نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2014: الفيزياء 1 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2014- Filière PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies.

Il convient en particulier de rappeler avec précision les |références des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - Etude d'un pendule
1. Pendule pesant

On considère un pendule pesant (P), dans le champ de pesanteur terrestre

g = ge, uniforme, constitué :
- d'une tige (7) de forme cylindrique, de longueur 1-00, de dimension
latérale négligeable devant sa longueur et de masse m,. Le moment

d’inertie de la tige par rapport à son extrémité est J, = Xe :

- d'un disque (D) de rayon a, de centre C et de masse ‏.م7‎ Le moment

d’inertie du disque par rapport à son axe de révolution est J, = me,

Le disque (D) est solidaire à l'extrémité inférieure C de la tige (7).

Le pendule (P) est en mouvement de rotation, 0
via une liaison pivot parfaite de centre 0 , autour
de l'axe horizontal (Oy) passant par l'extrémité
supérieure O de la tige (@) et perpendiculaire au
plan de la figure 1.1.

La position du pendule (P) est repérée par
l'angle 0 que fait son axe de symétrie avec l'axe 8) (D)
vertical (Oz) du référentiel terrestre R(O,x,y,z,t) figure 1.1
supposé galiléen.

A l’instant choisi comme origine des temps, le pendule est abandonné avec les

conditions initiales 0( =0)=0, et = ( =0)=0. On associe au référentiel (R) la
1

base cartésienne (eee).
On néglige tout frottement (sauf indication contraire) et on étudie le
mouvement du pendule dans le plan vertical (Oxz).
1.1. Qu'appelle-t-on référentiel galiléen 72
1.2. Définir le référentiel terrestre. Citer une expérience historique qui a permis de
mettre en évidence le caractère non galiléen de ce référentiel. Justifier que
dans notre étude, ce référentiel peut être considéré galiléen.
Epreuve de Physique | 1/7

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1.3. Que signifie "liaison pivot parfaite de centre O" ? Quelles conséquences cela a-
t-il ?

1.4. En utilisant le théorème d'Huygens, calculer le moment d’inertie J, du
pendule par rapport à l’axe de rotation (Oy).

1.5. Déterminer le vecteur vitesse de rotation enr, du pendule et le vecteur

vitesse V ‏ضرم‎ du cendre de masse 6 du pendule dans le référentiel (R).

1.6. Parmi les forces appliquées au pendule, il y a la poussée d'Archimède. Donner
les caractéristiques de cette force. Cette force sera négligée dans la suite de
l'étude. Justifier qu’il est légitime de la négliger.

1.7. Quelles sont les forces appliquées au pendule (P) ? Calculer le travail de
chaque force. En déduire que le système étudié est conservatif et donner
l'expression de son énergie potentielle F,. On choisit l’origine des énergies
potentielles E,(0=0)=0.

1.8. Exprimer l’énergie cinétique E, et l'énergie mécanique E, du pendule.

1.9. Etablir l'équation différentielle du mouvement du pendule. Le pendule étudié
est-il un système linéaire ? Justifier.

1.10. Retrouver l'équation établie dans la question précédente en appliquant le
théorème du moment cinétique scalaire au pendule (P).

1.11. Montrer que, lorsque l'énergie mécanique est telle que O‹E,‹E,, le
‏سار‎ du pendule pesant est oscillatoire et ne peut avoir lieu que si

0e[-0 +0, 0,]- Donner l'expression de E,. Exprimer la période T'‘(0,)

d'oscillation du pendule sous forme d'une intégrale en précisant les bornes
d'intégration.

1.12. Représenter dans l'espace des phases 0.25) les trajectoires possibles pour
1

diverses valeurs de l'énergie mécanique E,. On distinguera les deux cas

E, ‹E, et E, ›E,. Quelle est la nature du mouvement dans le cas E, › E, ?

Comment reconnaît-on, dans l'espace des phases, une position d'équilibre,
stable ou instable ?

1.13. À quelle condition l'énergie potentielle est harmonique ? Donner dans ce cas la
loi de variation de 0 en fonction du temps. Exprimer la pulsation œ,

caractérisant le mouvement du pendule. Quelle est la longueur L du pendule
simple équivalent qui permet de faire osciller un objet ponctuel de masse
m=m, +m, avec la même période ?

1.14. Proposer un montage simple permettant de relever automatiquement et de
visualiser la position angulaire 0) du pendule sur l’_écran d’un ordinateur.

1.15. Le montage de la question précédente permet d'obtenir le graphe de la figure
1.2. Commenter et justifier l'allure de 6(). Quel est le régime d'évolution de
l'oscillateur ?

1.16. Pour expliquer le résultat obtenu dans la question précédente, on reste dans
le cadre de l'hypothèse de l'énergie potentielle harmonique et on se place dans
le cas où les frottements de l'air sur le disque ne sont plus négligeables et sont

modélisables par une force F =-av où v est la vitesse du disque et ‏هه‎ est une
constante positive.

