نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2005: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

École Hassania des Travaux Publics
EHTP

Concours National Commun d'admission

aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2005

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière PSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2005 - Filière PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Régulation en fréquence d’un émetteur

On se propose de concevoir le dispositif de régulation de la fréquence d’un émetteur d’ondes
électromagnétiques dans le domaine des hyperfréquences. La référence utilisée est la fréquence fo
d’un résonateur de grand facteur de qualité. La schéma synoptique du dispositif est présenté figure
1 ci-dessous.

onde principale
(fréquence /(

résonateur

Oscillateur à
désamortissement

générateur
(Fo=200 kHz)

régulateur

Figure 1: Schéma synoptique de la structure du dispositif.

p|_modulateur

Comme dans tout problème visant à l’étude d’une régulation, il convient de procéder à
l’identification des divers éléments de la chaîne avant de procéder à la détermination des perfor-
mances de la boucle fermée. Aussi le problème est-il découpé de la façon suivante :

— la modélisation et l’étude expérimentale du résonateur font l’objet de la première partie ;

— l’oscillateur à désamortissement, étudié dans la seconde partie, délivre une onde électroma-
gnétique de fréquence f dont une fraction est prélevée à l’aide d’un coupleur et permet
l’élaboration d’un signal proportionnel à la différence de fréquence f — fy (troisième partie) :

— enfin, la régulation et l'influence des perturbations sur le comportement de l’ensemble du
système font l’objet de la quatrième partie du problème.

N.B. : Du fait de la valeur élevée des fréquences mises en jeu, l’approximation des régimes quasi-
stationnaires ne pourra pas être utilisée, sauf indication contraire de l'énoncé, dans toute la zone
délimitée par des pointillés sur la figure 1. En revanche, on appliquera les lois de l’électrocinétique
aux autres éléments du système.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres

Épreuve de Physique II 1/7 Tournez la page S.V.P.

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significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI). On notera j le nombre
complexe de module 1 et d’argument 7/2.

1°"° partie
Etude du résonateur
On se propose d'effectuer une modélisation de la cavité résonnante ou résonateur (section 1.1.)

et d’étudier la réflexion d’une onde sur le plan (PQ) de couplage avec la ligne (section 1.2.). Pour ce
faire, on utilise le modèle de la figure 2.

ligne (Ze)

Figure 2: Modèle pour le résonateur.
Dans toute cette partie, on ne considère que des régimes établis sinusoïdaux de pulsation w.

1.1. Impédance du résonateur

L'utilisation du modèle à constantes localisées est effectuée dans le cadre de l’approximation des
régimes quasi-stationnaires. Le résonateur est représenté par un circuit R, L, C, le couplage étant
modélisé par un transformateur idéal de rapport de transformation m = na/ny.

1.1.1. Exprimer l’impédance complexe Zpa en fonction de R, L, C, w, et m. Définir la pulsation
de résonance en courant que l’on notera ‏وم‎ ainsi que le facteur de qualité Qo.

Par la suite on notera fo = 5e et on prendra fo = 1019 Hz = 10 GHz.
7

1.1.2. Préciser les expressions Au” et ‏مة عل "مح‎ = w — ‏وه‎ pour lesquelles l'argument de Zpq
vaut 7/4. Que peut-on dire alors du module de l’impédance ?

1.1.3. Montrer que pour une pulsation w voisine de wo, Zpq peut s’écrire :

Dans toute la suite, on utilisera cette expression approchée.

1.1.4. Mettre alors l’expression de la puissance moyenne absorbée par le dipôle PQ, lorsqu'il
est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace U, sous la forme :

‏سأي‎
et donner l'expression de P 4.
Épreuve de Physique II 2/7 ‏هب‎

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1.2. Influence du couplage

Sur la ligne en amont du résonateur se propagent des ondes incidente (indice +) et réfléchie
(indice —), dont les amplitudes complexes peuvent s’écrire, dans le plan de couplage PQ :

‎U=U,+U avec ‏باء2 ب‎

où Z est l’impédance caractéristique (réelle) de la ligne.
1.2.1. On définit le coefficient de réflexion ‏م‎ = U_/U_, . Exprimer ‏م‎ en fonction de Zpa et Ze-

—. Exprimer ‏م‎ en fonction de r9 et À.

1.2.2. On posery = et À = 20

m2 Z

1.2.3. Étude de la puissance absorbée par la cavité

En vue de la détermination des caractéristiques de la cavité, on procède à la mesure de la
puissance P qu’elle absorbe lorsqu'une onde incidente de puissance connue Py est envoyée sur la
ligne.

1.2.3.1. Justifier que la puissance absorbée par la cavité s’écrit :

1.2.3.2. Pour quelle pulsation le rapport F est-il maximal ? Soit T4 la valeur de P/Py
0

correspondante.

