نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2013: الفيزياء 1 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2013)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 1
- الدورة
- 2013
- عدد الصفحات
- 10
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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Concours National Commun - Session 2013 - Filière PSI
e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient
en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour
les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement
indépendantes entre elles.
L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - Ondes acoustiques
Données :
e Dans tout le problème, on assimile l'air à un gaz parfait à la température
T, 298 K et à la pression P, ;
e Masse molaire de l'air : M =29 ب ! لمع
e Rapport des capacités calorifiques de l'air y =1,4 ;
e Constante des gaz parfaits : R 28,3177 اميم ;
3
e Masse volumique de l'air à T, et PR, : ور =1,2 kgm”.
Dans ce problème, on étudie la propagation unidimensionnelle suivant l'axe Ox
d'ondes acoustiques dans un fluide supposé parfait. On supposera que les parois des
différents tuyaux, qui interviennent tout au long de ses parties, n’exercent aucun
frottement sur le fluide. On néglige les forces de pesanteur devant les forces de
pression ainsi que les échanges thermiques et d'irréversibilité.
I. Propagation d’une onde acoustique dans un tuyau cylindrique de section
constante contenant un fluide
Le fluide est contenu dans un
tuyau de révolution autour de l’axe
Ox dirigé par le vecteur unitaire ess
de longueur infinie et de section
constante S,. Dans le référentiel
R,(O,x,y,z,t) supposé galiléen, le
fluide au repos à la température T,
est caractérisé par des champs de
masse volumique ور et de pression éx, ÿ
P, ‘uniformes et un champ de figure 1
vitesse nul.
On considère une tranche de fluide qui, au repos, est comprise entre les abscisses
x et x+dx . Le passage de l’onde acoustique dans le fluide s’accompagne d’un
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déplacement d’ensemble des molécules contenues dans la section du fluide
d’abscisse x : soit &(x,{) ce déplacement à l’instant + ; ainsi la tranche de fluide
considérée se trouve à l’instant + entre les plans x +é(x,t) et x +dx +&(x +dx,t)
(figure 1).
Les champs de masse volumique u(x,t), de pression P(x,t) et de vitesse
16 ,1( 0) tes à l'instant + sont de la forme : u(x,1t)=u,+p(x,t),
P(x,t)=P, +p,(x,t) et v(x,t)=v,(x,t) où p,(x,t) définit la surpression et u,(x,!) est
la modification de la masse volumique du fluide. On note c la vitesse de l'onde
Ho P, €
du fluide une valeur moyenne temporelle nulle et sont supposées a priori des
infiniment petits de même ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles. On
se limitera ainsi aux mouvements de faibles amplitudes et on négligera tous les
infiniment petits d’ordre supérieur ou égal à deux.
1. Définir brièvement ce qu’est une onde acoustique. À quelles conditions sur sa
fréquence et son intensité est-elle audible ? Quelle est la grandeur physique qui
caractérise la hauteur d’un son pur ?
2. Qu'’appelle-t-on onde transversale et onde longitudinale ? Donner dans chaque
cas un exemple.
3. Exprimer, à l’instant / , la nouvelle épaisseur dx' de la tranche considérée ci-
dessus en fonction de dx et de l’une des dérivées de &(x,t). En déduire la
acoustique dans le fluide. Les grandeurs ont en tout point
variation relative de volume de la tranche de fluide entre les instants O et : en
fonction de BE ;
4. Justifier brièvement que l'évolution de la tranche de fluide considérée est
isentropique.
5. On définit le coefficient de compressibilité 7, du fluide à entropie S constante
1/7 7
par : %, = 2; 5 , V étant le volume du fluide et P sa pression. On suppose
que y, reste constant pour les transformations envisagées du fluide. Montrer que
1
l’on peut écrire دح م 3 ;
Xs Ox
6. Etablir l'expression de la résultante d F des forces de pression qui agissent sur la
tranche considérée, à l'instant 1. Montrer que cette force est donnée par :
47 لالت in
7. En raisonnant sur la tranche de fluide comprise au repos entre les abscisses x et
x +dx , établir, en précisant la loi utilisée, que u, E 1 = a ;
42 OX
8. Déduire des résultats précédents l’équation à laquelle satisfait le déplacement
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9. Montrer que le déplacement &(x,t) est solution d'une équation de propagation de
D'Alembert. Dans le cas d'ondes planes, donner sans démonstration, la forme
générale des solutions de cette équation et préciser leur signification. Exprimer la
vitesse c de l'onde acoustique dans le fluide en fonction de u, et رز
10. Montrer que la surpression p,(x,!) et la vitesse v,(x,t) satisfont à la même
équation de propagation que le déplacement &(x,1).
11. On admet que le modèle développé permet de décrire la propagation d'ondes
acoustiques longitudinales dans l'air pour lequel la pression, la température et la
masse volumique correspondent respectivement, à l'équilibre, à P,, T, et 4y-
11.1. Donner alors l'expression de la vitesse c en fonction de R,T,, M et y.
11.2. Evaluer la compressibilité y, de l'air et la vitesse c du son dans l'air, à la
température 7,, d'après le modèle utilisé.
11.3. Expliquer, en donnant le schéma d'un montage expérimental, comment l’on
devra procéder expérimentalement pour mesurer la vitesse c du son.
11.4. Commenter, à l'aide des résultats du
modèle, les valeurs expérimentales du | T, en °C | c enms”
tableau ci-contre de la vitesse du son | 0 221
dans l'air. | 25 346
11.5. Au lieu de supposer la propagation isentropique, on aurait pu prendre
l'hypothèse de Newton : la propagation du son est isotherme.
Montrer que l'hypothèse de Newton revient, dans les résultats précédents
établis à partir de l'hypothèse de la propagation isentropique, à faire tendre y
vers | et en déduire la valeur numérique de la vitesse du son dans l'air à 25 °C
dans l'hypothèse de Newton. Conclure.
