نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2019: الفيزياء 2 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les |références des questions

abordées.

٠ Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

L’ammoniac

L’ammoniac est une substance naturelle qui peut également être produite en
grandes quantités par synthèse chimique. Après avoir été peu à peu supplanté par
les chlorofluorocarbones (CFC), l’ammoniac reprend de l'importance depuis
l’adoption du protocole de Kyoto visant le bannissement complet des CFC. Les
systèmes de réfrigération à l’ammoniac reprennent leur place parce qu’ils sont plus
efficaces et plus économiques.

Ce problème propose d’étudier de manière simplifiée quelques aspects relatifs
à l’ammoniac, molécule et corps pur. Il est composé de deux parties totalement

indépendantes, à l’intérieur desquelles de nombreuses questions peuvent être
traitées indépendamment les unes des autres.

La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Données :
— Constante des gaz parfaits : R=8,314J.K".mol.
- Masse molaire de l’ammoniac : M(NH,)=17,0g.mol".
- Charge élémentaire : e=1,6.10"""C.
af 1af- 1 df ‏ا‎

- Gradient en coordonnées sphériques : grad(f)=— ‏جوع ا جوع‎ : — es
dr 70 7570)90( ©

Partie 1

L’ammoniac est une molécule polaire

1.  Dipôle électrostatique

On place au point O, origine du repère (O,x,y,z) un dipôle dont le moment

dipolaire électrique p est orienté suivant le vecteur unitaire e: de la base des

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coordonnées cartésiennes (es es,e: ) . Le potentiel électrostatique que ce dipôle crée en

un point M de l’espace repéré par ses coordonnées sphériques (6.6) est

VF (M)= ee . On note (erseo.ey) celle des coordonnées sphériques.

1.1. Préciser la (les) condition(s) de validité de l'expression de V, (M). Pourquoi le

potentiel V (M) ne dépend pas de la coordonnée p ? On suppose que cette

(ces) condition(s) est (sont) valable(s) dans la suite.
1.2. Quelle(s) différence(s) y a-t-il entre le potentiel du dipôle électrostatique et
celui d’une charge ponctuelle ?

1.3. Quelle relation relie le champ électrostatique E,(M) créé par le dipôle et
1.4. Montrer que Ep(M) est défini dans le plan (eee) par ses composantes radiale
cos(6) sin(6)
‎Donner l’expression de ‏ل‎ et préciser son unité dans le système international

et orthoradiale : E, =2f et E,=B

des unités. Justifier pourquoi la composante E, = E,(M).ey est nulle.

1.5. Définir une ligne du champ E,(M) . Trouver l'équation des lignes de champ.
Dessiner quelques lignes de champ du dipôle en précisant le sens ainsi que le

vecteur p. Ajouter au dessin réalisé quelques équipotentielles en précisant les
propriétés.
2. Molécule polaire placée dans un champ uniforme

La molécule d’ammoniac NH,, de forme  tétraédrique, est
constituée d’un atome d’azote et de trois atomes d’hydrogène. On Lee)
la représente schématiquement, dans ses états d’énergie les plus
bas, sous la forme d’une pyramide assez aplatie (figure 1) : l’atome N
d’azote occupe le sommet et les trois atomes d'hydrogène forment a =
la base, en forme de triangle équilatéral. La projection du sommet
sur le plan du triangle coïncide avec le centre de gravité G du H
triangle On note d la distance entre l’ion N° et le centre G. ;

Figure 1

2.1. Justifier que la molécule d’ammoniac possède un moment dipolaire
permanent p ‘

2.2. Reproduire le dessin de la figure 1 et indiquer le moment dipolaire 0 porté par
NH,. Préciser la valeur de la charge q associée au barycentre des charges
positives.

2.3. Exprimer le module de p en fonction des données. Sachant que

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p=4,9.10"°"C.m, donner la valeur de d.
2.4. On place la molécule d’ammoniac en O dans un champ électrostatique
uniforme 5 . Rappeler l’expression de l’énergie d’interaction de la molécule

d’ammoniac avec 5. . Donner les valeurs extrêmes de cette énergie. Dans quel
cas cette énergie est minimale ?