1.2.3.3. Montrer que l’on peut définir un facteur positif Qc, appelé coefficient de qualité en
charge, tel que :

RAIN

Donner l’expression de @ en fonction de Qo.-
1.2.4. Mesures

On a déterminé expérimentalement le rapport 5; Pour plusieurs valeurs de la fréquence de
0

l’onde incidente, les résultats sont réunis dans le tableau suivant :

En déduire les valeurs numériques de 79 et ‏وو‎ sachant qu’une étude complémentaire a pu montrer
que le coefficient de réflexion ‏م‎ était réel négatif à la pulsation ‏.وم‎ Commenter les résultats obtenus.

1.2.5. Déphasage introduit par le résonateur
Soit 0 l'argument de p.

1.2.5.1. Exprimer 0 en fonction de dw au premier ordre en dw = w — wo.

Épreuve de Physique II 3/7 Tournez la page S.V.P.

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1.2.5.2. La ligne présente une certaine longueur, justifier que le déphasage entre ondes
incidente et réfléchie en amont du tronçon de ligne s'écrit 0 = 09 + ke Ôf avec df = 0w/27 et calculer
numériquement Æc. On exprimera k, en radians par hertz puis en degré par mégahertz.

2ème

partie

Étude de l’oscillateur

L'oscillateur à désamortissement générant l’onde principale est constitué d’un composant non
linéaire polarisé de telle sorte qu’il présente une résistance équivalente négative. Il est couplé à
une cavité si bien que le schéma équivalent de l’ensemble se présente comme indiqué figure 3. On
appliquera ici les lois de l’électrocinétique des régimes quasi-stationnaires

composant actif cavité

Figure 3: Schéma équivalent de l’oscillateur.

2.1. Justifier la nécessité de fournir de l’énergie à l’aide d’une alimentation externe pour obtenir
un tel dispositif. Que traduit la résistance R, du schéma équivalent ?

2.2. Établir à quelles conditions une oscillation peut apparaître dans le dispositif de la figure 3.
Quelle allure peut alors présenter l’évolution de la tension ?

2.3. Donner l'expression de la fréquence d'oscillation fe du signal.

2.4. Puissance émise

Pour traduire l’existence d’un régime établi, on doit prendre en compte une variation des
paramètres du schéma avec la puissance émise. On a relevé la courbe de la figure 4 donnant
l’évolution du rapport = ee la puissance P, émise par la cavité.

3

0 Pe(mW)
0 50 100 150 200 250 300

Figure 4: Évolution du rapport = en fonction de la puissance émise.

Épreuve de Physique II 4/7 ‏هب‎

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241. La condition obtenue à la question 2.2. pour le démarrage des oscillations est-elle
satisfaite ?

2.4.2. Quelle sera, en régime établi, la puissance Pe émise 7

2.5. Fréquence d’oscillation

On souhaite pouvoir commander la fréquence de l’oscillateur par une tension ‏ىن‎ on place alors
dans la cavité un élément capacitif dont la valeur dépend de la tension ‏.ىن‎ On admettra que l'effet
obtenu peut être décrit en supposant que la capacité ) du schéma équivalent de la figure 3 dépend
de U.. Soit Co la valeur de C pour une tension de commande nulle et 0 = ‏و‎ + dC l'expression de
C pour une valeur quelconque de ‏ل‎ avec 00 ›› Cv.

2.5.1. Exprimer, en régime établi, la fréquence f des oscillations.

2.5.2. Par un développement limité au premier ordre en dC, exprimer f sous la forme f =
fe + df où df est proportionnel à 00.

La loi de dépendance de f avec la tension de commande ‏نا‎ est quasiment linéaire dans la plage
de fonctionnement envisagée dans la suite et on a mesuré à = fe = 10 GHz pour ‏نا‎ = 0.

2.5.3. Sachant que l'application d’une tension U. = 5 V correspond à une diminution relative
de la capacité de 1%, calculer numériquement la valeur de ‏و26‎ telle que l’on puisse écrire :

f= fe 107

3ème

partie

Élaboration de la grandeur d’erreur

On s’intéresse ici à l'ensemble délimité par des pointillés sur la figure 1. On se placera dans
toute cette partie dans le cadre de l’approximation scalaire des ondes électromagnétiques. C’est
ainsi qu’en tout point du circuit, une de ces ondes (incidente ou réfléchie) sera représentée par
une fonction scalaire du temps a(t) = Amcos(wt) à laquelle on associe un signal complexe
a(t) = Amexp(jut). La puissance moyenne véhiculée par l'onde a(t) s'exprime ‏ركوو‎ où a* est
le complexe conjugué de a. Enfin, tous les tronçons de ligne seront supposés sans perte.

