نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2009: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2009)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 1
- الدورة
- 2009
- عدد الصفحات
- 9
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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Concours National Commun - Session 2009 - Filière TSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références
des questions abordées.
e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à
prendre.
L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Problème I - Optique
Ce problème se compose de deux parties largement indépendantes.
1ère partie
Lunette astronomique
1.1. Questions de cours
1.1.1.Expliquer ce qu’est l’approximation de l’optique géométrique.
1.1.2.Qu'’appelle-t-on système optique centré ?
1.1.3.Rappeler brièvement les conditions de l’approximation de Gauss.
Quelles sont les propriétés d’un système optique centré utilisé dans ces
conditions ?
Dans la suite du problème, les systèmes optiques étudiés seront
considérés centrés et utilisés dans les conditions de Gauss.
1.2. Lunette astronomique
Une lunette astronomique (figure 1) est un système centré qui se
compose :
e d’un objectif (L1) ; c’est une lentille mince convergente achromatique de
diamètre d = 12 cm, de distance focale f' = 1,20 m, de foyer image F”; et de
centre optique O1.
e d’un oculaire (La) ; c’est une lentille mince convergente achromatique
de distance focale f',= 3 cm, de foyer objet Fa et de centre optique 02
On rappelle qu’un œil normal voit un objet sans accommoder quand
celui-ci est placé à l’infini.
On observe une étoile ponctuelle B à l’aide de la lunette ci-dessus qu’on
suppose afocale. L'étoile est vue dans la direction faisant l'angle ه petit avec
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l'axe 2 (On prendra un angle a non orienté ; figure 1). On note B’ l’image de
l’étoile à travers la lunette.
Figure 1
1.2.1.Qu'’appelle-t-on lunette afocale ? Que vaut alors la distance e = 0103
entre les deux lentilles de la lunette afocale ? Justifier les mots objectif et
oculaire. Quel est l’intérêt d’une lunette afocale ?
1.2.2.Reproduire le schéma de la figure 1 et faire apparaître les centres
optiques O1 et 02, les foyers F”1 et Fa.
1.2.3.Représenter sur le schéma de la question 1.2.2, le trajet des rayons
émergents associés au rayon incident qui fait l’angle ه avec l'axe optique. On
notera 81 le point d'intersection du rayon émergent de (L1) avec le plan focal
image de (Li) et a’ l'angle que fait le rayon émergent de (Le) avec l'axe optique
نوه) est compté à partir de l’axe z). Quelle est la position de l’image B’ de
l’étoile à travers la lunette ?
1.2.4.On caractérise la lunette par son grossissement angulaire G دح
Déterminer G en fonction de 75 et f',. Application numérique : calculer G.
1.2.5.On définit le cercle oculaire par l’image de la monture de l’objectif à
travers l’oculaire.
1.2.5.1. Déterminer la position du centre 07 du cercle oculaire.
Application numérique : calculer 0:0٠
1.2.5.2. Déterminer le diamètre do du cercle oculaire.
Application numérique : calculer do. Commenter
1.2.5.3. Conclure sur l’intérêt du cercle oculaire.
1.2.6.On observe maintenant une étoile double à l’aide de la lunette
précédente. Cette étoile est constituée de deux composantes ponctuelles À et
B. Ces deux composantes sont séparées d’un angle ه petit : A se trouve sur
l’axe optique et B est au-dessus de l’axe optique (figure 2).
Epreuve de Physique I 2/9 Tournez la page S.V.P.
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Pour photographier l’étoile, on ajoute une lentille annexe (Las) de distance
focale f', = 50 cm, de foyer image F’3 et de centre Os. La lunette est toujours
afocale.
B% Î j
Figure 2
1.2.6.1. Où faut-il placer la pellicule ?
1.2.6.2. Construire soigneusement la position des images respectives A’
et B’ des deux composantes données par le système {lunette + lentille (La)}.
1.2.6.3. Déterminer la taille A'B'de l’image A’B”.
1.2.6.4. Application numérique : on donne a = 2 secondes d'arc. Calculer
la taille A'B' de l'image.