11.6. Comment varie la vitesse du son dans l'air lorsque la masse volumique de l’air
diminue mais sans variation de température (comme par exemple, dans un air
humide) 2
II. …_ Propagation d’une onde acoustique sinusoïdale dans un tuyau cylindrique
de section constante contenant un fluide
On considère la propagation dans le fluide d’une onde plane progressive
sinusoïdale de pulsation وه et de module d'onde k .
Les champs de surpression acoustique et de vitesse particulaire ont pour expression
j(ex—kx) j'(ax—kx
en notation complexe : p (x,1)=p et v,(x,t)=v,ge où p, et v, sont les
amplitudes correspondantes.
12. Caractériser l'onde acoustique décrite par la surpression p (x,t). Déterminer
l'expression de k en fonction de w etc.
13. On définit, en notation complexe, l'impédance acoustique Z, du milieu, par la
13.1. Justifier cette appellation par analogie électrique.
la relation : Z, =
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13.2. Montrer que 2 .عر Commenter. Déterminer son unité dans le système
international.
13.3. Calculer la valeur du module de Z, pour l'air à la température 25 °C .
13.4. La propagation d’une onde acoustique est associée à un transfert d’énergie.
L'intensité acoustique 1 de l'onde décrite ci-dessus représente la puissance
moyenne transmise par l'onde à travers une surface unité perpendiculaire à
Ox . Montrer qu'elle est donnée par : I = Po
216
13.5. Des expériences montrent que l'intensité minimale perçue par l'oreille
humaine à la fréquence 7 =1kHz est I, = 10"? W.m”. Calculer la valeur
numérique de وم à 25 °C correspondant à /,-
13.6. On définit le niveau sonore, exprimé en décibels par : I, - 8 7 . Donner
0
une raison qui justifie le décibel. Quelle est la valeur de l'amplitude de la
surpression p, correspondant à un seuil de niveau sonore dit de douleur
évalué à 120 dB ?
Problème II - Spectrogoniomètre à prisme
La spectrométrie est une technique de mesure des longueurs d’onde
correspondant aux raies émises par une source lumineuse.
On s’intéresse dans ce problème à l’étude des deux aspects, théorique et
expérimental, du spectrogoniomètre à prisme.
I. Goniomètre
Un goniomètre est essentiellement constitué d’un plateau horizontal circulaire
gradué en demi-degré de O à 359° autour duquel peuvent se déplacer un collimateur
et une lunette de visée. Un vernier comportant 30 divisions sur 0,5 degré permet de
faire une lecture à la minute d'arc près. Il est utilisé dans le repérage des positions
angulaires de la lunette de visée, depuis une direction arbitraire de référence.
Les rayons issus du collimateur traversent un système dispersif, placé au centre
avant d’être recueillis par la lunette qui en donne une image à l’infini.
Toutes les lentilles constituant la lunette et le collimateur sont supposées minces
et achromatiques.
1. À quoi sert un goniomètre ?
2. Expliquer le terme "'achromatique”. Pourquoi utilise-t-on des lentilles
achromatiques dans un spectromètre ?
3. La lunette de visée permet de repérer un rayon émergent ou réfléchi par le
système dispersif et de mesurer son angle de manière précise à l’aide du
vernier. Elle est constituée des éléments suivants :
- un objectif : c’est une lentille convergente de distance focale f ' =130 mm , de
foyer image F',, de centre O, et fixe dans un tube. 11 donne de l’objet observé
ou pointé une image intermédiaire.
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- un oculaire : c’est un doublet de lentilles convergentes non accolées que l’on
modélisera par une lentille convergente de vergence V, =25 6, de centre O, et
de foyer objet F,. L'oculaire permet l’observation « à la loupe » de l’image
intermédiaire.
- un réticule R (deux fils croisés à angle droit), placé entre l’objectif et l’oculaire.
Un tambour de réglage permet de le superposer à l’image intermédiaire.
3.1. Expliquer les qualifacatifs « objectif » et « oculaire ».
3.2. Une lunette est réglée si elle est rendue afocale. Donner l'intérêt de ce réglage
pour un œil emmétrope et expliquer brièvement les étapes de ce réglage.
Calculer l'encombrement total O,O, de la lunette.
3.3. Faire un schéma de principe de la lunette réglée. Tracer sur ce schéma la
marche à travers la lunette d’un faisceau de lumière faisant angle 0 avec l’axe
optique de celle-ci. On note 0' l'angle que font les rayons émergents de la
lunette avec son axe optique. Exprimer le grossissement G = = de la lunette et
calculer sa valeur numérique.
4. Le collimateur est un système optique constitué d'un objectif (lentille
convergente de distance focale f '. =170 mm ) et d’une fente dont la largeur est
réglable. Un tambour de réglage permet de faire varier la distance entre la fente
source et l'objectif. Le collimateur est éclairé à travers sa fente par la source
étudiée
4.1. Préciser le rôle du collimateur.
4.2. Le réglage du collimateur consiste à amener la fente au foyer objet de l’objectif.
On utilise pour cela une lunette préalablement réglée à l’infini. Expliquer
brièvement les étapes du réglage du collimateur.
Dans la suite, on suppose que la lunette et le collimateur sont réglés à l’infini.
II. Prisme
On considère un prisme constitué par une
substance supposée non absorbante, homogène
et isotrope. On note n (n›1) l'indice de cette
substance pour une radiation de longueur
d'onde 7
Du point de vue optique, le prisme
correspond à un dièdre d'angle A et plonge dans
l'air dont l'indice sera pris égal à 1.
On restreindra l'étude à des rayons lumineux
incidents dans un plan de section principale et
on appelle (I) et (II,) les dioptres plans d'entrée
et de sortie qui constituent le prisme. On note D
l'angle de déviation du rayon incident par le
prisme.
Les angles étant toujours orientés de la normale vers le rayon, on convient de
noter positivement :
- les angles / et r à l’entrée lorsqu'ils sont orientés dans le sens
trigonométrique,
figure 1
prisme
figure 1
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- les angles à la sortie, 1١ et r' ainsi que la déviation D , lorsqu'ils sont
orientés dans le sens inverse (figure 1).
