donne g=9,8m.s7 ٠

1.6.1. Établir l’expression de la pression P(M) à la côte z .
1.6.2. Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ?
1.6.3. Calculer les valeurs de pression exacte et approchée au niveau de la

surface du fond pour h,=100m. Conclusion.

1.6.4. Quelle erreur relative commet-on, quand on assimile l'eau à un fluide
incompressible 2

Dans la suite, le fluide est l’eau que l’on suppose homogène, incompressible

et en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. Sa masse
volumique est u, = -

2. Barrage-poids

L'eau de hauteur h, est
retenue par un barrage-poids de
coupe transversale triangulaire
(figure 1). Le parement amont du
barrage (face côté eau) est un
rectangle vertical de hauteur ٠

Le parement aval (face côté air) est
incliné. On effectuera les calculs
en considérant la coupe
triangulaire du barrage. On note
e, la largeur de base du barrage.

Afin de simplifier les calculs, on figure 1
prendra h,=H,.

Le matériau constituant le barrage est homogène et a pour masse
volumique du, où d est la densité du matériau par rapport à l’eau. On supposera

que seule la pression effective intervient (autrement dit, la pression
atmosphérique est prise comme référence nulle).
Le barrage est soumis aux trois forces :
- les forces de pression de résultante F,« exercées par l'eau ;
- le poids P du barrage ;
- la réaction R=Re.+Re. du sol.
La composante verticale R, de la force exercée par le sol sur le barrage est
dR 5 1 1 ;
de la forme : eu =ax+b, où a et b sont des paramètres que l’on déterminera.
1
2.1. Établir l’expression des deux résultantes ‏.م7‎ et P.
2.2. En écrivant une première condition d’équilibre du barrage, déduire la
composante horizontale R, des forces exercées par le sol sur le barrage et

une relation entre a et b.
2.3. Calculer, en O, le moment ‏(0).م/1‎ des forces de pression de l’eau, le
moment M,.(0) des forces de pesanteur et le moment de la composante 7.

2.4. En écrivant une deuxième condition d'équilibre du barrage, déterminer une
autre relation entre a et b.
Épreuve de Physique Il 2/7 FIN.

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2.5. Achever la détermination des paramètres a et b en fonction de u,, d, €,
h, et g.

2.6. Quel est le signe de ES qui convient pour que le barrage ne se soulève
1

pas ? En déduire une condition entre d, e, et h,.

3. Écoulement dans une conduite

On étudie dans cette partie la distribution de vitesse et de pression dans la
conduite entre le barrage et la turbine et on examine le rôle de l'injecteur. L'eau
du lac artificiel, retenue par le barrage, alimente une centrale hydroélectrique
située à la sortie d'une conduite (figure 2). La conduite cylindrique, de section
S=3m" achemine l'eau du lac jusqu’à la turbine de la centrale. Elle a son départ
situé à H-h=40m en dessous de la surface libre de l'eau et se termine
horizontalement à H=100m en dessous de cette surface par un injecteur

(tubulure de section décroissante, figure 3) de section S'=2m°.

Barrage 2
‏ماعب ةبوت‎ s 5 À

h Conduite

figure 2 ‏ال‎
‎injecteur
‎On négligera la variation du niveau d'eau du lac au cours de l'écoulement
supposé permanent et on néglige tout frottement. La pression dans le jet à la
sortie de l'injecteur est égale à P,. Le niveau de référence (z'=0) est la sortie de la
conduite.
3.1. On rappelle que le long d’une ligne de courant, le fluide satisfait à la

2

relation de Bernoulli: ‏مرجم‎ S +/8z'=cste . Préciser la signification des

différents termes de cette relation ainsi que les conditions de sa validité. On
suppose ces conditions vérifiées.

3.2. On ferme la vanne située à la sortie du barrage. Calculer littéralement et
numériquement la pression P(M) en un point M situé au fond du lac.

3.3. On ouvre maintenant la vanne. L'eau s'écoule à la sortie de la conduite,
dans l’air dont la pression est P,.

3.3.1. En utilisant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant
convenablement choisie, exprimer la vitesse v, de l’eau à la sortie de
l’injecteur où l’eau se retrouve à la pression atmosphérique P,. Calculer
numériquement la vitesse v,.

Épreuve de Physique Il 3/7 FIN.

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3.3.2. Exprimer le débit massique D, de l'eau et calculer sa valeur
numérique.
3.3.3. Écrire l'équation de continuité dans les conditions de l’écoulement.

En déduire l’expression de la vitesse v, de l'eau en un point situé avant la
sortie de l'injecteur. Calculer sa valeur numérique. Que vaut la vitesse en
d'autres points de la conduite ?