Partie 2

Production, stockage et utilisation de l’ammoniac

On modélise l’'ammoniac en phase gazeuse par un gaz parfait dont le rapport
y des capacités thermiques à pression et volume constants, supposé constant, vaut

1. Diagramme d’état

Les équations des courbes de sublimation et de vaporisation de l'ammoniac
vérifient les lois empiriques suivantes :

Pour la sublimation : In) =16,41- 2754 , équation (E,)

0

Pour la vaporisation : ‏فى‎ -12,87- 853 , équation (E,)

0

où P est la pression d'équilibre solide-gaz, P, est la pression d'équilibre liquide-gaz,
exprimées en bar, et T est la température en K . Les coordonnées du point critique
de l’ammoniac sont : 7 =405,4K et P =113,33bar et PR, =1,00bar.

Pour déterminer l’enthalpie standard A, ,H°(T) du changement d’état 1—2
d’un corps pur à la température T, on utilise souvent la relation de CLAPEYRON :
‏ب‎ A 270 , OÙ v, et v, sont les volumes molaires du corps respectivement dans
les phases (Il) et (2).
1.1. Définir le point triple de l'ammoniac et déterminer ses coordonnées Es ‏و‎ ) :
1.2. Tracer le diagramme de phases P= P(T) de l’'ammoniac. Préciser les zones

solide, liquide et vapeur. Définir le point critique et décrire brièvement ce qui
s’y passe.

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1.3. Exprimer le volume molaire v, d’un gaz parfait en fonction de T et P.

Justifier que l’on peut négliger le volume molaire d’une phase condensée (c)
devant celui d’une phase gazeuse (g).

dLnP

1.4. Établir l’expression de A. H°(T) en fonction de et des autres données.

1.5. Calculer les enthalpies standard de vaporisation (A,#°), de sublimation

indépendante de la température T.

H° ) et de fusion (A, H°) au point triple. On supposera A _,H°(T)
Jus P 0 Pp 1—›2

2. Production et stockage de l’ammoniac
La synthèse du gaz ammoniac est réalisée dans un réacteur chimique par

réaction directe entre le dihydrogène et le diazote. Le schéma de la figure 2 donne le
principe d’une installation de production de l’ammoniac.

Enceinte pressurisée

Soupape
de securité ‏و(‎
‎Ammoniac
‎gazeux
‎Réfrigérant
‎Mélange azote et :
; 1 ; Ammoniac
dihydrogène recyclé liquide
Réacteur 4 Réservoir
chimique
Vanne

Mélange azote et
dihydrogène frais

Figure 2 - Schéma de principe d’une installation de production d’ammoniac

Dans toute cette partie, on néglige le travail des forces de pesanteur ainsi que
la variation d'énergie cinétique subie par l'unité de masse du fluide devant les autres
quantités d'énergie échangées. D’autre part, on considère une masse d’ammoniac
m=lkg et on néglige tout frottement.

2.1. Pour un fluide en écoulement permanent à travers diverses machines, le
premier principe de la thermodynamique, relatif à l'unité de masse s'écrit :

Epreuve de Physique 1 4/9

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‎=w,+q avec h l’enthalpie massique du système, c la vitesse‏ اج + ‎je‏ + ا

‎macroscopique du fluide, z l’altitude et ‏ع‎ l'accélération de pesanteur.
2.1.1. Que représentent les grandeurs thermodynamiques w, et q ?

‎2.1.2. Que devient cette expression avec les hypothèses de l’énoncé ?

‎2.2. L'ammoniac, produit avec un débit d, =1500kg.h", sort du réacteur chimique à

‎une température 1 =423K et sous une pression 711 - 750075. Il traverse alors

‎une vanne où il subit une détente isenthalpique amenant sa pression à une
valeur P, =25bars.