1.2.6.5. On place dans le plan où se forment les deux images A’ et B’ une
caméra numérique CCD composée d’une matrice rectangulaire de détecteurs
élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côté h = 9 um. Chacun de
ces pixels mesure l'intensité lumineuse qu’il reçoit et transmet l’information
correspondante séparément. La surface active de la caméra est
perpendiculaire à l’axe optique.
Quelle est la plus petite valeur Omin de l’angle a séparant les deux étoiles À
et B que l’on peut espérer résoudre avec cette caméra ?
2ème partie
Interférences par les trous d’Young
On place devant l’objectif de la lunette astronomique, un écran percé de
deux trous (ou fentes fines parallèles à l’axe F’,y) identiques 7 et T», distants
de a et symétriques par rapport à l’axe (Oz). On observe une étoile ponctuelle
émettant une radiation monochromatique de longueur d'onde dans le vide م
= 0,55 um. L'étoile est vue dans la direction faisant l'angle ه (supposé petit
en valeur absolue) avec l'axe z (figure 3). Dans l’étude qui suit, on ne tiendra
pas compte de l’image de diffraction. L'indice de l’air sera pris égal à un.
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(L1) Plan focal
Figure 3
2.1. Quelle couleur correspond à la longueur d'onde م3 = 0,55 um ? Quelle
est la particularité pour l'œil humain de cette longueur d'onde ?
2.2. Rappeler les conditions d’obtention des interférences lumineuses.
Comment réaliser en pratique ces conditions ?
2.3. Décrire qualitativement le phénomène observé dans le plan focal de
l’objectif (Li).
2.4. Reproduire et compléter le schéma de la figure 3 en traçant les rayons
qui émergent des deux trous et qui se rencontrent en un point M du plan
focal de l’objectif.
2.5. Calculer, au point M du plan focal de l’objectif, la différence de marche
6(M) entre les deux rayons émergents respectivement des trous T; et T2. On
exprimera 5(M) en fonction de x, a, f et a, x étant l’abscisse du point M.
2.6. En déduire, dans le plan focal image de l’objectif (L1), l'intensité
lumineuse I(M) en fonction de x, a, f1, do et a. On notera و1 la valeur
maximale de (M).
2.7. Quelle est la nature des franges d’interférence. Calculer l'interfrange.
2.8. On observe maintenant les deux étoiles A et B de la question 1.2.6.
Les deux étoiles sont supposées ponctuelles et monochromatiques. Elles
émettent chacune une vibration de même intensité à À = 0,55 um. On pointe
la lunette sur la composante A. L’étoile B est vue dans la direction faisant
l'angle اه avec l'axe de la lunette.
2.8.1.Montrer, simplement, que la répartition de l’éclairement dans le plan
focal de l’objectif devient uniforme lorsque la distance a des deux trous prend
une valeur particulière minimale .يد Exprimer a, en fonction de Xo et de la
distance angulaire a qui sépare les deux étoiles A et B.
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2.8.2.Pourquoi peut-on sommer les intensités fournies par chacune des
étoiles ? Calculer la nouvelle expression de l'intensité lumineuse dans le plan
focal de l’objectif. Représenter l’allure de cette intensité lumineuse en
fonction de x.
!max - min
2.8.3.On définit la visibilité (ou contraste) V par v= , où ln et 1
!max + /min en
sont respectivement les valeurs maximale et minimale de l'intensité M).
Calculer V . Représenter l’allure de V en fonction de la distance a des deux
trous.
2.8.4.Pour quelle valeur minimale de la distance a entre les trous y a-t-il
brouillage de la figure d’interférences ? Retrouve-t-on le résultat de la
question 2.8.1 ?
2.8.5.Application numérique : on donne a = 2 secondes d’arc. Calculer au.
Problème II - Principe d’un teslamètre
1ère partie
Effet Hall classique
La sonde à effet Hall est un capteur qui permet la mesure d'un champ
magnétique.
La partie active de la sonde à effet Hall est une plaquette
parallélépipédique, d'épaisseur h, de largeur b et de longueur a (figure 1).