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1.16.1. Montrer que l'équation différentielle à laquelle obéit 0 peut se mettre

A A5 ‏صقم‎ Exprimer / et y et donner leur

sous la forme ;
dt” dt

dimension.

1.16.2. Montrer que la solution de cette équation différentielle peut se mettre
sous la forme : 0(t)=f ().exp(+/7) où 7 est une constante que l'on
exprimera en fonction des données. Sans chercher à expliciter la fonction
1 «), décrire brièvement les différents régimes du mouvement du pendule.

1.16.3. A quelle(s) condition(s) sur ‏هه‎ aura-t-on f (t)=c,cos(at)+c,sin(at) ?
Exprimer alors les constantes c,, ‏نو‎ et & en fonction des données. On

suppose cette condition vérifiée dans la suite.
1.16.4. Que devient l'allure du portrait de phase tracé dans la question 1.12

si l’on tient compte de la force de frottement F =-av ?

2. Pendules couplés par torsion

On étudie maintenant le système fil de torsion
composé de deux pendules (P,) et (P,) O O: Ÿ O2 9
couplés par un fil de torsion confondu a ١

avec l'axe (Oy) de constante de torsion
C . Le fil de torsion qui relie les deux
pendules exerce sur chacun d'eux un
couple de rappel colinéaire à l'axe de
rotation et proportionnel à la torsion
qu’on lui impose. On suppose qu'au figure 1.3
repos, l'angle de torsion est nul.

Les deux pendules sont identiques et assimilés chacun à un pendule simple
de masse m ponctuelle montée sur une tige indéformable de longueur L
(L =O,A, =O,A,) et de masse négligeable. Ils sont fixes respectivement aux points

O, et O, (figure 1.3).
Epreuve de Physique | 3/7

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On repère les positions des deux pendules à l’instant / par les angles 6, et 0,
traduisant les rotations respectivement autour de (O,y) et (O,y) dans le plan
vertical (Oxz) du référentiel terrestre R(O,x,y,z,t) supposé galiléen. On désigne
par g =ge. l’accélération de la pesanteur supposée uniforme et on néglige tout
frottement.

2.1. Justifier que l'énergie potentielle du système des deux pendules peut s'écrire :

2.2. Montrer que les équations du mouvement des deux pendules ‏د‎ et (P,)
s'écrivent respectivement :
d 2 2: 2 2 5 Dis 2
1° t

2
Exprimer les constantes ‏ره‎ et ‏ره‎ en fonction de ‏ا بع‎ C etm.

2.3. On cherche des solutions en notation complexe du type 0,6)=a,exp(jat) et
0,(t)=a,exp(jat), où ‏ره‎ et ‏مه‎ sont des constantes. Trouver les pulsations de
vibration du système étudié dans l’approximation des élongations de faible
amplitude.

2.4. Quelle relation lie 6 et 0, dans chacun des types d’oscillations ? Interpréter
physiquement le résultat.

2.5. On se place à présent dans le cas où les deux pulsations propres sont très
proches. A quelle situation physique cela correspond il ?

2.6. On part en outre des conditions initiales : 60 =0)=0, et 6,6 =0)=0, les
vitesses initiales des deux pendules étant toutes deux nulles. Etablir alors les
lois O() et 40(. Interpréter ce type d'oscillations appelé «pendules
sympathiques».

2.7. A la lumière de toutes ces questions, comment déterminer expérimentalement
les différentes caractéristiques de ce système mécanique ?

Epreuve de Physique | 4/7

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Problème II - Mesure de débit volumique

On se propose d'étudier dans ce problème un débitmètre électromagnétique.
Ce dernier est utilisé dans l'industrie chimique, pharmaceutique, traitement des
eaux et eaux usées, agroalimentaire ...pour la mesure du débit volumique de
liquides, pâte et boues dans une conduite ayant une conductivité électrique
minimale spécifique. Le principe de ce débitmètre est fondé sur le phénomène
d'induction électromagnétique. Le champ magnétique, de l'ordre de 10° T à
10° 7 , est produit par deux bobines de Helmholtz placées de part et d'autre de la
conduite de mesure (figure 2.2). La conduite est en matériaux amagnétique et est
revêtue sur sa surface intérieure d'une couche isolante. Deux électrodes de
mesure sont placées aux extrémités du diamètre perpendiculaire au champ
magnétique B.

Lorsque le fluide circulant dans la conduite est très légèrement conducteur, on
pourra mesurer la force électromotrice induite entre les deux électrodes (isolées
électriquement de la conduite), et déduire le débit.

On repère un point M de l'espace par ses coordonnées cylindriques (r,0,z)
associées au trièdre local e, 06 ).

On donne :

e Pour un champ scalaire ®(r,0,z) : grad (D)=—e, +——e9+—e: ;
ôr r 00 Pi

e Pour un champ vectoriel A(r,0,z)= A, e, +A, £a +A, e.