5. Qu'appelle-t-on plan de section principale du prisme ?
6. Pourquoi éclaire-t-on le prisme en lumière parallèle ?
7. Rappeler, en se servant d'un schéma clair, les lois de Snell-Descartes pour la
réflexion et celles pour la réfraction.
8. Justifier pourquoi les rayons lumineux transmis dans le prisme sont dans le
plan d'incidence défini par le rayon lumineux incident et la normale au plan
9. En respectant les notations de la figure 1 et le choix du sens positif
pour les angles, écrire quatre relations entre les angles i , i', r,r',A et D.
10. Justifier que le rayon incident pénètre toujours dans le prisme par le premier
dioptre (II.) quel que soit son angle d'incidence 7 . Montrer que ce rayon peut
être totalement réfléchi au second dioptre (II,) si A ›2A où À est un angle
qu'on exprimera en fonction de ٠
11. On suppose la condition A ‹2A
vérifiée. On éclaire le prisme D
d'angle A par une radiation de
longueur d'onde À donnée et on
étudie la variation de la déviation
D en fonction de l'angle
d'incidence 7 . 7
اا داج تت
La figure 2 donne l'allure de D en
fonction de i. Commenter cette
allure.
figure 2
12. Quelle condition supplémentaire doit vérifier l'angle d'incidence 7 pour que le
rayon incident qui pénètre dans le prisme émerge de ce dernier ? On notera
cette condition sous la forme i, ‹i ‹ 5 et on exprimera ‘y.
On suppose dans toute la suite qu'un rayon incident donne naissance à un rayon
émergent.
13. Montrer que D, vérifie la relation : sine FF, =n sin) et préciser que lorsque
Représenter sur un schéma la marche d'un rayon de lumière
monochromatique traversant le prisme au minimum de déviation. Quel est
l'intérêt d'utiliser un prisme au minimum de déviation ?
14. Comment varie la déviation D en fonction de l'angle A du prisme d'indice n et
éclairé sous l'incidence i ? En déduire que la déviation a lieu du coté de la
base du prisme
15. Quelle est la propriété fondamentale à l’origine de la spectroscopie à prisme.
Comment qualifie-t-on un tel milieu ?
16. Choix du prisme
Il existe différents types de verre :
onai=i'=i, et r=r'=r,. Donner l'expression de i,, et celle de r,.
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- Le verre courant, appelé crown en optique, est fabriqué à partir de la silice, de
la soude, de la potasse et de la chaux. Son indice moyen est n, =1,5.
- Le cristal, ou flint est un verre qui contient du plomb. Son indice moyen est
Le tableau ci-dessous donne les indices de deux radiations monochromatiques
pour deux types de verre différents. On suppose que les prismes sont éclairés sous la
même incidence ; = 60°.
Âp = 656,3 nm 1,514 1,694
Â, =486,1 nm 1,522 1,717
16.1. Calculer l’angle que fait le rayon bleu avec le rayon rouge pour un verre crown,
puis pour un verre flint. Faire une figure.
16.2. Quel est le verre le plus dispersif ? Quel verre vaut-il mieux utiliser pour
réaliser un spectromètre à prisme ?
17. Mesure de l'angle A du prisme
On cherche à déterminer l’angle A
que fait le prisme à son arête utile. figure 3 rayons incidents
Une méthode consiste à orienter le
prisme de façon à ce que le faisceau
lumineux issu du collimateur tombe
sur l’arête utile et se réfléchisse sur
les deux faces (II.) et (II,) de part et
d’autre (figure 3).
On pointe successivement à l’aide qu,
du fil vertical du réticule de la lunette
les deux images réfléchies de la fente La
source sur )11.( (position (L1)) puis sur
(II,) (position (L2)).
Les lectures des deux positions de la lunette, faites par rapport la même origine,
sont respectivement a, =92°45' et a, =212°50".
17.1. Etablir la relation entre l’angle du prisme A et les deux lectures a, et a, .
17.2. Calculer la valeur numérique de l’angle du prisme À .
17.3. Citer trois principales sources d’erreurs dans la mesure de À .
17.4. La mesure de l’angle A du prisme dépend-elle de l’orientation du prisme ?
Pourquoi ?
18. Mesure de l'angle de déviation minimal D,
La fente du collimateur réglé à l'infini est éclairée par une source de lumière
monochromatique de longueur d'onde .ل La lumière issue du collimateur éclaire la
face (IT.) du prisme comme indiqué sur le schéma de la figure 4. On tourne le prisme
par rapport à la verticale afin d'obtenir un faisceau émergent de sa face (II,)
correspondant au minimum de déviation.
On pointe la raie de longueur d'onde À (position (L'1)). La lecture de la position de
la lunette est a', =139°15".
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On réitère les mêmes opérations collimateur
mais en changeant la position du
prisme afin d'éclairer la face (II,) et
obtenir un faisceau émergent de sa
face (IT). Cette position correspond à
nouveau au minimum de déviation.
On pointe la même raie (position
(L'2)). La lecture de la position de la
lunette est a', =230°45'. Les deux
lectures sont faites par rapport à la
même origine.
figure 4
18.1. Expliquer la démarche pour chercher expérimentalement le minimum de
déviation de la lumière dans un prisme.
18.2. Montrer que l’angle a' entre les deux positions (L'i) et (L's) de la lunette est le
double de l’angle minimum de déviation : a'=2D,. En déduire la valeur
numérique de l'angle de déviation minimale D, .
18.3. Donner une autre méthode de mesure du minimum de déviation D, pour la
radiation de longueur d'onde À, -
19. Mesure de l'indice du prisme
En utilisant les valeurs numériques de A et D, trouvées respectivement dans
les questions 17.2 et 18.2, calculer numériquement l'indice n du prisme pour
la radiation de longueur d'onde À, . S’agit-il de Crown ou de Flint ?
