نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2012: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

École Nationale Supérieure de l'Informatique et d'Analyse des Systèmes
ENSIAS

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Écoles d'Ingénieurs
Session 2012

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

L'épreuve est constituée de deux problèmes totalement indépendants.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Premier problème
Champ magnétique et induction

Données utiles :

e Expressions du rotationnel en coordonnées cylindriques (r, 0, 7) d’un vecteur 7:

‎ou, © 1 /OrUg OU,‏ و7 .30 1 _ يديب

‎f2 x?dx 57
1°'° partie
Magnétostatique dans le vide

‎Cette partie est consacrée à l'étude des propriétés générales du champ magnétiques 5.

‎1.1. Équations de Maxwell

‎1.1.1. Rappeler les équations de MAXWELL de l’électromagnétisme dans le vide en présence
d’une répartition volumique de charges électriques de densité ‏م‎ et de courants de densité 7.

‎1.1.2. Que deviennent ces équations en régime stationnaire indépendant du temps ?

‎1.2. Loi de Biot et Savart et symétries

‎1.2.1. Donner l'expression du champ magnétique B créé dans le vide par une répartition vo-
lumique de courants stationnaires de densité 7 . Que devient cette expression pour une répartition
linéique de courant ?

‎1.2.2. Si la répartition de courants admet un plan de symétrie (P), quelle sera la direction du
champ magnétique D en un point de ce plan ?

‎Épreuve de Physique IT 1.17 Tournez la page S.V.P.

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1.2.3. Même question si (P) est un plan d’antisymétrie de la répartition de courants.

Les questions suivantes concernent la forme intégrale des équations de MAXWELL et les relations
de passage à la traversée d’une surface (X) déduites de ces formes intégrales.

1.3. Flux du champ magnétique

1.3.1. Quelle est la propriété fondamentale du flux du champ magnétique B ? Donner
l'expression intégrale qui exprime cette propriété.

1.3.2. En déduire une relation de passage de B de part et d'autre d’une surface (D).

1.3.3. Existe-t-il des monopôles magnétiques (charges magnétiques libres isolées qui seraient
l'équivalent des charges électriques) ? Conclure sur la forme des lignes de champ magnétique.

1.4. Circulation du champ magnétique

1.4.1. A partir des équations de MAXWELL, établir le théorème d’AMPÈRE. Est-il toujours
valable dans le cas des régimes dépendants du temps ?

1.4.2. Établir la seconde relation de passage de B de part et d'autre d’une surface (E) parcourue
par un courant surfacique ‏و7‎ :

1.5. Champ et potentiel créés par un dipôle magnétique

Le potentiel vecteur créé par un dipôle magnétique de moment M = MŸ,, en un point M
(figure 1, est donné par l'expression :

هب جه
‎MXOM 0‏ م -
8 4
‎Quelle est la relation entre un potentiel-vecteur et le champ magnétique qui lui est‏ .1.5.1
‎associé ?‏

1.5.2. En déduire l'expression du champ magnétique 72 créé par le dipôle magnétique en un
point M repéré par (r, 0, z) dans le système de coordonnées cylindrique d’axe Oz .

2°M° partie

Étude de la chute d’un aimant dans un cylindre métallique

On considère un aimant permanent, de moment magnétique M = MÜ ‏ع‎ qui tombe à l’intérieur
d’un cylindre métallique creux, d'épaisseur e faible devant le rayon moyen a. Le cylindre métallique
est vertical, son extrémité supérieure est placée en ‏ع‎ = 0 et sa longueur est L › a (figure 2). L'’aimant
est de forme cylindrique de rayon légèrement inférieur à celui du cylindre métallique et de longueur

On suppose que, durant le mouvement de chute, le moment magnétique de l’aimant reste
toujours vertical et dirigé vers le bas. La conductivité électrique du métal est o. L'abscisse de l’aimant
au cours de la chute est notée z4(t), l'axe Oz étant orienté suivant la verticale descendante. Les
frottements de l'air sont négligés. On suppose de plus que le champ magnétique créé par l’aimant
n’est pas perturbé par la présence du cylindre.