Figure 1
Elle est réalisée dans un semi-conducteur de type N. La conduction
électrique y est assurée par des électrons mobiles, de charge q = - e et de
densité volumique .د La plaquette est parcourue par un courant électrique
d'intensité I, uniformément réparti sur la section de la plaquette et de densité de
courant volumique 7 =j 53 0 › O). Elle est placée dans un champ magnétique
uniforme B =B e , (B › 0) créé par des sources extérieures. On néglige le champ
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magnétique créé par le courant I dans la plaque devant le champ B
appliqué. On suppose en plus, qu'en présence du champ magnétique B, le
vecteur densité de courant est toujours égal à j تي زج
Les porteurs de charge sont animés d’une vitesse v et ont une masse m.
1.1. Exprimer le vecteur vitesse v des porteurs de charge dans la plaque en
fonction de j=j e,,netq.
1.2. Montrer qu'en présence du champ magnétique B en régime
permanent, il apparaît un champ électrique appelé champ électrique de Hall
E,=—]j\B. Quelle est la direction de E, .
1.3. On considère deux points A; et Az en vis-à-vis des faces (A;) et
(Aa) de la plaque. Déterminer, en régime permanent, la valeur de la différence de
potentiel transversale Un = V(A1) - V(A»). Montrer que la tension de Hall Ux peut
s'écrire Un = يرن IB/h. Expliciter la constante Cx et donner son unité.
1.4. Application numérique : Pour l'antimoniure d'indium INSb :
Cu = 375.10 541 , 12 1 A, h= 0,1 mm, B = 0,1 T. Calculer Ux ainsi que la
densité volumique n, en électrons/m°.
2ème partie
Principe d’un teslamètre
Afin d’obtenir une tension de sortie Us proportionnelle au champ B que
l’on désire mesurer, on insère le capteur (sonde à effet Hall) dans une chaîne
électronique. Le schéma synoptique du teslamètre est donné dans la figure 7. Il se
compose de quatre parties que l’on va analyser de manière indépendante. La
tension de sortie du capteur en fonction du champ B est uc = a.Vcc + B.B, a et B
sont des constantes positives.
2.1. L’amplificateur opérationnel
On schématise un amplificateur opérationnel (AO) par le schéma de la figure 2.
Il est alimenté par une source de tension symétrique +Vcc, avec ىا = 15 V. Le cas
échéant, les tensions de saturations seront aussi + Vsat = +15 V.
2.1.1. Rappeler les propriétés essentielles de l'AO. On donnera des ordres de
grandeur.
2.1.2. Que deviennent ces propriétés pour un (AO) parfait ?
2.1.3. Rappeler la condition pour qu'un (AO) fonctionne linéairement. Quelles
conséquences cela a-t-il pour le fonctionnement de l'AO ?
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=V ee
Figure 2
Dans la suite, on suppose que tous les amplificateurs opérationnels sont
parfaits et fonctionnent en régime linéaire.
2.2. Etude du circuit (C1) (figure 3)
Etablir l’expression de u; en fonction de R1, Ra et Voc. Quelle est la nature
du circuit (C1) ?
Figure 3
2.3. Etude du circuit (Ca) (figure 4)
2.3.1. Quel lien relie Ua et uc 2
2.3.2. Quel est l’intérêt du circuit (C») ? Quel est son non 2 Quelles sont ses
résistances d’entrée et de sortie ?
Figure 4
Epreuve de Physique I 7/9 Tournez la page S.V.P.
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2.4. Etude du circuit (Cz) (figure 5)
2.4.1. Etablir l’expression de us en fonction de R4, Rs, Us et Us.
2.4.2. Etablir l’expression de us et celle de u4 en fonction de R, R3, U1 et Ua.
2.4.3. En déduire l’expression de us en fonction de R, Ra, R4, Rs, U1 et Un.
2.4.4. Quel est l’intérêt du circuit (Czs) par rapport à un soustracteur simple
utilisant un seul (AO) ?
Figure 5
2.5. Etude du circuit (Ca) (figure 6)
2.5.1.Etablir l'expression de us en fonction de Re, R7, Rs, Ro, et us. Quelle est la
nature du circuit (C4) ?
2.5.2.A quelle condition sur us, l’amplificateur opérationnel du circuit (Ca)
fonctionne-t-il en régime linéaire ?
2.5.3. Quel est l’intérêt du circuit (C4) par rapport à un amplificateur simple
jouant le même rôle et utilisant un seul (AO) ?