1 O(rA,) ; 1 CA, F CA, HA die 6 )= 1 à CA, + 1 &'A, F DA en
ôr ro ©) 5 r ôr

div(A)= NS ;
2 ‏كم‎ 2097 2

1. Production d'un champ magnétique uniforme

On considère deux bobines plates identiques (B,) et (B,) de N spires
chacune, de centres respectifs O, et O, de même rayon R , de même axe (Ox) et
séparées par une distance d =O,0, (figure 2.1). Elles sont parcourues par des

courants permanents de même sens et de même intensité I.
On s'intéresse au champ E
magnétostatique B créé par les deux
bobines au voisinage du point 0 , milieu de

002

figure 2.1

1.1. Exprimer le champ magnétique total B créé par les deux bobines au point M
de l'axe (Ox) en fonction de x =OM et de B,, champ magnétique total au

point 0 «
1.2. Décrire les différents types de variation possibles de B avec x pour les points

M de l'axe (Ox) en fonction du rapport ‏ع‎

Epreuve de Physique | 5/7

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1.3. Montrer que, avec d=R, le champ magnétique B est donné par

3
= = PA EnNt - 0 ‏ع‎ 0
B(x)=Bo= (5) ‏ب‎ es au troisième ordre en u = = . e: est le vecteur unitaire

directeur de l'axe (Ox). Avec quelle précision peut-on admettre que B(x) est
constant entre O, et O, ?

On suppose dans la suite que le champ magnétique est quasiment uniforme
dans la région voisine du point 0 et vaut B(M )=Bo.

2. Mesure de débit volumique

Les bobines de Helmholtz étudiées dans la partie précédente sont disposées de
part et d’autre d'une conduite (C) horizontale cylindrique électriquement isolante
de rayon a et d'axe (Oz) (figure 2.2).

Considérons l'écoulement stationnaire d'un fluide homogène et

incompressible, soumis au champ magnétique uniforme et permanent, dans la
conduite (C).

excitation

*“ mesure

“ronduite

électrodes

(B,) figure 2.2 figure 2.3

Le fluide, de masse volumique p, de viscosité n et de conductivité électrique
y, est supposé très légèrement conducteur.

On suppose que le champ créé par les deux bobines de Helmholtz est
uniforme dans toute la région de l’écoulement et on le note B = B,e. .

On néglige l'effet de la pesanteur. On note v(M 1) et p(M ,+) respectivement le
champ de vitesse et le champ de pression au point M du fluide à l'instant 1
2.1. Définir la notion de particule fluide.
2.2. Justifier que v(M +) et p(M ,t) peuvent se mettre sous la forme y=v (re: et

2.3. On rappelle l'équation de Navier Stokes : ‏حا‎ md | =—grad (p)+nAv .

Que représente chaque terme de cette équation ? Montrer que les deux termes
du premier membre de cette équation sont nuls.

2.4. Montrer que a =0 et que le champ de vitesse v vérifie l'équation différentielle

1dv dv C 1 ‏لي‎ 1

‎où C, est une constante d'intégration. En déduire que le‏ ,—= عه الب
‎rdr dr n‏

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champ de vitesse dans le fluide en écoulement est donné par : v ‏و نح‎
Déterminer l'expression de la constante v,. Représenter le profil du champ de

vitesse dans la conduite.
2.5. Rappeler la définition du débit volumique D, et donner son expression en

fonction de v,eta.

Le vecteur densité de courant volumique j dans le fluide très légèrement
conducteur est donné par la loi d'Ohm : j =y(-gradW )+V AB), où V est le
potentiel électrique en un point du fluide.

2.6. En utilisant l'équation de conservation de la charge électrique, établir

l'équation différentielle vérifiée par le potentiel électrique V .

2.7. Afin de déterminer le potentiel V , on procède par la méthode de séparation
des variables. On cherche alors des solutions de la forme : V(M)=g(r)sin(0).

Etablir l'équation différentielle vérifiée par la fonction ‏.)ع‎ Montrer que le
potentiel électrique est donné par : V = ‏ب‎ Br ‏د‎ int) où C, est une

constante.

2.8. Sachant que la conduite est isolante, déterminer l'expression de la constante
d'intégration C,.

2.9. Etablir l'expression de la différence de potentiel U =V,, —V,, entre les deux
électrodes E, et E, (figure 2.3). En déduire l'expression du débit volumique
D, en fonction de U . Calculer la valeur numérique de D,. On donne :
B,=1mT ; a=50cm et U =1mV .

2.10. Les bobines d'Helmholtz sont en réalité alimentées par une tension alternative
30 Hz . Expliquer pourquoi ?

2.11. La tension mesurée est de l'ordre du millivolt ce qui est faible et nécessite une
"détection synchrone". Expliquer le principe de cette détection.

Epreuve de Physique | 7/7

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