Pour les applications numériques, on prendra : a = 1em; e = Imm; M = 0,6Am°;
po = 4x.10-7 Ham”! et g = 9,81 m.s7?.

Épreuve de Physique II 2/7 —

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‎aa JE‏
1 4
‎FAN 1‏ # 7
ا 7
‎ok ١‏
1 ب
‎F0 1‏

ا ال 0
2

Figure 1: Dipole magnétique. Figure 2: Chute d’un aimant dans un conducteur

métallique.

2.1. Courant induit dans le conducteur

2.1.1. En utilisant la relation (1), donner l'expression du potentiel vecteur À(M) créé par
l’aimant en un point M de côte z du conducteur. Justifier que ce potentiel dépend du temps.

2.1.2. Déterminer l'expression du champ électrique 72 (M) induit par les variations du poten-
tiel vecteur À (M). On notera v la vitesse de chute de l’aimant.

Puisque e ›› a, on supposera dans la suite que ce champ est uniforme sur l'épaisseur du métal.

2.13. En déduire l'expression de la densité volumique du courant induit j ainsi créée dans le
conducteur. On suppose que la loi d'OHM locale est vérifiée dans le conducteur.

2.2. Force exercée par le conducteur sur l’aimant

Soit Ÿ la force exercée par le conducteur sur l'aimant et F, sa projection sur l'axe Oz.

2.2.1. Exprimer la force élémentaire ‏ل‎ F exercée par un élément de volume d?V = ead0dz du
conducteur sur l’aimant. En déduire la projection sur Oz de la résultante dF, créée par une couronne
d'épaisseur dz du conducteur.

2.2.2. Déterminer la force de freinage exercée par le conducteur sur l’aimant. Montrer qu'elle
est du type PF =". Justifier l’utilisation de l'intégrale 1 donnée au début de l'énoncé et donner
l'expression approchée de a.

2.23. Calculer la valeur numérique de œ pour un le cuivre : à = 5,8. 107 Sam”.

Épreuve de Physique II 3/7 Tournez la page S.V.P.

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2.3. Étude du mouvement de chute de l’aimant dans le conducteur métallique

L’aimant de masse m = ‏و2‎ est lancé dans le conducteur métallique, de longueur L = 1,5m, à
l'instant # = 0 en z = 0 sans vitesse initiale.

2.3.1. Écrire l'équation différentielle du mouvement de l’aimant. Exprimer la vitesse de
l’aimant v(t) et sa position za (t).

2.3.2. Montrer que l’aimant atteint une vitesse limite ‏رن‎ avec un temps caractéristique du
régime transitoire 7. Donner l'expression de ‏ره‎ et 7 en fonction de œ, m et g.

2.3.3. Calculer numériquement ‏رن‎ 7 et z4(7) en utilisant la valeur de œ trouvée à la question
2.2.3., ou à défaut en prenant ‏به‎ = 0, 15 kg.s”!. Commenter.

2.3.4. En déduire le temps de chute total 1 de l'aimant dans le conducteur et le comparer à
celui 7” de sa chute dans un tube de verre de mêmes caractéristiques géométriques. Commenter.

2.3.5. Proposer une application de ce dispositif.

Deuxième problème
Thermodynamique : Étude d’un moteur thermique

Dans tout le problème, les gaz, quels qu'ils soient, sont assimilés à des gaz parfaits de rapport
y = 1,4. On prendra pour la valeur de la constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.K-*.mol”*.

1°° partie
Généralités sur les moteurs thermiques

En 1824, CARNOT postulait le principe suivant : pour qu'un système décrive un cycle moteur, il doit
nécessairement échanger de l'énergie avec au moins deux sources à des températures différentes.

