نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2014: الفيزياء 2 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2014 - Filière TSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies.
Il convient en particulier de rappeler avec précision les des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème
sont relativement indépendantes entre elles.

Spectromètre à fibre optique

Le spectromètre numérique à fibre optique est un outil courant en énergétique
pour analyser la lumière émise par un corps ou transmise à travers un milieu
afin de déterminer certaines caractéristiques (température, composition, etc) du
corps ou du milieu. Il est basé principalement sur les propriétés d’un système
dispersif, le réseau plan. La lumière à analyser est transmise au spectromètre par
l'intermédiaire d’une fibre optique. Un premier miroir sphérique concave (dit de
collimation) permet de collimater le faisceau issu de la fente d’entrée et de le
diriger avec le bon angle sur le réseau. La lumière diffractée par ce réseau est
ensuite focalisée par un second miroir sphérique (dit de focalisation) vers une
barrette CCD, sur laquelle se forme le spectre. La barrette CCD fournit un signal
électrique reproduisant l'intensité lumineuse perçue par ses différents pixels. Ce
signal analogique est ensuite converti en signal numérique. Les données sont
alors traitées par un logiciel pour afficher la courbe d’intensité spectrale 7 (2).

Dans ce problème, nous étudierons les différentes composantes du
spectromètre numérique à fibre optique. Les différentes parties de ce problème

sont largement indépendantes.
1. Miroir sphérique

On considère un miroir sphérique concave
(M) de focale 100mm, de centre C et de

sommet S (figure 1). On rappelle que, dans

les conditions de Gauss, la position d’un s-———m—Pm

point objet A sur l’axe et celle de son image
1 2

1
A' sont reliées par la relation =+—==—.
R SA SA' SC figure |

1.1. Où se trouvent les foyers objet F et image F' principaux du miroir 2
Donner l'expression de la distance focale du miroir définie par f, = SF'. En

déduire la valeur numérique du rayon R du miroir.
1.2. Que se passe-t-il pour un rayon incident passant par C ?

1.3. On considère un petit objet AB dans un plan perpendiculaire à l’axe
optique. Le point A est sur l’axe optique à la distance SA (SA ›2R) du

Epreuve de Physique Il 1/8

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sommet du miroir et le point B au-dessus de l'axe. Construire
soigneusement l’image A'B' de AB par le miroir (M ٠

1.4. Définir le grandissement transversal et l’exprimer en fonction de SA et de

1.5. L'objet AB , toujours perpendiculaire à l'axe optique, est tel que A =F".
Faire la construction soignée et détaillée donnant son image par le miroir.

1.6. Faire une construction soignée et détaillée donnant l'image A'B' d'un objet
AB situé à l'infini, perpendiculaire à l'axe optique, vu sous un angle a et
tel que A se trouve sur l’axe optique. Déterminer la nature et la taille de
l'image.

2. Réflexion totale

On considère un rayon lumineux
issu d’une radiation monochromatique
et arrivant sur l’interface plane
séparant deux milieux d’indices de
réfraction différents (notés n, et ‏م7‎

avec n, ›n, ) sous un angle d’incidence 1

i, par rapport à la normale à l’interface 0

figure 2

(figure 2).

2.1. Enoncer les lois de Snell-Descartes de la réfraction lumineuse.

2.2. Montrer que, pour n, ›n,, le rayon réfracté ne peut exister que si i, ‹i,. Au
moyen de figures claires, exposer les différentes situations que l’on peut on
observer. Que se passe-t-il si /,›i, P Donner l’expression de sin(i,) en
fonction de n, et n, et calculer, en degré, la valeur numérique de i,. On
donne n, =1,450 et n, =1,433.

3. Fibre optique

La fibre optique à saut d’indice aine
(figure 3) est formée d’un cœur
cylindrique en plastique d’axe Oz,
transparent, homogène et isotrope, de
rayon a =3125mm et d’indice de

ح. ‏ 51س سس سس سس م ‎resciaprnamen‏

figure 3

réfraction constant n, =1,450, entouré

d’une gaine d’indice de réfraction
constant n, =1,433.

La face d'entrée de la fibre optique est plane, perpendiculaire à son axe de
symétrie Oz et se trouve dans l’air d’indice de réfraction n, =1,000. Un rayon

lumineux émis par une source monochromatique atteint la face d'entrée de la
fibre en 0 , sous l'angle d'incidence 60. Les propriétés d’une fibre cylindrique à

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saut d'indice peuvent être analysées en bonne approximation en se limitant aux

directions de propagation qui se trouvent dans un plan de symétrie de la fibre.