20. Mesure d'une longueur d'onde
La dépendance de l’indice du prisme vis-à-vis de la longueur d’onde est
2
correctement décrite par la loi empirique de Cauchy n =n(4)=C, à avec
C, =1,652 et C, -1,50.10 2712 .
20.1. Expliquer qualitativement l'effet du prisme sur une lumière incidente
polychromatique. En déduire comment vérifier expérimentalement la loi de
Cauchy.
20.2. En utilisant la valeur numérique de l'indice n trouvée dans la question 19,
calculer la longueur d'onde À de la radiation utilisée. Quelle couleur
correspond à cette radiation ?
21. Pouvoir dispersif
On désire fabriquer un spectromètre avec un bon système dispersif. Hésitant
entre le prisme et le réseau, on cherche à comparer le pouvoir dispersif de ces deux
systèmes.
La dispersion d’un spectromètre conditionne son aptitude à séparer des longueurs
d’onde très voisines. Le pouvoir dispersif angulaire se mesure par le taux de variation
de la déviation avec À au voisinage de la déviation minimale. On éclaire la fente du
collimateur par une lumière polychromatique et on règle le système dispersif au
minimum de déviation.
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21.1. Le prisme 2( d’angle A calculé dans la question 17.2 est taillé dans un verre
dont l’indice de réfraction suit la loi de Cauchy : n =n(2)=C,+ 7 ‘
Etablir, au voisinage d’une longueur d’onde À, l'expression du pouvoir
de ce prisme en fonction de C,, A, À etn.
dispersif angulaire P, = ›
A.N. Calculer P, en radnm' pour une radiation de longueur d’onde
A = 589,3 nm.
21.2. Etablir, au voisinage d’une longueur d’onde À, l'expression du pouvoir
dispersif angulaire P, = d'un réseau (® comportant n' fentes (par mm)
en fonction de n', À et de l’ordre d'interférence .م Comment varie P, en
fonction de n' et de p ? On rappelle la relation fondamentale d'un réseau par
transmission éclairé en lumière parallèle sous l'incidence 7
sin( ',)—sin( )= pn'À où i' est l’angle de diffraction des rayons lumineux.
A.N. Calculer P, en radnm! pour une radiation de longueur d’onde
À = 589,3 nm et pour l’ordre 1. On donne : n'=600 fentes/mm.
21.3. Comparer les performances du prisme avec celle du réseau.
22. Cas d'une source polychromatique
La fente du collimateur est maintenant éclairée par une source de lumière
bichromatique. La lumière émise par cette source est constituée de deux radiations
de longueurs d'onde très voisines À, et À نهذ + لاح (AA‹‹ À). On suppose que le
prisme est réglé de façon à recevoir la lumière issue du collimateur sous une
incidence coïncidant avec le minimum de déviation pour ces deux radiations. L'indice
du prisme vérifie la relation de la question 20.
22.1. Décrire le phénomène observé à la sortie du prisme et représenter
soigneusement sur un schéma la marche de la radiation de longueur d'onde À,
et celle de longueur d'onde À, › À.
22.2. Montrer que le passage de la radiation de longueur d'onde À, à celle de
longueur d'onde À, se traduit par une variation de la déviation D, donnée
par : dD, =-—4C, cr[P.+4] 5 . Quelle est la couleur la plus déviée par le
بص وو
2
prisme dans le spectre visible 2
Exprimer la distance d=F',F', séparant les deux images F', et F,
correspondant aux deux radiations dans le plan focal de l'objectif de la lunette.
Calculer la valeur numérique de d pour le doublet du mercure. On donne : A =60°,
Jane =577,0 nm et A, =579,0 nm . Commenter.
22.3. Le prisme est maintenant éclairé par un rayon de lumière polychromatique.
Représenter sur un schéma les marches respectives des rayons rouge, jaune et
bleu dans l’hypothèse d’un angle d’incidence i correspondant au minimum de
déviation pour le jaune.
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22.4. Expliquer brièvement comment modifier le dispositif étudié pour que le spectre
d'une source puisse être enregistré sur une plaque photographique ou une
barrette CCD.
23. Projection du spectre
Afin de projeter le spectre lumineux
d'une source, on utilise de préférence un
prisme à vision directe (PVD), figures 5 et rayon
6. Ce dernier est constitué de trois incident
prismes accolés ; un en flint d'un angle
A, et d'indice n, intercalé entre deux
en crown identiques d’angle au sommet
A, =90° et d’indice n,. figure 5
Les indices n, et n, dépendent de la longueur d'onde À de la radiation émise par
la source et valent respectivement n,, =1,51105 et n,, =1,63620 pour À =589,3 nm .
Prisme en flint
Prisme en crwon Prisme en crwon
23.1. Montrer que la déviation totale D, est donnée par D, =i +i+A, — x.
La fente du collimateur est maintenant éclairée par une source de lumière
polychromatique. On remplace le prisme simple par un PVD et on l'éclaire
parallèlement à l'axe (xx). On veut calculer l'angle A, pour que la déviation totale
D, soit nulle pour la raie jaune du sodium de longueur d’onde À, =589,3 nm .
23.2. Sachant que le système optique étudié présente une symétrie plane par rapport
au plan bissecteur du dièdre d'angle A, , tracer la marche du rayon lumineux
correspondant à la raie jaune du sodium pour que la déviation totale D, soit
nulle.
23.3. Etablir l'expression de l'angle A, en fonction de n, et n, correspondant à ce
réglage. Calculer la valeur numérique de À, .
23.4. Citer deux intérêts d'un PVD par rapport à un prisme simple.
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✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2013, filière PSI (accès aux écoles d'ingénieurs). Elle comporte deux problèmes indépendants : I – Ondes acoustiques (propagation du son dans un tuyau, impédance, intensité) et II – Spectrogoniomètre à prisme (lunette, collimateur, prisme, mesure d'indice et de longueur d'onde). Voici une correction proposée, question par question, avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Erreur d'énoncé à signaler : avec les lectures du goniomètre (questions 17 et 18), on trouve n ≈ 1,594, valeur inférieure à C1 = 1,652 : la loi de Cauchy n = C1 + C2/λ2 ne peut alors donner aucune longueur d'onde. La valeur cohérente est C1 = 1,552 (elle redonne λ0 ≈ 0,59–0,60 µm, c'est-à-dire la raie jaune du sodium utilisée plus loin). C'est la valeur retenue aux questions 20 à 22, comme le demande la consigne : on signale l'erreur et on poursuit.