1.1. Justifier le fait qu’un cycle monotherme ne puisse être moteur.

1.2. On considère un système décrivant un cycle moteur ditherme. La machine reçoit de la source
chaude ‏ررى‎ à la température 11, le transfert thermique Q; et de la source froide ‏ردي‎ de température
T», le transfert thermique ‏.2ه‎

1.2.1. Dans quels sens s'effectuent les transferts thermiques ? Quels sont les signes de @; et
‏و‎ ? Justifier.

1.2.2. À quelle condition le rendement d’un tel moteur est-il maximal ? Le définir et exprimer
le rendement maximal en fonction de T, et T›.

1.3. Dans le cas où le cycle décrit n’est pas réversible :
1.3.1. Exprimer l’entropie créée S® sur un cycle en fonction de ‏بر‎ 9ر1١‎ et 1.
1.3.2. Déterminer alors le rendement du moteur en fonction de T, , T», Q et S.. Commenter.

Épreuve de Physique II 4/7 —

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2°"° partie
Étude d’un moteur à combustion interne à allumage commandé

Pour simplifier, on suppose que le moteur est constitué d’un seul cylindre. Les contraintes de
fabrication et d'utilisation imposent de ne pas dépasser une pression de 50 bars dans le cylindre.

Le moteur étudié est un moteur à combustion interne à allumage commandé. Le cycle ther-
modynamique effectué par ce moteur peut être représenté de manière approchée par le cycle dit
de BEAU DE ROCHAS. Ce cycle est formé par l’ensemble des transformations subies par le fluide
constitué du mélange d'air et de carburant.

Le mélange gazeux constitué d'air et de n = 8.10 ‏امم‎ de carburant est admis de façon isobare
à la pression P4 dans le cylindre à travers la soupape d'admission. Cette soupape est refermée par
la suite. Le mélange air-carburant se trouve alors dans les conditions : V4 = 0,5L, Pa = lbar,
T4 = 300 K.

Ensuite, ce mélange subit dans le cylindre les transformations suivantes :

e A — B : compression adiabatique tenant compte des irréversibilités internes du moteur ;

e B — C : une étincelle provoque la combustion isochore instantanée de tout le mélange air-
carburant. Il en résulte une compression à volume constant du fluide ;

e C— D : détente adiabatique ;

e D — À : refroidissement à volume constant du fluide, la pression chute à cause de l'ouverture
du cylindre vers l'extérieur.

A la fin du cycle, les gaz sont refoulés vers l'extérieur à la pression constante P4 : c'est
l’'échappement.

Ces transformations sont représentées sur la figure 1 en diagramme (V, P) et sur la figure 2 en
diagramme (S, 2(. S désigne l'entropie du mélange gazeux.

Les transformations A — B, et C — D, représentent respectivement une compression et une
détente adiabatiques réversibles. Tandis que A — B et C — D représentent respectivement la
compression et la détente adiabatiques qui tiennent compte des irréversibilités interne du moteur.

On note n, la quantité de matière du fluide effectuant le cycle et C, sa chaleur spécifique molaire
à volume constant. Dans toute l'étude de ce modèle de moteur à explosion, on suppose constante la
quantité de matière totale de gaz ٠

On note r = — le taux de compression du gaz dans le cylindre. Pour les deux processus adia-

batiques réversibles, on définit les rendements de compression n. et de détente 74 par les relations
suivantes :

Tp—Tc

Tps — TA
Ne = etm= Tp.—Ic
2 5 5

Ip —Ta
Ces deux coefficients seront utilisés pour décrire l’irréversibilité des processus. Pour les applica-

tions numériques, on prendra ne = na = 0, 95.

2.1. Étude du cycle réversible du moteur à explosion

Dans cette section, les transformations seront considérées comme mécaniquement réversibles.
De point de vue énergétique, les étapes d'admission et de refoulement se compensent. On raison-
nera donc sur le système fermé effectuant le cycle AB,C Ds.

2.1.1. Calculer n4, le nombre de moles de gaz (air-carburant) initialement admis dans le
cylindre.

Épreuve de Physique IT 5/7 Tournez la page S.V.P.

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4 4

Figure 1: Diagrammes (V,P) du cycle BEAU DE Figure 2: Diagrammes (S,T) du cycle BEAU DE
ROCHAS. ROCHAS.