3.1. Justifier que le rayon lumineux transmis dans la fibre optique reste dans le
même plan défini par la rayon entrant dans la fibre et l'axe Oz .

3.2. Montrer qu'un rayon lumineux qui se propage dans le cœur de la fibre se
réfléchit totalement lorsqu'il atteint la gaine sous un angle d'incidence

71
supérieur ‏ند‎ ', =arcsin(—*) . Calculer numériquement ‏ل ل‎
3.3. Pour qu'un rayon soit effectivement guidé dans la fibre optique, il faut que
sa direction à l'entrée se situe dans un cône dit d'acceptance de demi angle
au sommet 0. Exprimer littéralement et numériquement le demi angle

d'ouverture 0, de ce cône. Donner l’expression de l'ouverture numérique
ON de la fibre, définie par n,-sin(0,).

3.4. Quel est le devenir d’un rayon lumineux hors du cône d'acceptance ?
3.5. Faire un dessin du trajet ultérieur du rayon lumineux atteignant la face
d'entrée de la fibre optique en 0 , sous l'angle d'incidence 0‹6, en faisant

apparaître plusieurs réflexions.

3.6. On considère maintenant un rayon lumineux en dehors du cône
d'acceptance de la fibre optique. Comme il frappe l'interface cœur/gaine à
un angle inférieur à l’angle critique de réflexion sur cette interface, il peut
pénétrer dans la gaine. À quelle condition peut-il se propager par réflexions
totales à la surface extérieure de la gaine ?

3.7. Cette propagation donne naissance à un mode de propagation parasite,
appelé mode de gaine. Ces modes sont généralement rapidement atténués,
mais ils peuvent néanmoins être à l’origine de perturbations sur la fibre
optique. Montrer, schéma à Jl’appui, que l’on peut les éliminer
immédiatement, on entourant la gaine d’une enveloppe dont l’indice est
supérieur à celui de la gaine.

4. Etude d'un réseau par réflexion

On distingue les réseaux par transmission, pour
lesquels les ouvertures sont des fentes
transparentes, et les réseaux par réflexion pour
lesquels les fentes sont remplacées par des miroirs.

Un réseau (R) plan par réflexion de largeur utile

figure 5

! est constitué de N traits (bandes) réfléchissants
de faible largeur par rapport à leur dimension
perpendiculaire au plan de la figure (figure 5). Les

traits parallèles sont équidistants de a (pas du
1

réseau). Le réseau comporte n - 600 rraitsmm” et
plonge dans l'air dont l'indice sera pris égal à

Epreuve de Physique Il 3/8

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La fente d'entrée du spectromètre, supposée infiniment fine et parallèle aux
traits du réseau, est éclairée sous incidence nulle par la lumière transmise par la
fibre optique.

4.1. Qu'est-ce qu'un réseau de diffraction 2 Quel est son rôle 2

4.2. Quelle relation y a-t-il entre a et n ?

4.3. Les rayons issus de la fente d'entrée du spectromètre sont parallèles après
réflexion sur le miroir de collimation. À quelle condition cela est-il réalisé ?

On note ‏م‎ l'angle d'incidence des rayons lumineux sur le réseau, ‏'م‎ leur angle
de réflexion. Les angles sont orientés de la normale au réseau vers le rayon.

4.4. Déterminer, schéma à l'appui, la différence de marche 6 entre les rayons
diffractés par deux traits consécutifs du réseau en fonction de ‏.م‎ ÿ'eta.

4.5. Pour quelles valeurs de 5 l’interférence des rayons diffractés est
constructive ? En déduire que les angles p', d'ordre ‏م‎ dans lesquels on
observe des maxima de lumière pour une longueur d’onde À donnée sont
donnés par la relation : sin(p, )+sin(p)=npi. Commenter la direction de
l’ordre O.

4.6. Quel est l'ordre maximal observable pour le réseau utilisé éclairé en
incidence normale par une lumière de longueur d'onde 2 =589.3 nm ?

4.7. La fibre optique est maintenant éclairée par une source de lumière blanche
de longueurs d’onde extrêmes À, =400nm et À, =800nm. Quels sont les
angles p, et p, de diffraction d’ordre p=1 des deux longueurs d’onde

extrêmes du visible ? On suppose que le réseau est éclairé sous incidence
normale.

4.8. La partie interne du spectromètre est décrite dans la figure 6 pour un rayon
lumineux sous incidence quelconque.
On note (M,) et (M,) les miroirs respectivement de collimation et de

focalisation.