3.3.4. En utilisant la relation de Bernoulli, déterminer littéralement la
pression P(N) au un point N de la conduit de côte z'. Tracer l’allure de la

courbe donnant P(N)= P(z").

3.3.5. Calculer littéralement et numériquement l'altitude 7 de l'entrée de la
conduite pour laquelle la pression s'annulerait.
3.3.6. Comparer h' et h. Conclure.

3.4. Afin d’examiner le rôle de l'injecteur, on suppose maintenant que la
conduite n’est pas terminée par l'injecteur.

3.4.1. Quelle serait la vitesse à la sortie de la conduite dans ce cas ?

3.4.2. En utilisant la relation de Bernoulli, calculer littéralement et
numériquement la nouvelle altitude h" de l'entrée de la conduite pour
laquelle pression s'annulerait.

3.4.3. Conclure sur la nécessité de l'injecteur à la sortie de la conduite.

4. La turbine Pelton

Une turbine Pelton est formée de récipients appelés augets fixés sur une
roue de rayon utile R très grand devant la taille des augets. À la sortie de

l'injecteur, le jet d’eau de vitesse V, et de section droite S,, frappe les augets d'une

roue et met cette dernière en rotation la vitesse angulaire ‏م‎
‎En adoptant un modèle optimisé de turbine en régime permanent, on
montre que la puissance P, transmise à la turbine par les forces exercées par les

jets est donnée par : P = ‏ةررم‎ , où K est un coefficient sans

dimension.
4.1. Vérifier l’'homogénéité de l’expression donnant P,

4.2. Représenter l’allure de P, en fonction de w. Préciser le domaine possible

pour ©
4.3. Préciser la valeur de w qui optimise la puissance transmise à la turbine.

5. Conversion d’énergie mécanique en énergie électrique : principe d'un
alternateur

Grâce à l'énergie fournie par la turbine, l'alternateur produit un courant
électrique alternatif. Le phénomène d’induction électromagnétique permet de
comprendre le fonctionnement de ce dispositif. On étudie dans cette partie le
principe de l'alternateur. On représente le rotor (partie mobile) de l'alternateur

Épreuve de Physique Il 4/7 FIN.

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comme une bobine plate (B) de N spires
rectangulaires de centre O, de surface S' chacune

et d'axe orienté par la normale n (figure 4). La
bobine tourne autour de son axe de symétrie (Oz)
passant par les deux milieux de côtés opposés avec
une vitesse angulaire constante © dans une région
de l'espace où règne un champ magnétique extérieur

Be homogène uniforme et stationnaire orthogonal à
l’axe de rotation. On néglige le champ magnétique
propre créé par les courants induits dans la bobine

(B) de résistance R devant le champ extérieur Be. figure 4

On prendra à la date 1=0, Be =B,e: et la normale à la bobine parallèles et
de même sens.
5.1. Exprimer le flux magnétique © embrassé par les spires de la bobine (B).
5.2. En déduire l'expression de la force électromotrice e induite par le
mouvement de la bobine et donner sa valeur maximale e, -
5.3. Établir l'expression du courant i induit dans la bobine et donner sa valeur
maximale /, -

5.4. Établir l'expression du couple électromagnétique 1: des forces de Laplace
exercées sur la bobine. Calculer sa valeur moyenne dans le temps › 1 ›.
5.5. Établir l'expression de la puissance P, dissipée par effet Joule dans la

bobine. Calculer sa valeur moyenne ‹P, ›.

5.6. Déterminer l'expression du couple 1 suivant l'axe (Oz) qu'il faut exercer
pour maintenir la rotation de la bobine et calculer sa valeur maximale F, -

6. Ligne haute tension et pertes en ligne

On étudie dans cette partie la nécessité d’utiliser des lignes de hautes
tensions pour le transport de l’énergie électrique. On souhaite fournir à un
utilisateur, situé à l’extrémité d’une ligne bifilaire de longueur /=50km, une
puissance P=10MW avec moins de 10% de pertes sous une tension alternative de
valeur efficace U. On note ! l'intensité du courant dans les câbles acheminant
l’électricité. Le facteur de puissance du récepteur est cos(p)=1. On donne la
résistivité du cuivre : p=1,6.10%Qm.

6.1. On modélise chaque câble de la ligne bifilaire par un conducteur ohmique
cylindrique en cuivre, de résistivité ‏,م‎ de longueur 1 et de section s.
Rappeler l’expression de la résistance R d’un tel conducteur.