‎Le document donné en annexe (figure 3) représente le diagramme de MOLLIER
de l’ammoniac (IL est à rendre avec le cahier de rédaction). À chaque utilisation
de ce diagramme, on justifiera les réponses et les valeurs trouvées.

‎2.2.1. Quelles sont les conditions pour que la détente dans la vanne soit
isenthalpique ?

‎2.2.2. On désigne par À le point représentant l’état du gaz à la sortie du
réacteur et B le point représentant l'état du gaz à la sortie de la vanne. Placer
ces deux points sur le diagramme de MOLLIER.

‎2.2.3. Que vaut la température T, du gaz à la sortie de la vanne ?

‎2.3. L’ammoniac entre ensuite dans un réfrigérant où il est refroidi sous pression
constante P, jusqu'à atteindre un titre en vapeur x=0,25 à la sortie du
réfrigérant (point C). Pour des raisons de sécurité, les rejets de l'ammoniac
dans l'atmosphère sont interdits. L’ammoniac est alors stocké dans un
réservoir placé dans une grande enceinte pressurisée à une pression
P, =6bars.

‎2.3.1. Placer le point C sur le diagramme de MOLLER. En déduire la
température T, de l’'ammoniac dans le réservoir de stockage.

‎2.3.2. Calculer, à l’aide du diagramme et en justifiant soigneusement la
démarche, la chaleur q cédée par un kilogramme d'ammoniac au réfrigérant.

‎2.4. Le réservoir de stockage est muni d’une soupape de sécurité qui permettrait
d'évacuer la totalité du débit d’ammoniac produit dans le réacteur, en cas
d’incident. On assimile cette soupape de sécurité à une tuyère convergente.
On suppose, pour simplifier, que l’écoulement de l’ammoniac gazeux dans la
tuyère est unidimensionnel, permanent et isentropique (figure 4).

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Le gaz entre dans la tuyère en x=0 avec =

‎une vitesse c(0)=c, négligeable, une has ‏ا‎
‎pression P(0)=P, , ‘une température Réservoir | #6) Trabre 1
T(0)=T, et une masse volumique ‏(0)م‎ p, - 0 2

À l’abscisse x, ces grandeurs sont notées
respectivement c(x), P(x), T(x) et p(x). a”

La section de la tuyère en x est notée

S(x). On note D, le débit massique de Figure 4

l’ammoniac gazeux et M sa masse

molaire.

2.4.1. Déterminer la relation existant entre l’enthalpie massique h(x), h(0)=h,,

2.4.2. Exprimer Ah=h(x)-h, en fonction de T(x) et des autres données.

2.4.3. Au cours d'une transformation isentropique, deux des variables d'état

d'un gaz sont liées par une relation appelée équation des adiabates (ou
relation de Laplace) ; établir l'équation des adiabates relative aux variables P
et T.

2.4.4. Sachant que la vitesse d’entrée c, est négligeable face aux vitesses
acquises dans la tuyère, déterminer alors l’expression de la vitesse c(x) à

l’abscisse x en fonction de 0= , R, y, M et T,. Cette dernière

approximation revient à dire que la section d’entrée S, est très grande
face à la section de sortie.

2.4.5. Exprimer la relation entre D,, p(x), c(x) et S(x).
2.4.6. Exprimer p(x) en fonction de T(x) et de P(x) et des autres données.
2
2.4.7. Montrer que le débit D, peut s’écrire : D, =k6""V1-0" S, où S=S(x)

et k une constante que l’on exprimera en fonction des données.

2.4.8. Tout au long de la tuyère, la pression du gaz diminue (0‹6‹1). En
étudiant les variations de S(x) en fonction de x, on montre que si le

rapport 0 est supérieur à 0,= 5 , la section S(x) est décroissante (tuyère
0

convergente). Établir l’expression de 7, appelée la pression critique d'une

0

Epreuve de Physique II 6/9

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vapeur au col d'une tuyère convergente, en fonction de y et de, P,, la pression
dans le réservoir.