Problème I – Ondes acoustiques
I. Onde acoustique dans un tuyau de section constante
1. Une onde acoustique est une onde mécanique : petite perturbation de pression, de masse volumique et de vitesse qui se propage dans un milieu matériel (elle n'existe pas dans le vide). Elle est audible si sa fréquence est comprise entre 20 Hz et 20 kHz environ et si son intensité est comprise entre le seuil d'audition (≈ 10−12 W·m−2 à 1 kHz) et le seuil de douleur (≈ 1 W·m−2). La hauteur d'un son pur est fixée par sa fréquence.
2. Onde transversale : la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation (onde sur une corde, onde électromagnétique). Onde longitudinale : la perturbation est parallèle à la direction de propagation (son dans un fluide, onde de compression le long d'un ressort).
3. dx' = [x + dx + ξ(x+dx,t)] − [x + ξ(x,t)] = dx (1 + ∂ξ/∂x). La section étant constante, la variation relative de volume est dV/V = (dx' − dx)/dx = ∂ξ/∂x.
4. Le fluide est parfait (pas de viscosité) et les perturbations sont faibles : l'évolution est réversible. Elle est aussi adiabatique : la diffusion thermique est beaucoup trop lente pour égaliser la température entre une compression et la dilatation voisine (distance λ/2) pendant une demi-période. Adiabatique + réversible = isentropique.
5. Au premier ordre, χS = −(1/V)(∂V/∂P)S donne dV/V = −χS p1. Avec la question 3 : ∂ξ/∂x = −χS p1, d'où p1 = −(1/χS) ∂ξ/∂x.
6. La tranche reçoit la force S0P sur sa face gauche (selon +ex) et −S0P sur sa face droite : dF = S0[P(x+ξ(x,t)) − P(x+dx+ξ(x+dx,t))] ex. Au premier ordre, P = P0 + p1 et le décalage ξ n'intervient qu'à l'ordre 2, donc dF = −(∂p1/∂x) S0 dx ex.
7. On applique le principe fondamental de la dynamique (2e loi de Newton) dans R0 galiléen à la tranche de masse dm = μ0S0dx (masse conservée, pesanteur négligée). Son accélération est ∂²ξ/∂t² : μ0S0dx ∂²ξ/∂t² = −(∂p1/∂x) S0dx, soit μ0 ∂²ξ/∂t² = −∂p1/∂x.
8. En reportant p1 de la question 5 : μ0 ∂²ξ/∂t² = (1/χS) ∂²ξ/∂x², soit ∂²ξ/∂x² − μ0χS ∂²ξ/∂t² = 0.
9. C'est l'équation de d'Alembert ∂²ξ/∂x² − (1/c²) ∂²ξ/∂t² = 0 avec c = 1/√(μ0χS). Solution générale : ξ(x,t) = f(t − x/c) + g(t + x/c) : somme d'une onde progressive se propageant vers les x croissants et d'une onde progressive vers les x décroissants, toutes deux à la célérité c, sans déformation.
10. L'équation est linéaire à coefficients constants. v1 = ∂ξ/∂t (au premier ordre) : en dérivant l'équation de d'Alembert par rapport à t, on obtient la même équation pour v1. p1 = −(1/χS)∂ξ/∂x : en la dérivant par rapport à x, même équation pour p1.
11.1. Gaz parfait isentropique : PVγ = cte ⇒ dV/V = −dP/(γP) ⇒ χS = 1/(γP0). Avec μ0 = P0M/(RT0) : c² = 1/(μ0χS) = γP0/μ0, soit c = √(γRT0/M).
11.2. P0 = μ0RT0/M = 1,2 × 8,31 × 298 / 0,029 ≈ 1,02·105 Pa. χS = 1/(γP0) ≈ 7,0·10−6 Pa−1. c = √(1,4 × 8,31 × 298 / 0,029) ≈ 346 m·s−1.
11.3. Montage : un émetteur d'ultrasons (≈ 40 kHz) alimenté par un GBF, deux récepteurs reliés aux deux voies d'un oscilloscope, l'un fixe, l'autre mobile sur un banc gradué. On déplace le récepteur mobile en comptant le nombre n de retours en phase des deux signaux sur une distance D : λ = D/n, et c = λf (f lue sur le GBF ou l'oscilloscope). Variante : mesure du temps de vol d'une salve entre deux récepteurs distants de D, c = D/Δt.
11.4. Le modèle donne c ∝ √T0. À 0 °C : c = √(1,4 × 8,31 × 273 / 0,029) ≈ 331 m·s−1 ; à 25 °C : 346 m·s−1. On peut aussi vérifier 331 × √(298/273) ≈ 346. L'accord avec le tableau est excellent : le modèle isentropique et la variation en √T sont validés.
11.5. Évolution isotherme : PV = cte ⇒ χT = 1/P0, ce qui revient à remplacer γ par 1 dans χS = 1/(γP0). Alors cNewton = √(RT0/M) = √(8,31 × 298 / 0,029) ≈ 292 m·s−1, soit environ 16 % de moins que la valeur mesurée (346 m·s−1) : l'hypothèse de Newton est fausse, la propagation est bien isentropique (correction de Laplace, facteur √γ).
11.6. c = √(γP0/μ0) = √(γRT0/M). À température (et pression) fixées, une masse volumique plus faible correspond à une masse molaire moyenne plus faible (la vapeur d'eau, M = 18 g/mol, remplace de l'air à 29 g/mol) : la vitesse du son augmente (légèrement) dans l'air humide.
