نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2011: الفيزياء 1 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.

— صفحة 1 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les |références des questions

abordées.

e Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement
les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
1°” Problème
Thermodynamique
1ère partie : étude d’une cogénération
Données :

e Constante des gaz parfaits : R= 8,32 J.K!.mol" ;

e Masse molaire de l’air : Mair = 29,0 g.mol-! ;

e Masse molaire du méthane : M, = 16,0 g.mol-* ;

e Masse molaire de l’eau : Me= 18,0 g.mol-! ;

e Capacité thermique massique de l’eau supposée constante : c = 4,18 kJ.kg!.K! ;
e lbar= 105 ‏8ط‎

La cogénération est une technique qui consiste à produire, avec une même machine et
à partir d’un seul combustible (en général le gaz naturel), de l’électricité et de la chaleur.
Elle permet d’obtenir un rendement global (électricité-thermique) plus élevé que celui
résultant d’une production par filière séparée. L’économie d’énergie primaire est de l’ordre
de 20 %.

Le synoptique de fonctionnement du dispositif est donné par la figure 1.

gaz d'échappement

eau chaude

énergie
électrique

moteur
thermique à gaz

alternateur :
échangeur

alimentation 88006
882 refroidissement
figure 1 du moteur

Le moteur, alimenté en gaz naturel considéré comme du méthane, est couplé à un
alternateur pour la fourniture du courant électrique. Les deux échangeurs thermiques

Epreuve de Physique | 1/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

permettent de récupérer la chaleur dégagée par le moteur et les gaz d’échappement et
produire l’eau chaude destinée au chauffage.

1.1. Généralités sur les moteurs thermiques

Un moteur ditherme est un système fermé échangeant un travail W avec l’extérieur,
une chaleur Qr avec une source froide (température Tr) et une chaleur Qc avec une source
chaude (température Tec).

1.1.1. Représenter par un schéma de principe un moteur ditherme en faisant apparaître,
les sources de chaleur, et le sens des échanges d'énergie.

1.1.2. Exprimer le rendement 7 du moteur ditherme en fonction de Qcet Qr.

1.1.3. Quelle est l'expression du rendement maximal ‏مم7‎ du moteur ditherme dont le
fonctionnement est décrit par le cycle de Carnot. On définira le cycle de Carnot.

1.1.4. Existe-t-il à priori, Un moteur de plus grande performance, à Tr et Tc données ?
1.2. Second principe de la thermodynamique

1.2.1. Enoncer le second principe de la thermodynamique. Donner sa formulation
mathématique. Expliquer pourquoi ce principe est un principe d’évolution.

1.2.2. Donner l’expression de la variation dS de l’entropie d’un gaz parfait au cours d’une
transformation élémentaire en fonction de dT et dV.

1.2.3. On rappelle l’_équation de Laplace liant la température T et le volume V pour un gaz
parfait : TW-1) = constante. Retrouver cette relation et préciser les conditions de sa validité.

1.3. Etude du moteur thermique

Le moteur thermique de la cogénération, analogue à ceux des automobiles à essence,
fonctionne selon le cycle théorique de Beau de Rochas :

- premier temps : de ‏قد‎ B, admission à pression constante Pa = Ps = 2,00 bar du
mélange {air, gaz naturel}, à la température Ts= 300 K ;
- deuxième temps : de B à C, compression adiabatique réversible ;
- troisième temps :
e de Cà D, combustion interne du mélange à volume constant ;
e de D à E, détente adiabatique réversible des gaz d’_échappement ;
- quatrième temps :
e de Eà B, refroidissement isochore grâce aux échangeurs ;
e de Bà A, échappement des gaz brûlés à pression constante.

Le moteur est constitué de 16 cylindres représentant une cylindrée totale
Va — Va = 71,0 L. Le rapport de compression volumétrique est rw = Vp/ Va = 11,7. La vitesse
de rotation de son arbre est ‏هه‎ = 1500 tours/min. Un cycle correspond à deux tours de
l’arbre moteur.

Les transformations sont supposées quasi statiques. Les gaz sont assimilés à un gaz
parfait dont le rapport des capacités thermiques massiques à pression et volume constants
vaut y = ‏ول‎ = 1,32. On admet que la combustion ne modifie pas le nombre de moles de
gaz.