L'onde principale a(t) de fréquence f, émise par l’oscillateur, traverse un coupleur destiné à
prélever une fraction / a(t), 8 € R. Cette fraction prélevée est envoyée sur l'accès n°1 d’un répartiteur
(figure 1). Celui-ci est un composant linéaire à 4 accès numérotés de | à 4, pour lesquels on note a; et b;
respectivement les ondes incidente et réfléchie sur l’accès . En régime sinusoïdal forcé, le répartiteur
est caractérisé par sa matrice de répartition comme suit :

b 1 0 1 1 0 81
ba ‏ب"‎ 1 0 0 1 a2
bb | 2| 1 0 0 + a3
b4 0 1 -1 0 84

D’autres composants sont placés sur les autres accès.
49

— Sur l'accès 2 est placé un modulateur défini par son coefficient de réflexion = = K2exp(j 02)

où 02 est supposé indépendant de f et Æ» est supposé constant pour l'instant quition 3.1).
— Sur l’accès 3 est placé le résonateur étudié en première partie et défini par son coefficient de

; a = ; SERRE cpote qe N , ,
réflexion = = K3expj03 où K3 = 0,6 et 03 = ‏رف — و0‎ si l’on pose ôf = f — fo.
33

Épreuve de Physique II 5/7 Tournez la page S.V.P.

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— Sur l’accès 4 est placé un détecteur quadratique délivrant un signal d(t) exprimable par
d= 3 7 b, bj avec les hypothèses faites ci-dessus. En outre, le détecteur est adapté, ce qui
permet d'écrire a4 = 0.

3.1. Exprimer d en fonction de 8, Am. 03, 02 et des coefficients K;. Ordonner l’expression comme
un polynôme en K3.

3.2. On admet que le résultat précédent est encore utilisable lorsque K » est variable dans le temps
avec une fréquence F très faible devant f. On module le coefficient ‏وك‎ à l’aide d’un signal u(t)

généré à part, dont l’expression temporelle est u(t) = Um cos(Qo t) avec ‏ول‎ = T7 = 200 kHz et
Um = 0,5 V. La loi régissant les variations de 19 :
K, = K3[1 + au(t)] avec K9=0,4 et a=0,25V"!
Montrer que :
d(t) = Do + Dy cos(o t) + Da cos(2 Mo t)

et déterminer les expressions de Do, D, et Da.

3.3. Déterminer à quelle condition sur 0 le terme D, est nul lorsque ‏رن‎ = 0. On supposera cette
condition remplie dans la suite avec en outre sin(02 — 00) › 0.

3.4. Effectuer un développement limité au premier ordre en d f conduisant à une loi Dj = knôf
et déterminer numériquement ‏مر‎ sachant que ‏م‎ = 0,1 et K, = 400 mV.mW7!. On déterminera
auparavant la valeur numérique de ‏مك‎ à partir de la courbe représentée figure 4.

3.5. Montrer que le dispositif représenté figure 5, composé d’un multiplieur analogique délivrant
un signal p(t) = k Hou(t) d{t) et d’un filtre passe-bas du premier ordre d'amplification ‏و1‎ = 10 à

fréquence nulle et de fréquence de coupure Fe = 5 avec 7 = 2410-3 s, permet de délivrer un

signal ver proportionnel à fo — / :
Ver = ‏مطل‎ (fo- f)

Donner l'expression de K p.

Filtre
passe-bas

Amplificateur

Amplificateur
de gain Ho

Figure 5: Détail du régulateur.

Épreuve de Physique II 6/7 ‏هب‎

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3.6. Ondonne:k ‏ح‎ 0,1 17-1, Ho = 20. Calculer numériquement Kp et ver pour ôf = 100 kHz.

gème

partie

Étude de la régulation

Le régulateur indiqué figure 1 est constitué comme le montre la figure 5. Le signal ver, élaboré
précédemment et amplifié par un facteur À réel, est le signal de commande U, de l’oscillateur de la
deuxième partie.

4.1. Justifier, à partir des études précédentes, que le schéma fonctionnel du dispositif complet
peut être mis sous la forme représentée figure 6. On rappelle que 7 = 2x 1075 s. On pose
So = 1 + Ko À Kp. Calculer numériquement À pour avoir ‏وي‎ = 103.

Figure 6: Schéma fonctionnel.

4.2. Précision de la régulation

4.2.1. Montrer lorsque la fréquence émise f est constante, qu’elle peut s’écrire sous la forme :

Je 1
J 50 5 Jo
4.2.2. Si la fréquence centrale de l’oscillateur étudié dans la deuxième partie est f« = fo, que
vaut la fréquence émise à l’équilibre du système ?
4.2.3. En pratique, un tel réglage n’est pas parfait mais on parvient à obtenir fe = Jo + ‏زه‎
‎Exprimer alors f et commenter le résultat. Faire l’application numérique pour Afe = 1 GHz.
4.3. Sensibilité aux perturbations
On prend en compte les perturbation électromagnétiques subies par le dispositif en écrivant :
Je = fo + Jp(t)

4.3.1. Lorsque f, est un échelon de valeur F, = 1 GHz , étudier l'évolution temporelle de
ôf(t) = f(t) — fo. Interpréter les valeurs observées au voisinage de t = 0 (t › 0) et au bout d’un
temps très long.

4.3.2. fp est à présent une perturbation sinusoïdale du temps de pulsation © très inférieure à

Exprimer ôf(t) = f(t) — fo en régime permanent et tracer, en échelles logarithmiques, l’évolution
du rapport des amplitudes respectives de f, et 6f(t) en fonction de N. Commenter et conclure.

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 7/7 FIN

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