Epreuve de Physique I 8/9 Tournez la page S.V.P.
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Figure 6
2.6. Etude du circuit de la chaîne de mesure (figure 7(
2.6.1. En utilisant les relations établies dans les questions précédentes,
montrer que la tension de sortie de la chaîne électronique de la figure 7 est donnée
par us = A(Uc - U1). Donner l’expression de A.
2.6.2. À quelle condition us = KB ? Donner l'expression de la constante K en
fonction des résistances utilisées dans les différents des circuits.
circuit (C,)
211 4 us 1. us
circuit (C3) circuit (C4)
Figure 7
circuit (C3)
capteur Uc
Epreuve de Physique I 9/9 Tournez la page S.V.P.
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✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de Physique I de la filière TSI du Concours National Commun (CNC) 2009 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs (énoncé de 9 pages). Elle comporte deux problèmes indépendants : I – Optique (lunette astronomique, puis interférences par les trous d'Young et mesure d'une étoile double) et II – Principe d'un teslamètre (effet Hall, puis chaîne électronique à amplificateurs opérationnels). Voici une correction proposée, dans l'ordre et avec la numérotation de l'énoncé.
💡 Conventions : les angles orientés sont comptés positivement dans le sens trigonométrique indiqué sur les figures. Sur les figures 1 à 3, le rayon venant de l'étoile B descend vers l'axe : son angle orienté avec Oz vaut −α (α > 0). On prend e = 1,6×10-19 C (valeur non rappelée dans l'énoncé).
Problème I — Optique
1re partie — Lunette astronomique
1.1.1. Approximation de l'optique géométrique
On décrit la lumière par des rayons lumineux indépendants, rectilignes dans un milieu homogène et obéissant aux lois de Snell-Descartes. Elle est valable quand les dimensions des obstacles et ouvertures sont grandes devant la longueur d'onde : on néglige alors la diffraction (et les interférences).
1.1.2. Système optique centré
Suite de dioptres et/ou miroirs présentant une symétrie de révolution autour d'un même axe, l'axe optique.
1.1.3. Conditions de Gauss
Rayons paraxiaux : peu inclinés sur l'axe optique et le rencontrant au voisinage des sommets (objets de petite taille, proches de l'axe, faisceaux peu ouverts). Propriétés : stigmatisme approché (un point objet donne un point image) et aplanétisme approché (un petit objet plan perpendiculaire à l'axe donne une image plane perpendiculaire à l'axe) ; les relations de conjugaison et de grandissement sont linéarisées (sin θ ≈ tan θ ≈ θ).
1.2.1. Lunette afocale
Une lunette est afocale si elle donne d'un objet à l'infini une image à l'infini (pas de foyers à distance finie). Il faut que le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire : F'1 = F2, d'où e = O1O2 = f'1 + f'2 = 1,20 + 0,03 = 1,23 m.
L'objectif est la lentille tournée vers l'objet ; l'oculaire est celle contre laquelle on place l'œil. Intérêt : l'image finale étant à l'infini, un œil normal l'observe sans accommoder, donc sans fatigue, tout en voyant l'objet sous un angle agrandi.
1.2.2. Schéma
Sur l'axe : O1 (centre de L1), puis à 1,20 m le point F'1 = F2, puis à 3 cm plus loin O2 (centre de L2). Les deux lentilles sont convergentes (flèches vers l'extérieur).
1.2.3. Trajet des rayons et image B'
Le faisceau parallèle issu de B converge, après L1, en un point B1 du plan focal image de L1 : B1 est sur le rayon passant par O1 (non dévié), donc sous l'axe, avec F'1B1 = −f'1α. B1 étant dans le plan focal objet de L2, les rayons émergent de L2 parallèles à la droite B1O2 ; ils remontent et font avec l'axe l'angle α' tel que tan α' = −F2B1/f'2 = f'1α/f'2.
L'image B' de l'étoile est donc à l'infini, dans la direction α'.
1.2.4. Grossissement
Avec les angles orientés (incidence −α, émergence α' = f'1α/f'2) : G = −f'1/f'2 = −1,20/0,03 = −40. Le signe « − » traduit le renversement de l'image (lunette astronomique). Si l'on prend, comme le suggère l'énoncé, α non orienté et α' compté depuis l'axe z, on obtient α' = +40 α : dans les deux cas, la lunette multiplie l'angle par 40 en valeur absolue.