2.5. On s’intéresse dans cette partie au stockage de l’ammoniac dans un réservoir
de capacité V =40m* ne contenant que de l’ammoniac pur. La température du
stockage est 1 =293K.

On donne :

- Masse volumique de l’ammoniac liquide à 293K : p, =0,72g.cm”.

— Pression de vapeur saturante de l’ammoniac à 293K : P =8,6.1 0°Pa.

2.5.1. Exprimer littéralement puis calculer numériquement pour une
température de 293K les volumes massiques v, et v, des phases, liquide et

gaz, de l’'ammoniac dans un mélange diphasé en fonction des données.

2.5.2. Reproduire l’allure du schéma du diagramme de Clapeyron d’un fluide
(figure 5) et y faire apparaître trois isotherme 71 ‹T,, T,=T. et 1, ‹7. . Identifier

la courbe d’ébullition et celle de rosée. Indiquer les domaines d’existence du
liquide et de la vapeur.

2.5.3. Comment change la composition lorsque la température passe de 1 à ‏بت‎
‎à volume constant ?

2.5.4. Expliquer pourquoi le stockage +
d’un fluide dans de bonnes conditions
de sécurité nécessite que le volume
massique du fluide transporté soit
supérieur au volume critique.

2.5.5. Sachant que la masse volumique
critique de l’ammoniac est
p.=0,26g.cm” , déterminer la masse

maximale m d’ammoniac que l’on

peut stocker dans le réservoir. Figure S

2.5.6. Calculer la masse maximale m_, à partir de laquelle l’ammoniac dans le

réservoir se trouve uniquement sous forme gazeuse ?

2.5.7. Une masse m=2,0.10*kg d’ammoniac se trouve dans le réservoir.
Calculer le titre massique x, de l’ammoniac liquide. En déduire la masse m, de
l’ammoniac liquide.

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3. Application : étude d'un système réfrigérant à ammoniac

L’ammoniac R717 est utilisé dans une machine frigorifique. Dans cette
machine, lkg du fluide décrit le cycle réversible constitué des étapes suivantes :

٠ la vapeur saturée sèche subit dans le compresseur une compression

isentropique  l’amenant de l’état E(T=263K,P=2,9hbar) à l’état

٠ La vapeur sèche obtenue en E, subit dans le condenseur un refroidissement
isobare jusqu’en E,(T,=298K,P,) , puis une liquéfaction totale à cette
température ; on a alors le liquide saturant (état E,(T,,P, ) ‏يم‎

« Le fluide sortant du condenseur est détendu dans le détendeur supposé
adiabatique jusqu’à l’état F,(T;,,P). Un détendeur ne contient pas de parties
mobiles, si bien que le fluide n’y reçoit aucun travail mécanique.

٠» Le liquide restant se vaporise totalement dans l’évaporateur pour un retour à
l’état E, où la vapeur saturante est sèche. La chaleur absorbée par le fluide

dans l'évaporateur sert à refroidir une chambre froide.
3.1. Justifier que la transformation dans le détendeur est isenthalpique.

3.2. Calculer, en justifiant, les températures T,, T, et T, et les pressions P, et P,.

3.3. Calculer le travail de transvasement w, reçu par un kilogramme de fluide lors
de la compression isentropique E, — E, .

3.4. Calculer la chaleur q, reçue par un kilogramme d’ammoniac dans
l’évaporateur.

3.5. Sachant que la chaleur reçue par l’ammoniac doit être de Q,, =90,0.10*kJ par
heure pendant la phase d’évaporation, E, — E,, calculer le débit massique D,

(en kg.h") d’ammoniac nécessaire pour assurer le refroidissement du milieu
pendant cette phase ) — ٠

3.6. Calculer la puissance théorique absorbée ‏مر‎ par le compresseur.

3.7. En déduire l’efficacité e de cette machine frigorifique.

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2
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1 æ
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Figure 3 - Diagramme de MOLLIER (À rendre avec le cahier de rédaction)

Epreuve de Physique II 9/9

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