Epreuve de Physique | 2/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 3 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

1.3.1. Représenter l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron P = P(V). Placer sur ce
diagramme les points A, B, C, Det Een précisant le sens de parcours du cycle.

1.3.2. Calculer la durée 7 d’un cycle.

1.3.3. Calculer la masse mMair d’air admise dans les cylindres à chaque cycle. Pour faire ce
calcul et uniquement pour cette question, on néglige la masse de gaz naturel introduite.
En déduire le débit massique d’air dai à l’admission.

1.3.4. Le débit massique de gaz naturel à l’admission est den = 7,80.10-2 kg.s-! et le débit
massique des gaz d’échappement est dge = 2,140 kg.s-!. En effectuant un bilan de masse,
retrouver le débit massique d’air dair à l'admission obtenu en question 1.3.3.

1.3.5. Calculer la température Tc du mélange gazeux (air, gaz naturel} en fin de
compression.

1.3.6. Calculer les nombres de moles de gaz naturel ma. et d’air nai admises dans les
cylindres à chaque cycle.

1.3.7. Etablir l’expression puis calculer la valeur numérique du travail Wrc reçu par le
mélange supposé idéal au cours de la compression pour un cycle.

1.3.8. La combustion interne du mélange libère une puissance thermique Pc = 3470 kW. Le

travail Wnz cédé par les gaz d’échappement au cours de la détente pour un cycle est
Wong = -155,1 kJ.

1.3.8.1. Calculer le rendement thermodynamique 7 du moteur.

1.3.8.2. Sachant que l'alternateur produit Pz = 1200 kW de puissance électrique,
calculer le rendement ‏ىه‎ de la conversion énergie chimique de combustion
-› énergie électrique.

1.4. Etude des échangeurs thermiques

1.4.1. Le premier échangeur, haute température, refroidit directement le moteur grâce à
une circulation d’eau sous pression qui rentre dans le moteur à 0. = 82 °C et en sort à
60; = 92 °C. Etablir l’expression de la puissance thermique Ps récupérée par l’eau grâce à
cet échangeur. En déduire le débit volumique D, de l’eau dans l’échangeur pour récupérer
une puissance thermique ‏م‎ = 656 kW. On donne la masse volumique de l’eau à la
température moyenne d’échange ue = 968 16.103.

fluide 2

fluide 1

figure 2

1.4.2. Le deuxième échangeur, basse température, est un échangeur à plaques où les gaz
d’échappement et l’eau circulent à contre courant. Il permet de récupérer une puissance
thermique P’a = 967 kW. Expliquer qualitativement pourquoi la circulation des fluides à
contre-courant (figure 2) augmente l’efficacité de l’échangeur par rapport à une circulation
à co-courant. Tracer l’allure des graphes donnant l’évolution de la température le long de
l’échangeur pour chaque fluide. On les notera T;: et T;».

Epreuve de Physique | 3/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 4 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

1.4.3. Calculer le rendement ne de la conversion énergie chimique de combustion -› énergie
thermique pour les deux échangeurs.

2ème partie : chauffage d’un local

On désire maintenir la température ambiante à Ta = 20 °C dans un local. On incorpore
dans le plancher du local de surface S = 16 m? un système de chauffage constitué d'un
tube dans lequel circule l'eau (sortant du deuxième échangeur étudié dans la question
1.4.2.) à température moyenne supposée constante Te= 40°C.

local (Ta

= Tran
système de chauffage

béton

sol de la fondation

figure

Le plancher est composé d’un revêtement de conductivité thermique À, = 2,5 W.m-!.K-1 et
d’épaisseur +“ = 1,0 cm, d’une couche de mortier de conductivité thermique
Âm = 1,12 W.m-!.K-! et d’épaisseur en = 5,0 cm, d’une couche d’isolant de conductivité
thermique À; = 0,020 W.m-!.K-! et d’épaisseur e; = 2,0 cm, d’une couche de béton de
conductivité thermique à» = 1,4 W.m-!.K-! et d’épaisseur ‏حت‎ 10 cm. Le sol de la fondation a
une température T;= 7 °C supposée parfaitement uniforme.

Le coefficient d’échange conducto-convectif entre la surface du revêtement du
plancher et l’air du local est h = 10 W.m2.K-!.

On néglige les phénomènes de rayonnement thermique.