1.2.5.1. Position du cercle oculaire
C'est l'image O'1 de O1 par L2. Avec O2O1 = −(f'1+f'2) et la relation de conjugaison 1/O2O'1 − 1/O2O1 = 1/f'2 :
O2O'1 = f'2(f'1+f'2)/f'1 = 3 × 123/120 = 3,075 cm ≈ 3,1 cm derrière l'oculaire (juste après F'2).
1.2.5.2. Diamètre du cercle oculaire
Grandissement : |γ| = O2O'1/|O2O1| = f'2/f'1, d'où d0 = d f'2/f'1 = d/|G| = 12/40 = 0,30 cm = 3 mm.
Commentaire : d0 est inférieur au diamètre de la pupille de l'œil (environ 2 à 8 mm selon la luminosité) : placée au cercle oculaire, la pupille peut recevoir toute la lumière captée par l'objectif.
1.2.5.3. Intérêt du cercle oculaire
Tous les rayons qui traversent la lunette passent par le cercle oculaire (pupille de sortie). En y plaçant l'œil, on recueille le maximum de lumière et on bénéficie du champ maximal : c'est la position optimale de l'œil.
1.2.6.1. Position de la pellicule
La lunette étant afocale, chaque étoile donne en sortie un faisceau parallèle ; L3 le fait converger dans son plan focal image : la pellicule se place dans le plan focal image de L3, en F'3.
1.2.6.2. Construction de A' et B'
A (sur l'axe) : faisceau parallèle à l'axe en sortie de L2, donc A' = F'3. B : faisceau émergent de L2 incliné de α' = f'1α/f'2 (vers le haut) ; on trace le rayon parallèle passant par O3 (non dévié) : il coupe le plan focal image de L3 en B', au-dessus de l'axe. (L'image intermédiaire B1 est renversée ; L3 redresse : B' est du même côté que B.)
1.2.6.3. Taille de l'image
A'B' = f'3 tan α' ≈ f'3 α', soit A'B' = f'1 f'3 α / f'2 = |G| f'3 α (positif avec les conventions ci-dessus).
1.2.6.4. Application numérique
α = 2" = 2/3600 × π/180 ≈ 9,70×10-6 rad. A'B' = 40 × 0,50 × 9,70×10-6 ≈ 1,9×10-4 m ≈ 0,19 mm.
1.2.6.5. Résolution avec la caméra CCD
Pour séparer les deux étoiles, leurs images doivent tomber sur des pixels différents : il faut A'B' ≥ h, soit α ≥ h f'2/(f'1 f'3).
Réponse probable (critère « un pixel ») : αmin = 9×10-6 × 0,03/(1,20 × 0,50) = 4,5×10-7 rad ≈ 0,09". Avec le critère plus exigeant d'un pixel non éclairé entre les deux images (A'B' ≥ 2h), on trouve 9×10-7 rad ≈ 0,19". Remarque : en réalité la diffraction par l'objectif (≈ 1,22 λ/d ≈ 1" pour λ = 0,55 µm) limiterait bien avant ; l'énoncé l'ignore.
2e partie — Interférences par les trous d'Young
2.1. Couleur
λ0 = 0,55 µm correspond au vert-jaune. C'est au voisinage de cette longueur d'onde que l'œil (vision diurne) présente sa sensibilité maximale.
2.2. Conditions d'interférence
Les ondes doivent être cohérentes : même fréquence et déphasage constant dans le temps (en pratique, elles doivent provenir d'une même source ponctuelle), différence de marche inférieure à la longueur de cohérence de la source, et polarisations non orthogonales. En pratique : on divise l'onde issue d'une source unique, soit par division du front d'onde (trous ou fentes d'Young, comme ici), soit par division d'amplitude (lame semi-réfléchissante, interféromètre de Michelson).
2.3. Observation dans le plan focal
On observe, centrées sur l'image géométrique de l'étoile, des franges d'interférence : alternance de bandes brillantes et sombres, rectilignes et équidistantes, parallèles à la direction F'1y (perpendiculaires à T1T2).
