نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2018: الفيزياء 2 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière TSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en

particulier de rappeler avec précision les |références| des questions abordées.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre
elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à
prendre.

Propagation et guidage de la lumière dans des milieux matériels

Le problème étudie la propagation des ondes électromagnétiques dans des milieux matériels.
Lorsqu'on veut transmettre une onde électromagnétique vers un récepteur donné, on peut utiliser
le guidage. Dans le cas de la lumière, on utilise de plus en plus des fibres optiques car cela apporte
beaucoup d'avantages, comme par exemple le fait que le signal soit insensible aux perturbations
électromagnétiques. Mais la propagation de la lumière dans une fibre fait intervenir les phénomènes
d'absorption et de dispersion, introduits par les interactions du rayonnement avec la matière.

Données :
-Vitesse de la lumière : c = 3.108m.s—!.
- Permittivité diélectrique du vide ‏و‎ = 8,854 x 10-!?F.m—!.
- À une grandeur sinusoïdale f(t) = Fy.cos(wt + ‏رزو‎ on associe le complexe souligné f(t) =
Fo.e+(et+#), avec 2 = —1 et tel que f(t) = Re(f(t)); le conjugué de f sera noté f*.
J ETES JL
- Formule d'analyse vectorielle pour un vecteur 7. rot ( rot V ) = grad(div V )-A V.

I Questions de cours. Généralités

1.1. On considère une onde électromagnétique qui se propage dans le vide.
1.1.1. Écrire les quatre relations de Maxwell dans le vide.

1.1.2. Établir l'équation d’onde de D’Alembert vérifiée par le champs électrique E (M,t).

On considère une onde électromagnétique, dont le vecteur champ électrique s'écrit sous la forme :
= Ep.cos(wt — 0.2 en avec Ep et ky des constantes positives.

1.1.3. Préciser la direction de propagation de cette onde. Quelle est sa polarisation ?
‎1.1.4. Donner l'expression de son vecteur champ magnétique B.

1.1.5. Donner l'expression du vecteur de Poynting I, et en déduire sa valeur moyenne ‹ 11 ›.

1.1.6. Déterminer la puissance surfacique moyenne @ transportée par cette onde à travers une
surface orthogonale de 1m*.

1.2. Milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope.
Lorsqu'une onde électromagnétique se propage dans un milieu, elle interagit avec ses charges
et son comportement est différent de celui avec le vide. Considérons un milieu diélectrique
linéaire homogène et isotrope, où se propage une onde sinusoïdale. On admet que les équations
de Maxwell, en notation complexe, s’écrivent comme dans le cas du vide, mais en remplaçant

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eg par la permittivité complexe du milieu €; il a même perméabilité magnétique que le vide :

1.2.1. Retrouver l'équation d'onde de D'Alembert vérifiée par le champs électrique E(M, t)

Le champ électrique de l'onde est de la forme : E(M, +) = 0 ‏لق مااع‎ #4 Ep est une constante,
n est l'indice complexe du milieu et qu’on peut écrire sous la forme : n = n, — i.n;.

1.2.2. Établir la relation de dispersion vérifiée par n.
1.2.3. Donner l'expression réelle du champ électrique Fi (M, t) en faisant intervenir n, et n;.

1.2.4. En déduire l'expression réelle du champ magnétique, B (M, t), de cette onde.
1.2.5. Donner l'expression de la vitesse de phase ‏وه‎ de cette onde.

1.2.6. Cette onde électromagnétique est-elle plane ? est-elle transverse électromagnétique (TEM) ?
Justifier.

1.2.7. Déterminer l'expression de la puissance surfacique moyenne @ transportée par cette onde
à travers une surface orthogonale de 1712. Commenter.

1.2.8. On considère une onde de longueur d’onde À = 5007171 qui se propage dans l’eau. La
puissance surfacique moyenne @ à la profondeur de 12 m est le dixième de sa valeur à la
surface de l’eau, calculer l'indice n; de l’eau. Commenter.

1.2.9. En optique, qu’entend-on par milieu parfaitement transparent?

11 Optimisation d’un trajet. Marche de rayons lumineux

IL1. Donner les ordres de grandeurs de longueurs d'ondes pour la lumière rouge et la lumière
violette. Situer l’infrarouge et l’ultraviolet.

11.2. Qu'appelle-t-on approximation de l'optique géométrique ?

11.3. Quelle est la trajectoire suivie par la lumière dans un milieu homogène ?

11.4. Rappeler le contenu physique du principe de retour inverse de la lumière.

IL5. Trajet suivi par un rayon lumineux rencontrant un dioptre.

On considère un mobile qui se déplace à la vitesse constante ‏ره‎ dans un milieu (1) et à la vitesse ‏ون‎

dans un milieu (2). On se propose de déterminer la durée minimale que met ce mobile entre deux
points données A et B, ou À et C (coordonnées constantes) : voir figures 18 et 1b.