II. Onde sinusoïdale
12. p1 = p0ej(ωt−kx) décrit une onde plane progressive harmonique (sinusoïdale), longitudinale, se propageant vers les x croissants. En reportant dans l'équation de d'Alembert : −k² + ω²/c² = 0, d'où k = ω/c (milieu non dispersif).
13.1. Analogie électrique : la surpression joue le rôle de la tension u (la cause motrice), la vitesse (ou le débit S0v) celui de l'intensité i ; Zc = p1/v1 est l'analogue de l'impédance Z = u/i.
13.2. La relation de la question 7 s'écrit μ0 ∂v1/∂t = −∂p1/∂x, soit jωμ0v1 = jk p1. Donc Zc = μ0ω/k = μ0c. Elle est réelle et positive : surpression et vitesse sont en phase (comportement « résistif ») ; elle ne dépend que du milieu. Unité : kg·m−2·s−1 (= Pa·s·m−1, appelée rayl).
13.3. |Zc| = 1,2 × 346 ≈ 415 kg·m−2·s−1.
13.4. Puissance surfacique instantanée : p1v1 (en grandeurs réelles), avec p1 = p0cos(ωt − kx) et v1 = (p0/μ0c)cos(ωt − kx). La moyenne de cos² vaut 1/2, donc I = ⟨p1v1⟩ = p0²/(2μ0c).
13.5. p0 = √(2μ0c I0) = √(2 × 415 × 10−12) ≈ 2,9·10−5 Pa, soit 3·10−10 P0 : l'oreille est extrêmement sensible, et l'hypothèse des petits mouvements est largement justifiée.
13.6. L'oreille perçoit des intensités qui s'étendent sur environ 12 décades et sa sensation varie à peu près comme le logarithme de l'intensité : l'échelle logarithmique (décibel) comprime cette plage et suit la perception. À 120 dB : I = I0·1012 = 1 W·m−2, donc p0 = √(2 × 415 × 1) ≈ 29 Pa (encore ≈ 3·10−4 P0 : le modèle linéaire reste valable).
Problème II – Spectrogoniomètre à prisme
I. Goniomètre
1. Un goniomètre sert à mesurer des angles avec précision (ici à la minute d'arc près grâce au vernier : 0,5° / 30 = 1') : angle d'un prisme, déviation d'un rayon, d'où indices et longueurs d'onde.
2. Une lentille achromatique a une distance focale indépendante de la longueur d'onde (pas d'aberration chromatique). Dans un spectromètre, on veut que toutes les raies soient nettes dans le même plan et que la dispersion observée soit due au seul système dispersif (prisme), pas aux lentilles de la lunette ou du collimateur.
3.1. L'objectif est la lentille tournée vers l'objet observé ; l'oculaire est la lentille placée contre l'œil.
3.2. Lunette afocale : un objet à l'infini donne une image à l'infini, que l'œil emmétrope observe sans accommoder (donc sans fatigue), et la lunette mesure des directions. Étapes : (1) on règle l'oculaire sur le réticule (on voit le réticule net sans accommoder : réticule dans le plan focal objet de l'oculaire) ; (2) on vise un objet très éloigné (ou on travaille par autocollimation sur un miroir plan) et on déplace l'ensemble réticule-oculaire jusqu'à voir l'image nette, sans parallaxe avec le réticule : F'1 = F2. f'2 = 1/V2 = 1/25 m = 40 mm, donc O1O2 = f'1 + f'2 = 130 + 40 = 170 mm.
3.3. Schéma : objectif L1, foyer commun F'1 = F2 (où se trouve le réticule), oculaire L2. Le faisceau parallèle incliné de θ converge dans le plan focal en un point B' tel que F'1B' = f'1θ (rayon passant par O1 non dévié) ; ce point est dans le plan focal objet de l'oculaire, donc le faisceau ressort parallèle, incliné de θ' avec F2B' = −f'2θ' (rayon passant par O2). D'où G = θ'/θ = −f'1/f'2 = −130/40 = −3,25 (image renversée, grossissement 3,25 en valeur absolue).
4.1. Le collimateur fournit un faisceau parallèle à partir de la fente source (la fente, placée au foyer de l'objectif, est rejetée à l'infini) : tous les rayons arrivent sur le prisme sous la même incidence.
4.2. On place la lunette réglée à l'infini face au collimateur, dans son axe. On éclaire la fente et on fait varier la distance fente-objectif (tambour) jusqu'à voir l'image de la fente nette dans le plan du réticule, sans parallaxe : la fente est alors au foyer objet de l'objectif du collimateur.
II. Prisme
5. Le plan de section principale est un plan perpendiculaire à l'arête du prisme.
6. En lumière parallèle, tous les rayons ont la même incidence, donc la même déviation : l'image de la fente est nette (une raie fine par longueur d'onde) et la déviation mesurée est bien définie.
7. Schéma : dioptre plan séparant deux milieux d'indices n1 et n2, normale au point d'incidence. Lois de Snell-Descartes : (a) les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence (défini par le rayon incident et la normale) ; (b) réflexion : angle de réflexion = angle d'incidence (symétrique par rapport à la normale) ; (c) réfraction : n1 sin i1 = n2 sin i2.
8. La normale à (Πe) est perpendiculaire à l'arête, donc contenue dans le plan de section principale ; le rayon incident l'est aussi. Le plan d'incidence est donc le plan de section principale et, d'après la 1re loi de Descartes, le rayon réfracté y reste. La normale à (Πs) est elle aussi dans ce plan : le rayon émergent y reste également.
9. Avec les conventions de la figure 1 : sin i = n sin r ; sin i' = n sin r' ; A = r + r' ; D = i + i' − A.
10. À l'entrée, on passe de l'air (1) au verre (n > 1) : sin r = sin i/n ≤ 1/n, la réfraction est toujours possible et |r| ≤ Λ avec Λ = arcsin(1/n) (angle limite). À la sortie (verre → air) il y a réflexion totale si r' > Λ. Or r' = A − r ≥ A − Λ. Si A > 2Λ, alors r' > Λ pour toute incidence : le rayon est totalement réfléchi sur (Πs) et ne peut pas émerger.