2.4. Schéma
Les deux rayons issus de T1 et T2 qui se rencontrent en M (abscisse x du plan focal) sont parallèles entre eux avant L1, et parallèles au rayon passant par O1 et M (non dévié), qui fait avec l'axe l'angle x/f'1.
2.5. Différence de marche
On place T1 en x = +a/2 et T2 en x = −a/2, et l'on note δ(M) = (SM)via T2 − (SM)via T1.
- Avant les trous : l'onde plane incidente descend en faisant l'angle α avec l'axe ; elle atteint T1 avant T2. Le chemin supplémentaire jusqu'à T2 vaut a sin α ≈ aα.
- Après les trous : les rayons qui convergent en M sont parallèles à O1M, inclinés de θ ≈ x/f'1. D'après le théorème de Malus (la lentille n'introduit pas de différence de marche entre un plan d'onde et son point de convergence), le chemin T2M dépasse T1M de a sin θ ≈ a x/f'1.
δ(M) = a (α + x/f'1).
δ s'annule en x = −f'1α : la frange centrale est sur l'image géométrique de l'étoile (sous l'axe pour un rayon descendant). Si l'on compte α comme un angle orienté (ici négatif), on écrit δ = a(x/f'1 − α) : c'est la même relation.
2.6. Intensité
Deux ondes cohérentes de même amplitude : I(M) = (I0/2)[1 + cos(2πδ/λ0)], soit
I(M) = (I0/2) [1 + cos(2π a (x/f'1 + α)/λ0)] = I0 cos2[π a (x/f'1 + α)/λ0].
2.7. Nature des franges, interfrange
I ne dépend que de x : les franges sont des droites parallèles à F'1y (perpendiculaires à T1T2), équidistantes, centrées sur x = −f'1α. Période en x : i = λ0 f'1/a (par exemple, i ≈ 0,66 mm pour a = 1 mm, ou 66 µm pour a = 1 cm, avec f'1 = 1,20 m).
2.8.1. Brouillage simple
Les deux étoiles sont incohérentes entre elles : chacune donne son propre système de franges, de même interfrange i. Celui de A (sur l'axe) est centré en x = 0, celui de B en x = −f'1α : ils sont décalés de f'1α. L'éclairement devient uniforme quand les franges brillantes de l'un tombent sur les franges sombres de l'autre, c'est-à-dire pour un décalage d'une demi-interfrange : f'1α = λ0f'1/(2a), d'où a1 = λ0/(2α).
2.8.2. Somme des intensités
Les vibrations émises par deux étoiles distinctes n'ont aucune relation de phase (sources incohérentes) : le terme d'interférence entre elles a une moyenne temporelle nulle, on additionne donc les intensités :
I(x) = (I0/2)[1 + cos(2πax/(λ0f'1))] + (I0/2)[1 + cos(2πa(x/f'1 + α)/λ0)]
I(x) = I0 [1 + cos(π a α/λ0) · cos(2π a (x/f'1 + α/2)/λ0)].
Allure : sinusoïde de période i = λ0f'1/a autour de la valeur moyenne I0, centrée en x = −f'1α/2, d'amplitude I0|cos(πaα/λ0)| (franges moins contrastées qu'avec une seule étoile).
2.8.3. Visibilité
Imax = I0(1 + |cos(πaα/λ0)|), Imin = I0(1 − |cos(πaα/λ0)|), d'où V = |cos(π a α/λ0)|.
Allure de V(a) : V = 1 pour a = 0, décroît et s'annule pour a = λ0/(2α), puis « rebondit » ; courbe en |cos| de période λ0/α, avec des zéros en a = (2k+1)λ0/(2α).
2.8.4. Premier brouillage
Brouillage ⇔ V = 0 ⇔ πaα/λ0 = π/2 + kπ. La plus petite valeur est a1 = λ0/(2α) : on retrouve le résultat de 2.8.1.
2.8.5. Application numérique
a1 = 0,55×10-6/(2 × 9,70×10-6) ≈ 2,8×10-2 m = 2,8 cm. Cette valeur est inférieure au diamètre de l'objectif (12 cm) : en écartant progressivement les trous jusqu'à la disparition des franges, on mesure l'écart angulaire de l'étoile double (principe de l'interférométrie stellaire).
