نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2016: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche
Scientifique de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Rabat

CONCOURS NATIONAL COMMUN
D’admission dans les Etablissements de Formation d'Ingénieurs et
Etablissements Assimilés

Session 2016

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière TSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est autorisé

page de garde

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les |références | des questions abordées.

٠ Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indé-
pendantes entre elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives
qu'il est amené à prendre.

Le climat est devenu une priorité pour 1 Humanité ; il fait l’objet de congrès mondiaux
et le prochain, COP22, aura lieu au Maroc en novembre 2016.

On se propose d'étudier quelques bilans énergétiques ayant une influence sur les para-
mètres climatiques du sol terrestre. La présence de la vie sur Terre est tributaire du soleil ;
le rayonnement solaire détermine la température du sol terrestre et par conséquent affecte
aussi les principaux paramètres climatiques et météorologiques comme la pression et le
taux d'humidité. Des équilibres complexes font intervenir en plus du soleil, l'intérieur de
la terre, l'atmosphère et les océans.

Données

Intensité du champ de pesanteur au sol : ‏ع‎ = 1000.872.

La constante d'attraction gravitationnelle : 6 = 6,6.10 1151
Rayon de la terre : R; = 6, 4.106m.

Rayon du soleil : Rs = 7.10$m.

Distance moyenne soleil-terre : D = 1,5.10*}m

Masse de la terre : M; = 6. 10?*kg.

Masse du soleil : M, = 2. 10301

Nombre d’Avogadro : Na = 6,02.1023010171

Constante de Boltzmann : k = 1.38.10-*J.K".

Permittivité diélectrique du vide : ‏وع‎ = aie

D'autres données sont insérées dans les parties concernées de l'énoncé.

1 1 ère partie : Energie transmise par rayonnement du soleil vers la terre

1.1. Propagation du rayonnement solaire.

Le soleil émet de façon isotrope du rayonnement électromagnétique à travers le vide
interstellaire et la Terre en reçoit une partie.

1.1.1. Donner les expressions de la densité volumique d'énergie électromagnétique
UWem(M, t) et du vecteur de Poynting 77 (M, t), en fonction du champ électrique
(M, t) et du champ magnétique B (M, t).

Epreuve de Physique I 1/9 Tournez la page SVP

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1.1.2. Donner l'expression de la puissance électromagnétique rayonnée à travers une
surface fermée S.

1.1.3. Donner l'expression de l'énergie électromagnétique Uecontenue dans un vo-
lume V délimité par la surface S.

1.1.4. Établir l'expression globale du bilan d'énergie électromagnétique.

1.1.5. Que devient cette expression du bilan d'énergie électromagnétique en régime
permanent.

1.1.6. La puissance surfacique rayonnée par le soleil est p = ‏1ه‎ où 0 est appelée
constante de Stefan, à = 5,67.1075 SI, et T, est la température de surface du
soleil.

Déterminer l'expression de la puissance électromagnétique totale P, rayonnée
par la surface du soleil. .

L1.7. Justifier la propagation rectiligne des rayonnements électromagnétiques solaires
vers la terre.

L1.8. Soit ‏وو‎ la puissance surfacique moyenne reçue orthogonalement par mètre carré
à la limite supérieure de l'atmosphère terrestre : 7 = Ps. Un, AVEC Un vecteur
unitaire de même sens que 7. Établir la relation donnant l'expression de ‏وو‎ en
fonction de P; et des données utiles.

1.1.9. Sachant que ps = 1,36kW, donner une estimation de la température de surface
du soleil T,.

La température du sol terrestre est principalement fixée par le rayonnement thermique
solaire ; mais le sol échange aussi de l'énergie avec l’intérieur de la terre, avec les océans
et avec l'atmosphère.