Capteur CCD (F,)

figure 6
4.8.1. Dire, en justifiant, où doit placer le capteur CCD pour enregistrer le spectre
de la lumière analysée.

Epreuve de Physique Il 4/8

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4.8.2. Représenter alors sur un schéma les marches respectives des rayons rouge,
jaune et bleu depuis la fente d'entrée jusqu' au capteur CCD.

4.8.3. Citez au moins 3 avantages du spectromètre à fibre optique et capteur CCD
par rapport au montage qu'on utilise habituellement et utilisant un
goniomètre pour visualiser des spectres en TP.

5. Capteur CCD

5.1. Principe d’un capteur CCD

Le capteur CCD (Charge Coupled Device), interfacé à un ordinateur,
réceptionne les différents faisceaux diffractés et fournit un signal électrique
reproduisant l'intensité lumineuse perçue par ses pixels répartis sur une longueur L .Il
est modélisé par un ensemble de photodiodes reliées à des capacités, puis à un
registre à décalage par l'intermédiaire d'interrupteurs.

On étudie dans cette partie la conversion du signal lumineux en signal électrique
grâce à une photodiode. La figure 7-1 présente une modélisation simple de la
caractéristique i =i(u) d'une photodiode idéale pour la convention de la figure
7-2. Afin d'utiliser la photodiode en capteur, on la polarise en inverse (i‹0 et
u › 0( en l'insérant dans un montage comprenant un générateur de f.é.m U, et

une résistance de protection r comme représenté sur la figure 8. Le courant
inverse est proportionnel au flux lumineux surfacique ‏,ثم‎ qui irradie la

photodiode : 1, =k@, où k est la sensibilité de la diode. On suppose que cette
sensibilité est indépendante de la fréquence de variation de @ , dans le domaine

habituel de variation.

flux lumineux

‘ figure 8

figure 7-2

5.1.1. La photodiode est-elle un capteur actif ou passif 2

5.1.2. Montrer que la photodiode ne peut être bien polarisée en inverse que si la
résistance r est inférieure à une valeur limite n. Exprimer littéralement et

numériquement 7, pour un éclairement ‏ل‎ =0,20mW em”. On donne

k =50 uA.mW ‏وا‎ et U,=5,0V.

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Dans la suite, on suppose la condition 7 › ‏ين‎ vérifiée.

La photodiode polarisée en inverse se comporte comme un générateur idéal de

courant /, =k@, en parallèle avec une capacité C, .

5.1.3. Représenter le schéma équivalent du montage de la figure 8.

5.1.4. Etablir l’équation caractéristique de ce système linéaire. Quel est son
ordre ?

5.1.5.On se place tout d'abord en régime statique ou quasi-statique (variations de
flux #4 peu rapides). Donner alors l’équation reliant le flux lumineux ‏لم‎ avec
la tension U mesurée. Définir le gain statique de ce dispositif.

5.1.6.La photodiode est maintenant éclairée par
des signaux lumineux variables. Le schéma
équivalent de la photodiode et de son V. 1 ë 2 Î ;
conditionnement est présenté sur la figure 9. g 4
Déterminer la réponse harmonique du

système définie par H ‏جح‎

figure 9

5.1.7. Calculer la fréquence de coupure à —3 dB et le gain maximal de ce dispositif
sachant que r=1k© et que la capacité de la photodiode est C, 1077 ٠

5.1.8. A quelle fréquence maximale peut-on utiliser ce dispositif pour une perte de
moins de 1% par rapport au gain statique nominal ?

5.1.9. Calculer le temps d’établissement à 2 % de ce système.

5.2. Caractéristiques de la barrette CCD

La barrette CCD linéaire du spectromètre à fibre optique étudié est
constituée de N,, =2048 pixels répartis sur une longueur L =28,7 mm . Sa gamme

spectrale est 200-900 nn . On suppose que seul le spectre d’ordre 1 est projeté
sur la barrette CCD.
5.2.1. Calculer la taille #(P) d’un pixel.

5.2.2. Quel(s) type(s) de radiation(s) couvre la gamme spectrale du spectromètre
étudié ?

5.2.3. On définit la résolution AA(P) d’un pixel en longueur d’onde par l’intervalle
de longueur d’onde que couvre un pixel. Déterminer AA(P) en supposant
que l'intervalle de longueur d’onde sur la gamme spectrale AA obtenue sur
le capteur occupe v = 2048 pixels .