En un point M à l'instant t, la loi de Fourier lie le vecteur densité de flux thermique
‏ور‎ AU gradient de la température T(M,t) : ‏مر‎ grau (1 wa ,f)), À étant la conductivité
thermique du milieu supposée constante.

2.1. Quelle est la signification du vecteur ? Préciser son unité. Justifier physiquement

le signe “moins” dans cette loi.

Epreuve de Physique | 4/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 5 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

2.2. En développant clairement l'analogie thermo-électrique, définir et exprimer la
résistance thermique Ræ d’'UÜn milieu matériel ayant la forme d’une plaque
parallélépipédique de surface S et d’épaisseur e. Donner son unité.

2.3. Une surface So d’un milieu matériel à la température T, en contact avec un fluide à
la température ‏م1‎ échange par conducto-convection avec le fluide une puissance thermique
Pa (sortant algébriquement de la surface So) telle que : Pr = hSo({T - 10. h est le coefficient
d’échange conducto-convectif entre la surface du milieu et le fluide. Exprimer comme dans
la question 2.2. la résistance thermique de convection R’æ traduisant cet échange
conducto-convectif.

2.4. Etablir l'expression puis calculer la valeur numérique du flux thermique surfacique
@Pn émis vers le haut par le système de chauffage en fonction de Ta, Te et des constantes.

2.5. Etablir l'expression puis calculer la valeur numérique du flux thermique surfacique
‏وم‎ émis vers le bas par le système de chauffage en fonction de ‏م1‎ Te et des constantes.

2.6. En déduire la puissance thermique perdue P,, la puissance thermique reçue P, par le
local et la puissance thermique fournie P; par le système de chauffage.

2.7. Calculer numériquement les températures Ts, Trm et Tr.

2.8. On désire limiter les pertes vers le sol de la fondation à 10 % de la puissance utile.
On supposera ces pertes égales à P’, = 0,22 kW. On conserve le même isolant et la même
épaisseur de béton. Calculer la nouvelle épaisseur e’3 de l'isolant.

2.9. Calculer la nouvelle puissance fournie P” par le système de chauffage.
2°"° problème
Electomagnétisme

Le présent problème propose l’étude de la diffusion du rayonnement solaire par les
électrons des particules atmosphériques. On commence tout d’abord par étudier le dipôle
électrique oscillant. Aucune connaissance sur le rayonnement dipolaire n’est nécessaire
pour traiter la première partie de ce problème.

Il est à signaler que les parties composant ce problème sont largement indépendantes entre
elles.

Données :

e Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3.108 m.s"! ‏ب‎
‎4 42.107 H.m";

hat —1;

e Charge élémentaire : e = 1,6.10-!9 C ;

e Masse de l’électron : m = 9,1.10-3! kg ;

e Nombre d’Avogadro : Na = 6,02.1023 mol-! ;

e Domaine du visible : 25 = 0,4 um pour le bleu et ‏م‎ = 0,8 um pour le rouge ;
e Constante des gaz parfaits : R= 8,32 ‏.ل‎ K-!.mol"! ;
e lbar=105Pa;

& à 3 4

Epreuve de Physique | 5/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 6 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

e Les vecteurs es, ‏بت‎ €: désignent les vecteurs unitaires selon les axes Ox, Oy, Oz du

repère R(O, x, y, 2. Les vecteurs er, ‏رف‎ ep désignent les vecteurs unitaires de la

base associée aux coordonnées sphériques (r, 0, p) d’un point M de l’espace.

1. Dipôle électrique oscillant

On modélise un dipôle électrique oscillant par une charge —q fixe à l’origine 0 du
référentiel R(O, x, y, Z) et par une charge +q au point P de l’axe Oz. La charge +q est animée
le long de cet axe d’un mouvement sinusoïdal de pulsation ‏نه‎ et d’équation :

On définit, en régime variable, le moment dipolaire du dipôle électrique oscillant

par pu)— puye:, AVEC Pp(f)= ‏وم‎ cos(at) et pp, = ga.