1.1.10. En introduisant les paramètres physiques appropriés, donner la forme des puis-
sances thermiques surfaciques reçues par le sol terrestre de température T, :
— Venant de l'intérieur de la terre par conduction : p;+s-
— Venant de l'air par convection : Pa+s

1.2. Production de l'énergie du soleil .

L'énergie est produite à l’intérieur du soleil grâce à la fusion nucléaire entre protons.Pour
modéliser cette interaction, on considère un système de deux protons, supposé isolé, et
qui se dirigent l’un vers l’autre. Dans l’état initial ils sont très éloignés, l'énergie po-
tentielle est nulle et ont une même énergie cinétique e,; égale à en = 21.1 k étant la
constante de Boltzmann et où T = 1,5.107K est la température à l’intérieur du soleil. La
masse d’un proton est m, = 1,67.10 ‏و2717‎ et sa charge e = 1,6.10-"C.
1.2.1. On note par M, et M» les positions des deux protons. Montrer que l'étude des
mouvements peut se ramener à celle d’un mobile fictif M de masse ‏.ير‎ Ce mobile

est repéré par GM dans le référentiel du centre de masse R*(GXYZ), et G est le
barycentre.

Epreuve de Physique I 2/9 Tournez la page SVP

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12.2. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle e,(r) et celle de l'énergie méca-
nique €, pour le mobile M.

1.2.3. Pour que la fusion puisse avoir lieu, les deux particules doivent s'approcher à
une distance minimale d'approche ro = 1015771 (rayon estimé d’un proton). Don-
ner l'expression de l'énergie mécanique correspondante €,0. En déduire l’éner-
gie cinétique initiale et la température correspondante T7.

1.2.4. Discussion graphique : tracer le graphe ep(r), et les deux états d'énergie méca-
nique : €, Et En); (état initial). Faire une discussion générale qualitative selon
l'énergie mécanique €.

L2.5. La mécanique classique peut-elle expliquer la fusion nucléaire dans le cas d’éner-
gie mécanique en = En; ? Commenter.

1.2.6. L'hydrogène !H constitue 10% de la masse du soleil. La réaction de fusion nu-
cléaire de quatre noyaux d'hydrogène ! H dégage une énergie de 25MeV. Sachant
que la puissance totale rayonnée par le soleil est P; = 4.102°W, déterminer la du-
rée (en années) durant laquelle le soleil rayonnerait de l'énergie.

L3. Influence du rayonnement solaire sur la température du sol terrestre.

La température en un point du globe terrestre croît avec la puissance moyenne reçue par
unité de surface du sol. Cette température change dans l’espace et dans le temps à cause
des deux mouvements de la terre : rotation autour d'elle même en T; = 24h et révolution
autour du soleil avec la période T, = lan.

1.3.1. Variation de la température avec le lieu sur la Terre.

Dans cette partie, la terre est assimilée à une sphère de centre O’, de rayon R+.
Un point M sur la surface du globe terrestre est repéré par la donnée de sa latitude ‏ب‎

‎avec À = (O'E,O'M) où E représente le point d’intersection du cercle passant par N et M‏
‎avec le plan équatorial : voir figure 1.‏

Figure 1

Epreuve de Physique I 3/9 Tournez la page SVP

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1.3.1.1. Justifier qu’on puisse considérer les rayons solaires, arrivant sur la terre,
comme parallèles entre eux. Cette supposition sera maintenue dans la suite.

1.3.1.2. À un instant donné, on considère trois faisceaux identiques, parallèles au
plan équatorial et qui arrivent aux points E, M et N du sol. Comparer, en le
justifiant, les températures Tr, Tm et Ty aux trois points précédents.

13.2. Influence du mouvement orbital de la Terre sur la température du globe.

La terre, de masse My, est soumise à la force gravitationnelle exercée par le soleil de masse
Ms. Le mouvement du barycentre 0 de la terre, supposée ponctuelle, est décrit dans le
référentiel de Copernic R(OXYZ) supposé galiléen, O étant le centre du soleil.