11.5.1. Exprimer ‏وريد‎ la durée du trajet AIB dans le milieu (1), le point I est repéré par ses coor-
donnée x; et y; = 0.

11.5.2. Déterminer la condition sur x; pour que la durée ‏وري‎ soit minimale.
11.5.3. Relier ce résultat à une loi de l'optique géométrique, qu'on explicitera.

11.5.4. Exprimer Tac la durée du trajet AJC dans le milieu (1), puis dans le milieu (2), le point J
est repéré par ses coordonnées x, et y, = 0.

11.5.5. Déterminer la condition sur x, pour que la durée ‏وري‎ soit minimale.

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AY B AY

milieu (2)

سان سا ا الله مدهد› زح وأ --

milieu (2) ‏رار‎ =

Figure la figure 1b

Figure 1 — Trajet d’un rayon lumineux entre deux points données

11.5.6. Relier ce résultat à une autre loi de l'optique géométrique, qu’on explicitera.

IL.6. En optique géométrique, expliquer les phénomènes de réflexion totale et de réfraction limite.
On accompagnera les explications par des schémas.

11.7. Un rayon de lumière blanche passe de l'air, assimilé au vide, dans le verre d’indice n4(\) =

a+ È où a et b sont deux constates positives. Quelle est la couleur la plus déviée ? Justifier.

III  Guidage de la lumière par les fibres optiques
111.1. Fibre optique à saut d'indice

Une fibre optique à saut d'indice de longueur | est constituée d’un cœur cylindrique de rayon a et
d'indice n,, entouré d’une gaine d'indice 112. On considère un rayon lumineux SO situé dans un
plan méridien de la fibre, et qui y entre au point 0 en venant de l'air : figure 2.

| gaine ns 111100
1 i
air, n=1 | a
; coeur, n, !
‏تتا ا ا اا ا اا اا ا اا ا اا ا ا ا اا ا ا ااا أجل اا ا ا‎ 2
0 251
80 !
mm) ‏مه ما دجم ب دج ) يج‎

Figure 2 — Propagation de rayons dans une fibre optique

111.1.1. Quel est le phénomène physique qui permet la propagation du rayon lumineux dans le
cœur de la fibre, avec une atténuation très faible, malgré le grand nombre de réflexions
subies ?

111.1.2. Comment doit-on choisir, alors, les indices ny et #7 ? En déduire une condition sur l'angle
d'incidence à l'entrée ‏و0‎ pour que le rayon soit transmis par la fibre.

111.1.3. Calculer la valeur maximale, appelée acceptance 60,4, de l'angle ‏و0‎ et la valeur de l’ouver-

ture numérique O.N de la fibre définie par : ON = ‏.د — يد‎ On donne n, = 1,510 et
112 = 1,495.

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IIL.1.4. Exprimez le temps de parcours T(6p) d’un rayon de lumière quelconque dans la fibre en
fonction des données.

On suppose qu’une source ponctuelle placée en O émet, avec une période T, des impulsions lumi-
neuses isotropes de durée négligeable. Soit ‏رك‎ et Ty les durées respectives minimale et maximale
de parcours des rayons lumineux dans la fibre.

111.1.5. Déterminer l'expression de la durée + = Tm — Tn-

IIL.1.6. Déterminer l'expression de la fréquence maximale fax de la source pour laquelle deux
impulsions successives ne se recouvrent pas. fmax COrrespond à la bande passante de la
fibre.

111.1.7. En déduire l'expression du débit D c’est à dire le nombre d'impulsions qu’on peut trans-
mettre par seconde.

Une portion de la fibre optique précédente est courbée en forme de quart de cercle de rayon moyen
R, et elle est éclairée sous incidence normale.

Figure 3 — Courbure d’une fibre optique

111.1.8. Établir l'expression du rayon de courbure minimal ‏رما‎ = CO pour lequel toute la lumière
incidente traverse la fibre : voir figure 3.

En réalité dans une fibre optique, on constate un affaiblissement du signal qui se propage dans la
fibre; sur une portion d'épaisseur élémentaire dz, la puissance varie de dP_ = — 2 .P(z).dz, ‏لاه‎ est
une constante caractéristique de la fibre. 1 est la puissance du signal en entrée et P;,(z) la puissance
du signal en z.

IIL.1.9. Déterminer l'expression de l’atténuation (gain en puissance) de la fibre en dB : ‏.ون‎

Le coefficient d'atténuation linéique en dB/km est y = — 5 Jog10( es ), où / est la longueur de la fibre.
Il varie avec la longueur d’onde du signal transmis par la fibre : voir figure 4.

111.1.10. Donner approximativement trois longueurs d'onde susceptibles d’être utilisées avec peu
d’atténuations.

111.1.11. Dans le domaine du spectre électromagnétique ci-contre (figure 4), quelle radiation est
transmise avec le moins d'atténuation ? à quel domaine appartient-elle ?