Le calcul du champ électromagnétique ( ‏رو با‎ "١ ‏(رء,‎ créé par le dipôle Pi ;enun
point M de coordonnées sphériques (r, 0,@) donne, en notation complexe et dans les
conditions où r ›› a, à ›› a et + ›› À ; À étant la longueur d’onde associée à l’onde
électromagnétique émise par le dipôle :

HoP,®
477 47

k est le module d’onde associé à l’onde électromagnétique émise. On pose k= = =— avec

c la vitesse de l’onde dans le vide.
1.1. Commenter qualitativement les deux approximations : r ›› a et À ›› a.
1.2. Justifier le terme kr dans la phase instantanée du champ électromagnétique.

1.3. Identifier parmi les deux expressions ci-dessus, celle du champ électrique rire ‏م‎

et celle du champ magnétique pres ‏.رن‎ Justifier votre réponse.

1.4. Donner l’expression de l’amplitude E,(r,0) du champ électrique en un point M en

fonction de r et 6.

1.5. Que vaut le rapport 7 ? Montrer que le champ électromagnétique défini dans la
question 1.3. a localement la structure d’une onde électromagnétique plane progressive.
Préciser sa direction de propagation et son état de polarisation.

1.6. Calculer le vecteur de Poynting 1 correspondant à l’onde émise dans la zone de

rayonnement ainsi que sa valeur moyenne ‹11 — dans le temps. Montrer que cette

27

fonction de ‏به‎ w et po et donner son unité. Décrire la variation spatiale de ›11, ›, module

moyenne s’écrit sous la forme ‹u11 — ‏اماج‎ | ) e-. Exprimer la grandeur /, en

de › ‏عرد‎

1.7. Calculer la puissance électromagnétique moyenne ‹P,› rayonnée dans tout

Epreuve de Physique | 6/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 7 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

l'espace à travers la sphère de centre O et de rayon r. On l’exprimera en fonction de /

a, Het c, puis en fonction de E,(r)= E, (68,0 = = , 75 Hetc.

1.8. On définit la résistance de rayonnement du dipôle par la résistance Re du
conducteur ohmique qui, parcouru par un même courant de valeur maximale /

dissiperait 18 même puissance par effet Joule. Donner l’expression de R. en fonction de À,
a, Het c.

1.9. Sachant que l'amplitude du champ électrique détecté par un récepteur situé à la
distance r, dans le plan xOy, est E,(r), calculer la puissance ‹ P › nécessaire d'émission

pour r= 10 km puis pour r= 1000 km. On donne : E,(r) = 103710

2. Diffusion d’un rayonnement par un électron atomique

La diffusion d’un rayonnement électromagnétique incident par un électron atomique
constitue un exemple important de rayonnement dipolaire. Elle permet d’expliquer la
couleur bleue du ciel diurne et la couleur rouge du Soleil couchant, ainsi que d’autres
phénomènes physiques. Pour expliquer cette diffusion, on propose le mécanisme suivant :
le champ électrique du rayonnement émis par le Soleil interagit avec les molécules de
l’atmosphère qui se comportent comme des dipôles électriques induits. Ces dipôles
oscillants rayonnent à leur tour des ondes électromagnétiques dans toutes les directions,
on dit que la lumière incidente est diffusée. Pour étudier quantitativement la diffusion de
cette lumière par le milieu, on utilise le modèle classique de Lorentz (ou modèle de
l’électron élastiquement lié). Dans ce modèle, on suppose le noyau de l’atome immobile en

O et on repère l’électron de masse m et de charge q = -e par le vecteur position + — um .

Un électron atomique d'une molécule constituant l'atmosphère est mis en
mouvement sous l'action d'une onde électromagnétique incidente plane progressive
monochromatique dont le champ électrique est pris en notation complexe

‏نزم وت — رعو شتات‎  - ) ‏اله‎ -kx)] , k = ‏د‎ est le module d’onde et à la longueur d’onde. Le

tu ur

vecteur position de l’électron vérifie l’équation : m

dt? dt

+710 7 — -ex, 00 Et T sont

des constantes positives.

2.1. Interpréter les différents termes de cette équation. Que représentent wo et 7?

2.2. Justifier pourquoi la force magnétique est négligeable devant la force électrique.

2.3. Montrer qu’à l’échelle du déplacement de l’électron, on peut considérer que le champ
électrique ‏,سه‎ est uniforme.

2.4. Etablir, en régime sinusoïdal forcé, l’expression du vecteur position 1 de l’électron.

En déduire l’expression du moment dipolaire ‏مر‎ qu, induit.