2.1.2. Déterminer la relation entre les températures T'4 et Tps, et les volumes V4 et V5. En
déduire l'expression de la température Tr, du mélange dans l’état ‏.و2‎

2.1.3. Le mélange air-carburant s’enflamme spontanément à 330° C, ce que l’on souhaite éviter.
Calculer le taux de compression r = Va/Vp maximal permettant d'éviter cet autoallumage entre À
et B.

Par la suite, on prendra r = 5 et on considèrera que le mélange gazeux effectue le cycle ABCD.

2.2. Calcul des températures du cycle réél ABCD

2.2.1. Montrer que l’on a l'égalité :

Tc.Ta = Tps-Tps 2)
2.2.2. Montrer que la température ‏م1‎ est liée à T4 par la relation : T5 = T4 ( 1+ E ‏.تن‎ 1:1 ) )
2.2.3. Onnote Peu: le pouvoir calorifique du carburant utilisé et on néglige les fuites thermiques

au niveau du piston. Pour les applications numériques on prendra : Peu: = 4200 kJ.mol”*.

2.2.3.1. Donner l'expression de l'énergie thermique ‏وم لي‎ échangée par le fluide au cours de
la transformation (B — C), en fonction de na, Cu et des températures T5 et Tc aux points B et C
respectivement.

2.2.3.2. Montrer que :
nPeal
‏وير‎

Tec = TB +
n est la quantité de matière du carburant admise par cycle.
1
2.2.4. Montrer que : Tp = 7101+ =i" 1] ٠
2.2.5. Application numérique : Calculer Tr, Tc et Tp.

Épreuve de Physique II 6/7 ‏ب‎

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2.2.6. Calculer la pression Pc au point C. Respecte-t-on la contrainte de pression mentionnée
en introduction ?

2.3. Effets des frottements sur le piston du cylindre

Pour tenir compte des effets du frottement sur la puissance mécanique développée par le moteur,
nous considérons que le piston est soumis dans son mouvement à une force de frottement visqueux

= - Ÿ, où ‏عر‎ désigne le coefficient de frottement et 7 la vitesse de déplacement du piston.

2.3.1. Écrire l'expression de la puissance mécanique instantanée associée à la force de frotte-
ment /.

2.3.2. Le moteur effectue N cycles par seconde, en plus des phases d'admission et d'échappement.
Le piston se déplace sur une longueur L à l’intérieur du cylindre. Déterminer l'expression de la
vitesse moyenne v,, du piston en fonction de N et L.

2.3.3. En déduire l'expression de la puissance moyenne P; de la force de frottement en fonction
de, N et L.

2.4. Détermination de la puissance mécanique utile

2.41. Donner l'expression de l'énergie thermique ‏رمن‎ échangée par le fluide au cours de la
transformation (D — A), en fonction de ny, ‏و‎ et des températures T4 et Tp aux points À et D
respectivement.

2.4.2. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, déterminer l'expression du
travail W échangé par le fluide au cours d’un cycle.

2.43. Montrer que la puissance mécanique développée par le moteur a pour expression :
Pm = Nna Co (Te — Tp + Ta — Tp) - 167 (N ‏“ل‎ 8)
N est le nombre de cycles effectués par le moteur dans une unité de temps.

2.44. Définir le rendement thermique » du moteur et déterminer son expression en fonction
des paramètres du problème.

2.5. Effets de la vitesse de rotation du moteur N

Pour les applications numériques, on prendra : L = Gem et p = 12 kg.s—*.

2.5.1. Tracer l'allure de la puissance mécanique développée par le moteur en fonction du
nombre de tours N.

2.5.2. Pour quelle valeur N,; de N la puissance développée par le moteur est-elle maximale ?
Déterminer les valeurs numériques de N,, et de la puissance mécanique P,, correspondante.

2.5.3. Tracer l'allure des variations du rendement n du moteur avec N. Détermine la valeur
numérique de ce rendement pour N = Ny. Conclure.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 7.15 FIN

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