111.1.12. Calculer, alors, le pourcentage (%) de la fraction de puissance perdue par km.

II.1.13. Lequel des phénomènes suivants peut être à l’origine du pic observé pour À} = 1,38ym :
la diffraction, l'absorption, la réfraction, ou la réflexion ?

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100 E Coefficient d'atténuation (dB-km-!)

0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Longueur d'onde (um)

Figure 4 — Variation de l’atténuation avec la longueur d'onde dans une fibre optique

111.2. Application Principe d’un capteur de niveau de l’eau

On considère le dispositif optique constitué de deux fibres accolées terminées par un prisme de
section droite triangulaire isocèle d'angle A = 90°. Le niveau de l'eau peut monter et dépasser le
point I : voir figure 5. Expliquer clairement comment ce dispositif peut jouer le rôle d’indicateur de
niveau d’un liquide donné, par exemple l’eau; on tracera la marche du rayon lumineux SI.

\Prisme de verre”

Ainsi ‏ان‎

Figure 5 — Principe d’un capteur de niveau à fibres optiques

IIL.3. Fibre optique à gradient d'indice

Dans le cas des fibres à gradient d'indice, l'indice est donné en fonction de la distance r à l'axe de la
fibre par une loi du type : n(r) = m.v1 — ar”.

2 ‏عي‎

On caractérise la direction du rayon incident entrant dans la fibre, par son angle à la normale ‏و0‎

IIL.3.1. Tracer schématiquement la trajectoire d’un rayon lumineux pénétrant dans la fibre au point
O. Pour quelle raison une fibre à gradient d'indice permet-elle d'obtenir une bande pas-
sante plus grande que dans le cas d’une fibre à saut d'indice ?

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IIL.3.2. On peut modéliser le cœur de la fibre par une succession de couches d'épaisseur dr suffi-
samment petite pour que l'indice puisse y être considéré comme constant.

Montrez que la quantité n(r).sin(i(r)) est égale à une constante qu’on déterminera en fonc-
tion des données.

axe radial : r

ti (r+dr)

air | fibre

Figure 6 — Fibre à gradient d'indice

IIL.3.3. En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que la trajectoire d’un rayon
lumineux est solution de l'équation différentielle :

IIL.3.4. Déterminer, sans chercher à résoudre l'équation précédente, la distance radiale maximum

rm atteinte par le rayon lumineux caractérisé par l'angle ‏.و0‎ En déduire une condition pour
que le rayon puisse se propager dans la fibre.

IIL.3.5. Montrer que l'équation différentielle ci-dessus peut s’écrire :

‎IIT.3.6. Montrer que la solution de l'équation différentielle obtenue à la question III-3-3 peut se
mettre sous la forme r(z) = rm.cos(Q.(z — 20(( où zo est une constante d'intégration. Trou-

‎ver une expression pour la période spatiale À = 77, en fonction de n, n2, a et 6p.
0
21

‎On donne : arccos(u) = — f rer

‎IV Modes d’une fibre : aspect ondulatoire de la transmission par fibre optique

‎On reprend l'exemple de la fibre optique à saut d'indice formée d’un cœur cylindrique de rayon
a, d'indice 111 et de la gaine d'indice 112. Dans cette fibre, on étudie de façon simplifiée l'aspect ondu-
latoire du signal qui s’y propage, de longueur d'onde À. On considère les deux rayons qui entrent
dans la fibre en O, sous l'incidence ‏و0‎ et qui subissent des réflexions respectivement aux points

‎pren

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Figure 7 — Différence de marche optique dans une fibre optique

117.1. Le plan P, orthogonal aux rayons OH, et K,K3 , les coupe aux points À et B; de même Le plan
P, orthogonal aux rayons K, K; et H,H3, les coupe aux points C et D.

Déterminer la différence de marche optique 5 = (AD) — (BC).

IV.2. Soit 111 la projection orthogonale de H; sur K,K». De même soit H; la projection orthogonale
de H, sur K,K,.
Exprimer la différence de marche 6 en fonction de H, H,, 111115 et de n;.

IV.3. Montrer que la différence de marche s’écrit aussi à = 2.a.sin6p.

TV.4. On suppose que pour que la propagation soit possible, à = m.\, où m est un entier appelé
‘indice de mode’. Commenter cette hypothèse.

IV.5. Quelle condition doit-alors vérifier cet entier m, compte tenu de l'ouverture numérique ON
de la fibre.

117.6. Expliciter cette condition sachant que : à = 3,5um, n, = 1,510, na = 1,495 et À = 1.61

IV.7. Cette condition est-elle modifiée s’il y'a un éventuel déphasage dû à la réflexion ? Expliquer.

Épreuve de Physique II 7/7 Fin

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