11. D décroît depuis D0 (pour i = i0, émergence rasante i' = 90°), passe par un minimum Dm pour i = im, puis croît jusqu'à D0 pour i = 90° (incidence rasante). Les deux valeurs extrêmes sont égales (D0 = i0 + 90° − A) en raison du principe du retour inverse de la lumière, qui échange i et i'. Au voisinage du minimum, la courbe est plate : D varie très peu avec i.
12. Émergence ⇔ r' ≤ Λ ⇔ r ≥ A − Λ ⇔ sin i ≥ n sin(A − Λ). D'où i0 = arcsin[n sin(A − Λ)], avec Λ = arcsin(1/n) (si A < Λ, i0 est négatif).
13. Au minimum, dD = di + di' = 0, avec dr = −dr' (A fixe). Par le retour inverse, si (i, i') donne Dm, alors (i', i) donne aussi Dm ; le minimum étant unique, i = i' = im et donc r = r' = rm = A/2. Alors Dm = 2im − A, soit im = (Dm + A)/2, et sin im = n sin rm donne sin((Dm + A)/2) = n sin(A/2), avec im = arcsin(n sin(A/2)). Schéma : marche symétrique par rapport au plan bissecteur du prisme, rayon intérieur parallèle à la base. Intérêt : D étant stationnaire, la mesure est peu sensible à l'orientation du prisme ; le minimum est facile à repérer et Dm donne directement n.
14. À i et n fixés, i' = arcsin[n sin(A − r)] croît avec A, et dD/dA = di'/dA − 1 = n cos r'/cos i' − 1. Or n² cos² r' = n² − sin² i' > 1 − sin² i' = cos² i', donc dD/dA > 0 : D croît avec A. Pour A → 0, D → 0 ; donc D > 0 pour A > 0 : avec l'orientation choisie (figure 1), le rayon est toujours dévié vers la base du prisme.
15. L'indice dépend de la longueur d'onde, n = n(λ) : c'est la dispersion. Un tel milieu est dit dispersif.
16.1. Réponse probable : l'énoncé ne donne pas l'angle du prisme ; on prend A = 60° (prisme usuel, et valeur trouvée en 17.2), avec i = 60°. Calcul : r = arcsin(sin i/n), r' = A − r, i' = arcsin(n sin r'), D = i + i' − A.
| Verre | Rouge (656,3 nm) | Bleu (486,1 nm) | Angle bleu-rouge |
|---|---|---|---|
| Crown | r = 34,89°, i' = 39,98°, DR = 39,98° | r = 34,68°, i' = 40,61°, DB = 40,61° | ≈ 0,63° ≈ 38' |
| Flint | r = 30,75°, i' = 55,88°, DR = 55,88° | r = 30,29°, i' = 58,32°, DB = 58,32° | ≈ 2,44° ≈ 2°26' |
Figure : un rayon incident commun, deux rayons émergents ; le bleu est le plus dévié (vers la base).
16.2. Le flint est le plus dispersif (Δn = 0,023 contre 0,008, et écart angulaire environ 4 fois plus grand). On choisit donc le flint pour un spectromètre à prisme : les raies sont mieux séparées.
17.1. Les deux faces se comportent comme deux miroirs plans faisant entre eux l'angle A. Pour un faisceau incident commun, faire tourner un miroir d'un angle β fait tourner le rayon réfléchi de 2β ; passer de la face (Πe) à la face (Πs) revient à tourner le miroir de π − A, donc les deux rayons réfléchis font entre eux l'angle 2A (à 360° près). Exemple symétrique : faisceau vertical, faces inclinées de 30° sur la verticale ; les rayons réfléchis partent à 30° sous l'horizontale, de part et d'autre, et font entre eux 120° = 2A. D'où α2 − α1 = 2A.
17.2. α2 − α1 = 212°50' − 92°45' = 120°05', donc A = 60°02,5' ≈ 60°03' (≈ 60,04°).
17.3. Erreur de lecture du vernier (± 1'), erreur de pointé (largeur de la fente, réticule mal superposé à l'image), mauvais réglages : collimateur ou lunette pas exactement à l'infini, arête du prisme non parallèle à l'axe de rotation, faces non verticales, faisceau n'éclairant pas symétriquement l'arête.
17.4. Non : faire tourner le prisme d'un angle ε fait tourner les deux rayons réfléchis de 2ε, et leur écart reste 2A. Il faut seulement que les deux faces soient éclairées.
18.1. On observe dans la lunette l'image de la fente à travers le prisme, et l'on fait tourner le plateau du prisme dans un sens en suivant l'image avec la lunette. L'image se déplace, s'arrête puis repart en sens inverse : la position de rebroussement correspond au minimum de déviation ; on y pointe le réticule.
18.2. Dans la première position, le faisceau émergent est dévié de Dm d'un côté de la direction incidente (fixe) ; dans la seconde, symétrique, il l'est de Dm de l'autre côté. L'angle entre les deux directions pointées est donc α' = 2Dm. α' = 230°45' − 139°15' = 91°30', d'où Dm = 45°45' (= 45,75°).
18.3. On pointe d'abord la lunette sur le faisceau direct du collimateur (prisme retiré) : lecture α0. On remet le prisme, on cherche le minimum de déviation et on lit α : Dm = |α − α0|.
19. n = sin((A + Dm)/2) / sin(A/2) = sin(52,90°) / sin(30,02°) ≈ 0,7975 / 0,5003 ≈ 1,594. Réponse probable : c'est un crown (dense) : la valeur est plus proche de 1,5 que de 1,7 et très inférieure aux indices du flint du tableau (1,69–1,72).
20.1. Chaque radiation est déviée différemment (n plus grand pour les courtes longueurs d'onde, donc violet plus dévié que rouge) : la lumière blanche est décomposée en spectre. Vérification de la loi de Cauchy : avec une lampe spectrale de raies connues (mercure, cadmium…), on mesure Dm pour chaque raie, on en déduit n, puis on trace n en fonction de 1/λ² : on doit obtenir une droite, de pente C2 et d'ordonnée à l'origine C1.