1.3.2.1. Donner l'expression de la force gravitationnelle du soleil sur la terre.

1.3.2.2. Montrer que le mouvement de la Terre est plan. On pourra donc le repérer
dans le plan polaire XOY par ses coordonnées polaires r = 00 et 6. La tra-

jectoire de la Terre est donnée par la relation entre r et 6 : r(0) = TE

où ro est une constante et e = 0,017 est l’excentricité.
1.3.2.3. Donner les expressions des distances minimale r,in €t maximale Fmax en
fonction de ro et e.
1.3.2.4. En déduire la variation relative de la distance soleil-terre :
Ar max --

‎min‏ 1711111

‎Selon un modèle simplifié, on suppose que la température d’une planète (ponctuelle)

‎dépend de sa distance r au soleil selon la relation : T = 7
1.3.2.5. Déterminer l'expression de la variation relative de la température :
AT ‏"م‎ Tmax -
Trin 0 1 ١
1.3.2.6. Dans votre région, on suppose que ‏,نم1‎ = 273K. Quelle est la température
maximale Tax prévue par ce modèle ? Commenter.

‎1.3.3. Influence de l’inclinaison de l'axe de rotation de la terre sur la température

‎L'axe SN de rotation de la terre autour d'elle-même est incliné d’un angle «a = 23,5° par
rapport à l'axe 077 parallèle à l'axe OZ : voir figures 2 et 3. On considère un point M du
globe terrestre repéré par sa latitude À, et pour les applications numériques on prendra
À= 309.

‎Les températures changent lors du mouvement de la terre autour du soleil, donc en fonc-
tion des saisons. Pour l'hémisphère nord, l'hiver commence lorsque la distance terre-soleil
est minimale et la terre est en 01 et le printemps commence après une rotation A0 = 5.
1.3.3.1. Représenter la trajectoire du centre de la terre et placer les débuts des quatre
saisons pour l'hémisphère nord.

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t Lune” ti
‏اا دب تيت‎
Figure 2

13.32. Exprimer le moment cinétique de la terre 7’ o et en déduire la loi des aires.

1.3.3.3. Compte tenu de la faible excentricité de la terre : e; = 0,017, et à l’aide d’une
approximation appropriée, exprimer la durée, en ans, de l'hiver.

1.3.3.4. Exprimer l'écart relatif maximal entre les flux surfaciques (maximal et mini-
mal) au sol : ep(A) = ‏سحي‎ Faire l'application numérique.

Le schéma de la figure 3 ci-dessous représente deux situations de la terre à deux dates
notées t, (à droite) et ‏ا‎ (à gauche) et pour lesquelles un point donné M de la terre, se
retrouve respectivement aux positions M(t;) = M, et M(t,) = M9.

Figure 3

1.3.3.5. A la date ‏را‎ sur la figure 3, les rayons solaires sont orthogonaux pour le point
© du globe terrestre. Quelle est la latitude de ce point et quelle est la saison
en ce point ?

1.3.3.6. Exprimer en fonction de T, la durée minimale ‏دج‎ séparant les instants ‏ا‎ et
2

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1.3.3.7. Soit T,. la durée qui sépare le lever et le coucher du soleil pendant une jour-
née, en un point donné du sol. Cette durée est-elle constante sur toute l’année
en un point donné de la Terre ? Justifier.

1.3.3.8. Recopier le tableau ci-dessous sur votre copie et remplir ses cases par les
réponses correctes. Dans la dernière ligne on comparera la durée du jour
(apparition théorique du soleil) T,. à la durée moyenne du jour prise égale à
TGm = 12h.

Position considérée M, | M, | M; | 5

Saison en ce point ١ | |

Comparaison de T;cà Tim | | |
1.3.3.9. À l'instant + = 5 + = , précisez la saison qui règne à l'équateur.