6.2. Donner l’expression de la puissance utile P, acheminée par la ligne.

6.3. Exprimer la puissance P, dissipée par effet Joule dans les câbles.

6.4. En déduire l’expression de la résistance R des câbles en fonction de P,, P,
etuU.

Épreuve de Physique Il 5/7 FIN.

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6.5. Calculer la résistance R et la section s des câbles pour U=220V, puis pour
U - 20071 . Conclure sur l’utilisation de la haute tension pour minimiser les
pertes.

6.6. Afin d'augmenter la tension et de diminuer l'intensité dans la ligne, on
utilise deux transformateurs de tension, un en élévateur (après l’alternateur)
et un en abaisseur (à la réception).

6.6.1. Quel type de conversion réalise un transformateur ?

6.6.2. Expliquer brièvement son principe.
7. Transport de l'énergie électrique en courant continu

Le courant alternatif est aujourd’hui la technologie la plus utilisée pour
transporter l’électricité en haute et très haute tension. Pour certaines
interconnexions et pour les lignes aériennes, souterraines ou sous-marines au-
delà d’une certaine longueur, on doit transporter l'électricité en courant continu
plutôt qu'en courant alternatif.

On étudie dans cette partie un de ces câbles de transport d'énergie reliant
deux stations de conversion distantes de d=50km et on montre l'intérêt d'utiliser
du courant continu pour le transport d'énergie électrique à distance par câble. Ce
câble est constitué d'une âme centrale en cuivre entouré d'un isolant (papier
imprégné). Pour assurer l'étanchéité et la tenue mécanique du câble, ce dernier
est entouré d'une armature.

On donne :

‹ Permittivité électrique du vide : 5 =———— Fm”.
36.10
1

٠  Perméabilité magnétique du vide : u, = 42.10 17017

+  Résistivité du cuivre : p=1,6.10*Qm.

* Inductance linéique du câble : A =0,4mH km”.

٠  Épaisseur de peau : ô= 2e.

٠ Section de l’âÂme centrale ‏ري‎ - 9007101 ٠

7.1. On veut faire circuler un courant continu d’intensité 7 = 925 A dans l’âÂme
d’un conducteur.

7.1.1. Calculer numériquement la résistance totale R, du conducteur
central du câble étudié ?

7.1.2. Quelle est la puissance P, dissipée par l'âme du câble ?

7.2. On considère maintenant que le courant transporté est alternatif de
fréquence /.

7.2.1. Calculer l’épaisseur de peau 6& pour le cuivre pour la fréquence
fi =50Hz puis pour f,=100MHz. En déduire si la résistance du conducteur
est modifiée.

7.2.2. Exprimer, en fonction de l’épaisseur de peau ô et du rayon R, du

conducteur central, la section utile ‏ري‎ du conducteur. On admet qu'en

première approximation, le courant circule dans une épaisseur 6 ‹‹R, à la
périphérie du conducteur.

Épreuve de Physique Il 6/7 FIN.

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7.2.3. En déduire la résistance effective R, de la ligne électrique et les
pertes P, par effet Joule dans la ligne. Calculer leur valeur numérique.

7.3. Calculer l’inductance totale 71 du câble puis sa réactance X, =Læ à la
fréquence f =50Hz . Que vaut cette réactance en continu ?

7.4. L'âme et l’armature, séparées par l’isolant, forment les deux faces d’un

condensateur cylindrique de capacité par unité de longueur T = FE ,R

et R =33,5mm , respectivement, les rayons intérieurs et extérieurs de la partie
isolante. e,=4 est la permittivité relative de l’isolant en papier imprégné.
Calculer la capacité totale C du condensateur que constitue le câble.
7.5. On modélise le câble par le câble de 7

circuit de la figure 6. Ce
câble est alimenté en
alternatif par la tension
efficace ‏ىن‎ 219077 à la
fréquence 1 =50 Hz délivrée
par un générateur branché
entre l’âme la — terre.
L’armature est reliée à la

terre.
= figure 6
figure 6
7.5.1. Calculer, à partir de ce modèle, l’intensité du courant /' appelé par le

câble à vide (l’autre extrémité n’appelant aucune puissance). Ce courant est-
il utile pour le transport d’énergie ?

7.5.2. Donner le modèle du câble en continu. Expliquer pourquoi il est
nécessaire d'alimenter le câble en courant continu.
7.5.3. On alimente maintenant le câble en continu sous la tension

U=270 kV (U= u, 2 ). Calculer la puissance que ce câble peut transporter

quand il est parcouru par le courant 7 =925 A . On négligera toutes les pertes
7.5.4. Calculer le rapport des pertes par effet Joule par rapport à la
puissance transportée. Commenter.

Épreuve de Physique Il 7/7 FIN.

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