5.2.4. On définit arbitrairement la résolution R,, du spectromètre à fibre optique
comme l'intervalle de longueur d’onde séparant 3 pixels, calculer la valeur
de R, -

5.2.5.Citer deux facteurs qui pourraient limiter le pouvoir de résolution du
spectromètre à fibre optique.

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5.2.6. La barrette CCD est installée de telle façon que le premier pixel (n°1) reçoit
la vibration de longueur d’onde A =200 nm et le dernier pixel (n°2048) reçoit

la vibration de longueur d’onde 2 =900nm. Etablir la relation entre la

longueur d’onde À et le n° de pixel x .
6. Spectre du blanc d’ordre supérieur

On considère un interféromètre
de Michelson idéal constitué d’un
miroir plan fixe (M,), d’un miroir
plan mobile (M,) réglable en
translation et en inclinaison et
d’une lame séparatrice (S,) semi-
réfléchissante, non  absorbante,
d’épaisseur nulle, de facteurs de 80106
transmission et de réflexion égaux étendue
à 0,5 et n’introduisant aucun (Sp)in

déphasage. Cette lame fixe est figure 11
inclinée à 45° par rapport aux

normales à (M,) et (M,) (figure

L’interféromètre de Michelson est plongé dans l’air d’indice de réfraction égal
à 1 et est réglé dans la configuration «contact optique». On incline le miroir mobile
(M,) d’un petit angle a, et on éclaire l’interféromètre en lumière quasi-parallèle à
l’aide d’une source étendue (S).

Les franges d'interférence ainsi obtenues sont supposées localisées sur le
miroir fixe (M,). On les projette sur un écran (E) à l'aide d'une lentille
convergente (L) de distance focale image f,'=20 cm placée à la distance d - 7١
du miroir ) ٠

On rappelle l'expression de l'intensité lumineuse en un point P du plan de
localisation en fonction de la différence de matche 6(P) en ce point

I(P)= 2701+ 042 (( , À étant la longueur d'onde de la lumière éclairant

l'interféromètre de Michelson et /, une constante.

6.1. Pourquoi éclaire-t-on l'interféromètre de Michelson avec une source
étendue ?

6.2. A l’aide d’un schéma soigné du coin d'air formé par les deux miroirs (M,) et
(M ',), image de (M,) à travers la séparatrice (S,), préciser les deux rayons
qui interférent.

6.3. On note x la distance d'un point P sur (M,) à l’arête commune des miroirs
(M,) et (M',). Exprimer la différence de marche 6(P) en fonction de x . Les
interférences observées sont-elles des franges d'égale inclinaison ou d'égale

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épaisseur © Justifier votre réponse et déterminer l’expression de

l’interfrange sur le miroir ) ٠

miroir

6.4. Quelle relation existe entre ; et l'interfrange sur l'écran (E) ?

miroir écran

6.5. Afin de mesurer l’angle ‏ممه‎ on éclaire l'interféromètre de Michelson réglé en

coin d’air par une source monochromatique de longueur d'onde dans le vide

À =589,3nm . La mesure de l'interfrange sur l'écran donne ‘arm -5 MM.

écran
Calculer l’angle ‏مه‎ du coin d'air.

6.6. Le réglage précédent étant conservé, on éclaire maintenant l'interféromètre
de Michelson par une source de lumière blanche. On centre la frange
d'ordre O dite frange centrale.

6.6.1.Décrire en le justifiant l'aspect des franges que l’on voit sur l’écran (E).
Justifier pourquoi on n'observe que quelques franges.

6.6.2. Comment repère-t-on la frange d’ordre O ? Est-elle blanche ou noire ? Si
elle est noire, expliquer pourquoi.

6.6.3. Loin de la frange d’ordre O, les franges du coin d’air en lumière blanche
disparaissent et l’on observe du « blanc d’ordre supérieur ». Justifier cette
appellation. Comment distingue-t-on sur le plan spectral entre le
blanc d’ordre supérieur et le blanc uniforme d'ordre O correspondant au
contact optique (teinte plate) 2

6.7. On place, au point P' du plan de l'écran (ce dernier retiré), la fente du
spectrophotomètre à fibre optique parallèlement aux franges. On observe
des cannelures (absence de lumière). Expliquer ce que cela veut dire. Quelle
relation existe-t-il entre la différence de marche 6 et la longueur d'onde
d'une radiation visible absente du spectre ?

6.8. Le spectromètre étant étalonné comme indiqué dans la question 5.2.5, on
observe des cannelures correspondant aux pixels x,=1293, x,=1109,

x, =1012 et x, = 691. Calculer les longueurs d'ondes correspondantes.

Epreuve de Physique Il 8/8

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