20.2. λ0 = √(C2/(n − C1)). Avec C1 = 1,652 de l'énoncé, n − C1 < 0 : impossible (voir l'encadré). Avec la valeur cohérente C1 = 1,552 (réponse probable) : λ0 = √(1,50·10−2 / 0,042) ≈ 0,60 µm (0,597 µm avec A = 60°02,5', 0,593 µm avec A = 60°) : jaune-orangé, très proche de la raie jaune du sodium (589 nm).
21.1. Au minimum : sin((Dm + A)/2) = n sin(A/2) ⇒ (1/2)cos((Dm + A)/2) dDm = sin(A/2) dn. Avec dn/dλ = −2C2/λ³ et cos((Dm + A)/2) = √(1 − n² sin²(A/2)) : PP = 4C2 sin(A/2) / [λ³ √(1 − n² sin²(A/2))]. A.N. : C2 = 1,50·104 nm², λ = 589,3 nm, n(589,3) ≈ 1,595 (avec C1 = 1,552), A ≈ 60° : PP ≈ 2,4·10−4 rad·nm−1 (2,8·10−4 si l'on garde C1 = 1,652 pour ce seul calcul).
21.2. Au minimum de déviation d'un réseau, i'p = −i, donc Dm = 2i'p et 2 sin(Dm/2) = pn'λ. En différentiant : PR = pn' / cos(Dm/2) = pn' / √(1 − (pn'λ/2)²) (≈ pn' aux petits angles). PR croît avec n' et avec l'ordre p. A.N. : n' = 600 mm−1 = 6,0·10−4 nm−1, p = 1 : pn'λ/2 = 0,177, d'où PR ≈ 6,1·10−4 rad·nm−1.
21.3. Le réseau est environ 2,5 fois plus dispersif que ce prisme à l'ordre 1 (et davantage aux ordres supérieurs) ; sa dispersion est presque indépendante de λ (spectre quasi linéaire), alors que celle du prisme varie en 1/λ³ (spectre dilaté dans le bleu). En revanche le prisme donne un spectre unique, plus lumineux, sans recouvrement d'ordres.
22.1. On observe deux images de la fente (deux raies) très proches. Schéma : rayon incident commun ; à la sortie, la radiation λ1 (plus courte, indice plus grand) est plus déviée que λ2 > λ1.
22.2. En différentiant comme en 21.1 : dDm = [2 sin(A/2)/cos((Dm + A)/2)] dn avec dn = −2C2dλ/λ³, d'où dDm = −4C2 sin(A/2) dλ / [λ³ cos((Dm + A)/2)]. dDm < 0 quand λ augmente : la couleur la plus déviée est le violet. Les deux faisceaux émergents, parallèles et séparés de |dDm|, convergent dans le plan focal de l'objectif de la lunette : d = f'1 |dDm|. A.N. (C1 = 1,552, réponse probable) : n(578 nm) ≈ 1,597, Dm ≈ 46,0°, cos((Dm + A)/2) ≈ 0,602 ; |dDm| = 4 × 1,5·104 × 0,5 × 2 / (0,602 × 578³) ≈ 5,2·10−4 rad, d'où d ≈ 0,067 mm ≈ 67 µm (≈ 76 µm avec C1 = 1,652). Commentaire : l'écart est faible mais observable (après l'oculaire, 5,2·10−4 × 3,25 ≈ 6' d'angle, supérieur au pouvoir séparateur de l'œil ≈ 1'), à condition d'utiliser une fente fine.
22.3. Schéma : rayon polychromatique incident commun ; le jaune traverse le prisme symétriquement (au minimum de déviation) ; le rouge émerge moins dévié, le bleu plus dévié (vers la base), avec un éventail qui s'ouvre à la sortie.
22.4. On retire l'oculaire et l'on place la plaque photographique ou la barrette CCD dans le plan focal image de l'objectif de la lunette (ou d'une lentille de projection) : chaque radiation y forme une image de la fente à une position différente, et l'ensemble du spectre est enregistré en une fois.
23.1. Les faces d'entrée et de sortie du PVD sont inclinées de Af/2 sur la base (géométrie des figures : angle des crowns Ac = 90°, angles à la base des crowns (π − Af)/2 et Af/2). Ces deux faces forment donc un dièdre d'angle π − Af. Les dioptres internes étant tous plans, la relation du prisme simple s'applique entre ces deux faces extérieures : DT = i + i' − (π − Af), soit DT = i + i' + Af − π.
23.2. Le rayon jaune entre parallèlement à x'x, se réfracte dans le premier crown, traverse le flint parallèlement à la base (perpendiculairement au plan de symétrie), puis ressort du second crown symétriquement, parallèlement à x'x : DT = 0.
23.3. Incidence horizontale : i = π/2 − Af/2, donc sin i = cos(Af/2) = nc sin r1. Dans le flint, le rayon horizontal fait l'angle Af/2 avec la normale à l'interface crown/flint, et dans le crown r1 + r2 = Ac = 90° ; d'où nc sin r2 = nc cos r1 = nf sin(Af/2). En additionnant les carrés : nc² = cos²(Af/2) + nf² sin²(Af/2), soit sin²(Af/2) = (nc² − 1)/(nf² − 1). A.N. : (1,51105² − 1)/(1,63620² − 1) = 1,2833/1,6772 = 0,7651 ⇒ sin(Af/2) = 0,8747 ⇒ Af ≈ 122,0° (contrôle : r1 ≈ 18,7°, r2 ≈ 71,3°).
23.4. (1) Vision directe : la raie moyenne n'est pas déviée, le spectre est projeté dans l'axe de la source, ce qui simplifie l'alignement et permet un instrument compact et rectiligne (spectroscope de poche). (2) On sépare les couleurs grâce à la différence de dispersion flint/crown tout en annulant la déviation moyenne : dispersion utile sans déviation globale.
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