2.5. On admet que la puissance électromagnétique moyenne rayonnée par un dipôle
24
‏فشا‎

électrique de moment ‏ورسنديت ون - زر‎ est P = x
126

. Déterminer l’expression de la

puissance électromagnétique moyenne P rayonnée par le dipôle induit ‏رب نر‎

Epreuve de Physique | 7/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 8 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

2.6. Etablir l'expression de la puissance électromagnétique moyenne surfacique P de
l’onde électromagnétique incidente.

2.7. On introduit la grandeur o(&) définie par o(œ) = à Montrer que o(w) se met
ϡ 82 2
sous la forme : ‏ه - (ه)ه‎ =› avec 6,277 et ‏دحو‎ - Quelle est la
; 2 (œY 3 ATE, Me”

dimension de ‏(ه)ه‎ ?
2.8.  Représenter l’allure de ‏(وه)ه‎ . On suppose @ ›› L ;

2.9. L'’allure représentée dans la question 2.8. permet de distinguer trois domaines :
2.9.1. Diffusion résonnante (w = wo)

1

Montrer que dans ce cas, o(w) présente le profil Lorentzien ‏بست - (م)م‎

caractéristique d’une résonance.

2.9.2. Diffusion Thomson (œ ›› wo)

Montrer que dans le cas d’un électron faiblement lié, ‏(ه)ه‎ est constant. En déduire
que la puissance diffusée est indépendante de la fréquence de l’onde incidente. À quel
rayonnement s’applique ce résultat ?

Application numérique : Donner un ordre de grandeur de ‏(ه)ه‎ ٠

2.9.3. Diffusion Rayleigh (w ‹‹ wo)

2.9.3.1. Montrer que dans le cas d’un électron très fortement lié, la grandeur ‏(ه)ه‎ est

4
égale à ‏ب ده‎ OÙ ‏م7‎ et À sont les longueurs d’onde associées respectivement à woet ‏ه‎

2.9.3.2. Le Soleil est l’émetteur des ondes électromagnétiques excitatrices des
molécules atmosphériques. La lumière qu’il émet est polychromatique. Pourquoi peut-on

prendre le champ électrique zww:,., Monochromatique dans l’équation différentielle du
mouvement de l’électron ?

2.9.3.3. Sachant que, dans l'atmosphère, les électrons atomiques vibrent avec une
fréquence de l’ordre de 1017 Hz, justifier l’approximation ‏.وه ‹‹ ه‎ Déduire :

e une explication à la couleur bleue du ciel dans la journée.
e une explication à la couleur rouge du ciel le soir.

2.9.3.4. On suppose que l’atmosphère comporte n molécules par unité de volume
dont les rayonnements sont incohérents entre eux de telle sorte que la puissance totale

moyenne diffusée par unité de volume de l’atmosphère est P, =no(w)P,(x), x étant la
direction de propagation de la lumière solaire et P,(x) la puissance moyenne surfacique de

l’onde électromagnétique incidente de longueur d’onde À en x.

Epreuve de Physique | 8/9

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 9 —
Concours National Commun - Session 2011 - Filière PSI

2.9.3.4.1. Justifier la diminution de puissance moyenne surfacique Pi(x) du faisceau
lumineux solaire le long de l'axe de propagation. Cette diminution est-elle la même pour
toutes les longueurs d'onde ?

2.9.3.4.2. Montrer en faisant le bilan des puissances dans un petit cylindre de base S et
de longueur dx suivant la direction de propagation, que l'intensité à la traversée d'une

couche diffusante d'épaisseur dx s'écrit : PB, (x) = PB, (0)e ‏ا‎ Exprimer H, en fonction de n,

‎et À/ 20. On suppose que la densité n est constante.‏ وه

‎2.9.3.4.3. Application numérique : Calculer la valeur numérique de n pour l'air assimilé
à un gaz parfait à la surface de la terre dans les conditions normales de température et de
pression, puis calculer H,, pour la couleur bleue et H,, pour la couleur rouge. En

‎déduire la couleur dominante du ciel en plein jour et par temps clair, puis la couleur du
soleil au coucher.

‎2.9.3.5. Pourquoi, sur la lune, le ciel paraît-il noir ?

‎Epreuve de Physique | 9/9

‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