1.4. Utilisation des satellites en météorologie
Les satellites artificiels de la Terre SPOT et METEOSAT sont utilisés pour des obser-
vations climatiques et météorologiques ; on les assimilera à des points matériels notés
respectivement S et M. On étudie les mouvements dans le référentiel géocentrique
R(O’/XYZ) supposé galiléen.
Le satellite SPOT (Satellite Pour l'Observation de la Terre) a une trajectoire située dans
un plan polaire (orthogonal au plan de l'équateur) et décrite avec une période Ts =
101, 4min. Lorsque le satellite SPOT parcourt son orbite, il observe une large bande
terrestre, les images réalisées par le satellite SPOT sont recueillies sur une barrette
constituée de 6 000 détecteurs CCD et chaque détecteur est assimilable à un carré de
13m de côté recueillant l'information provenant d’une zone terrestre carrée de 10 m
de côté.
Le satellite METEOSAT survole toujours le même point du sol de la Terre.
1.4.1. Donner la deuxième loi de Kepler (aussi nommée loi des aires) dans le cas général
d’un satellite terrestre en mouvement elliptique. Illustrer cette loi par un schéma.
1.4.2. Ces deux satellites SPOT et METEOSAT décrivent des trajectoires circulaires res-
pectivement à des altitudes hs et hy et des périodes Ts et Tm-
établir les relations liant chacune des périodes à l'altitude correspondante et aux
constantes du problème.
1.4.3. Dans quel sens le satellite M tourne-t-il par rapport au référentiel géocentrique ?
Situer, avec justification, le plan de sa trajectoire.
1.4.4. Déterminer la longueur de la région terrestre (de largeur 10 m) dont l’image a été
collectée par les 6000 détecteurs de la barrette

1.4.5. Combien de révolutions doit effectuer SPOT pour réaliser une observation com-
plète de la Terre ?

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11 2 ème partie : Atmosphère de la Terre

L'’atmosphère de la terre est formée par l'air qui enveloppe le globe terrestre sur quelques
dizaines de kilomètres. L'air est assimilé à un gaz parfait contenant x, = 80% de diazote
et xo, = 20% de dioxygène. À une altitude z, repérée à partir du sol, on notera respecti-
vement T(z), P(z) et p(z) : la température , la pression et la masse volumique. Au niveau
du sol z = 0, on prendra : ‏و17‎ = 1bar = 1,03.10°Pa et T = Ty = 300K.

11.1. Quelques ordres de grandeur

11.1.1. Donnez une estimation de la masse de l'atmosphère My; et de la hauteur de l’at-
mosphère H,t-

11.1.2. Les océans recouvrent 70% de la surface du globe terrestre et ont une profondeur
moyenne de 3800 m et une masse volumique de ‏.وم‎ = 1030kg.m7*. Donnez une
estimation de la masse des océans Moc-

11.1.3. Compte tenu de la comparaison entre la masse des océans et celle de l’atmo-
sphère, estimer lequel des deux est le plus sensible aux perturbations climatiques
dues à l’activité humaine.

11.2. Modèle d’atmosphère terrestre
L'atmosphère est en équilibre mécanique par rapport au référentiel terrestre R(OXYZ)
supposé galiléen d’origine O sur le sol et OZ ascendant. On supposera le champ de
pesanteur uniforme.
11.2.1. Exprimer la masse molaire de l'air M, en fonction des masses molaires My, du
diazote et Mo,du dioxygène.

11.2.2. On étudie l'équilibre mécanique d’une tranche d'air d'épaisseur dz ,de section
dS et de masse dm. En déduire la relation fondamentale de la statique des fluides
reliant la pression et la masse volumique.

11.2.3. Donnez la loi de variation de l'intensité du champ de pesanteur g(z) en fonc-
tion de l'altitude 2. Déterminer jusqu’à quelle altitude Zyax peut-on supposer le
champ de pesanteur uniforme à 10 *près ? Discuter alors l’hypothèse faite sur
l’uniformité du champ de pesanteur.

On modélise l'atmosphère par un modèle dit ”polytropique” dans lequel on a :

; * = constante, où k est une constante donnée, ajustable a postériori aux données
expérimentales.

11.2.4. Déterminer l'expression de la pression en fonction de z : P(z).
11.2.5. En déduire T(z) et montrer que 5 est une constante. En déduire la valeur de k
sachant que 7 › -7.10 316017

11.3. Étude d’un ballon sonde

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Un ballon sonde en mouvement d’ascension dans l'atmosphère permet de collecter

des mesures de température, de pression, etc. On considère un ballon de volume

maximal Vmax = 100073 partiellement rempli au sol par un volume V9 = 500m°

d’hélium de masse molaire ‏وير‎ = 4g.mol 7}. La masse totale de l'enveloppe (hélium

non compris) et de la nacelle est m = 450kg. L'enveloppe est munie d’une soupape

qui assure l'équilibre thermique et mécanique entre l’hélium et l’air extérieur décrit

par le modèle polytropique. On négligera les frottements.

11.3.1. Montrer que le rapport des masses volumiques de l’hélium et de l'air d = bi

est indépendant de l'altitude lors de l'ascension

11.3.2. La force ascensionnelle est la résultante des forces qui s’exercent sur le ballon en
mouvement rectiligne selon l'axe ascendant OZ; déterminer l'expression de sa
composante au sol : F,(z = 0) en fonction de g,m,d, Vy et ‏ممع‎

IL3.3. À quelle condition le ballon s’élève-t-il ? Cette condition est-elle réalisée ici ?

11.3.4. Exprimer le volume V(z) au cours de l'ascension tel que V(z) › Vjnax, la Masse
d’hélium étant constante.

11.3.5. Calculer l'altitude maximale ‏و2‎ atteinte lorsque V(z) = Vjnax-

11.3.6. Après que cette altitude maximale ‏و2‎ est atteinte le volume reste constant. Le
ballon continuant à s'élever, le gaz sort par la soupape pour assurer l'équilibre
thermique et mécanique avec l'air extérieur. Montrer que la force ascensionnelle
décroit et s’'annule pour une altitude ‏دو‎ à déterminer.

11.4. Un dispositif de mesure de l'humidité de l'air

Pour tenir compte de la présence de vapeur d’eau, il faut connaitre l’évolution de l’hu-
midité relative de l'atmosphère en fonction de la température et de l'altitude. On appelle
humidité relative à la température T(z), le rapport, noté HR et exprimé en % entre la pres-
sion partielle de la vapeur d’eau et la pression de vapeur saturante à la même température

IL4.1. Préliminaire sur l'équilibre liquide-vapeur
IL4.1.1. On considère l'équilibre liquide-vapeur de l’eau pure. Définir la pression de
vapeur saturante ‏مط‎

11.4.1.2. Que se passe-t-il pour l'atmosphère lorsque HR = 100?

Pour mesurer l'humidité relative de l'atmosphère, on utilise un capteur constitué d’un
condensateur dont la capacité varie avec l'humidité. Le principe de la sonde hygromé-
trique est représenté par le schéma de la figure 4(a), et le circuit de mesure est donné
par la figure 4(b). L'amplificateur opérationnel, considéré comme parfait, fonctionne en
régime de saturation vs = ‏وماك‎ = +15V.

IL4.2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension v,(t). On suppose le conden-
sateur déchargé à t = 0, et vs = +Vsat. Déterminer l'expression de ve(t).

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Montage astable contenant Conversion
le capteur d'humidité — fréquence-tension ‏ب‎
‎f UR UR

Figure 4

11.4.3. Déterminer l'instant ‏وا‎ pour lequel on a basculement vers vs(t = 0 ) = —Vesat-

11.4.4. Donner, alors, l'équation différentielle vérifiée par la tension vc(t) et déduire l’ex-
pression de vc(t).

11.4.5. Déterminer l'instant t, de basculement pour lequel vs(t = 0 ( ‏مم17 ح‎

11.4.6. Tracer les graphes de ve(t) et vs(t) et déterminer 1 ‏صمنوقععدون‎ de la période ‏م‎
‎de ces signaux.

11.4.7. Expliquer comment déterminer, graphiquement, la valeur de la constante de
temps T = R.Crr.

11.4.8. Justifier que la fréquence fr permet de déterminer l'humidité relative HR.

11.4.9. Rappeler l'expression de la capacité C pour un condensateur plan. Expliquer
comment cette capacité peut dépendre de l'humidité.

Epreuve de Physique I 9/9 Fin

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