Problème II — Principe d'un teslamètre
1re partie — Effet Hall classique
1.1. Vitesse des porteurs
j = n q v ⇒ v = j/(n q) ex = −(j/(n e)) ex : les électrons se déplacent dans le sens opposé au courant.
1.2. Champ de Hall
En régime permanent, la trajectoire des électrons est rectiligne selon Ox : la composante transverse de la force est nulle, q(EH + v ∧ B) = 0, donc EH = −v ∧ B = (j/(ne)) ex ∧ B, soit EH = (1/(ne)) j ∧ B.
Avec j = j ex et B = B ez : EH = (jB/(ne)) ex ∧ ez = −(jB/(ne)) ey : direction Oy, sens des y décroissants.
1.3. Tension de Hall
D'après la figure, A1 est sur la face y = +b/2 et A2 sur la face y = −b/2. UH = V(A1) − V(A2) = −∫A2A1 EH·dl = (jB/(ne))·b. Avec j = I/(b h) : UH = I B/(n e h), donc
UH = CH I B/h avec CH = 1/(n e), en m3.C-1.
Vérification physique : les électrons sont déviés vers la face A2, qui se charge négativement : UH > 0.
1.4. Application numérique (InSb)
UH = 375×10-6 × 1 × 0,1/(0,1×10-3) = 0,375 V ≈ 0,38 V.
n = 1/(e CH) = 1/(1,6×10-19 × 375×10-6) ≈ 1,7×1022 électrons/m3 (environ 5 millions de fois moins que dans le cuivre : d'où une tension de Hall élevée).
2e partie — Principe d'un teslamètre
2.1.1. Propriétés de l'AO réel
- Gain différentiel en boucle ouverte très grand : μ0 ≈ 105 à 106 (vs = μ ε en régime linéaire) ;
- résistance d'entrée très grande : 106 à 1012 Ω, donc courants d'entrée i+, i− très faibles (pA à nA) ;
- résistance de sortie faible : quelques dizaines d'ohms ;
- bande passante limitée (produit gain × bande ≈ 1 MHz), vitesse de balayage limitée (≈ 1 V/µs) ;
- tension de sortie limitée à ±Vsat ≈ ±VCC, courant de sortie limité (≈ 20 mA).
2.1.2. AO parfait
μ0 → ∞, résistance d'entrée infinie (i+ = i− = 0), résistance de sortie nulle, bande passante infinie.
2.1.3. Fonctionnement linéaire
Il faut |vs| < Vsat, ce qui suppose en pratique une rétroaction sur l'entrée inverseuse. Conséquence pour un AO parfait : vs fini et μ0 infini imposent ε = 0, soit V+ = V−.
2.2. Circuit (C1)
Aucun courant n'entre dans l'entrée +. Théorème de Millman au nœud commun à R1 et R2 : V+ = (VCC/R1 − VCC/R2)/(1/R1 + 1/R2). L'AO est monté en suiveur (u1 = V− = V+) :
u1 = VCC (R2 − R1)/(R1 + R2).
Nature : source de tension continue réglable (diviseur de tension suivi d'un suiveur) ; elle fournit une tension de référence indépendante de la charge, qui servira à compenser le terme αVCC du capteur.
2.3.1. Lien entre u2 et uC
Sortie reliée à l'entrée − : V− = u2 = V+ = uC, donc u2 = uC.
2.3.2. Intérêt de (C2)
C'est un montage suiveur (adaptateur d'impédance). Résistance d'entrée infinie (i+ = 0) : il ne prélève aucun courant au capteur, dont la tension n'est donc pas modifiée ; résistance de sortie nulle : u2 ne dépend pas de l'étage suivant.
2.4.1. Expression de u5
AO de sortie (soustracteur) : V+ = u4 R5/(R4+R5) (diviseur) ; V− = (u3R5 + u5R4)/(R4+R5) (Millman). V+ = V− donne
u5 = (R5/R4)(u4 − u3).
2.4.2. Expressions de u3 et u4
Les entrées − des deux AO d'entrée sont aux potentiels u1 (haut) et u2 (bas). La résistance R est donc parcourue, de haut en bas, par i = (u1 − u2)/R, courant qui traverse aussi les deux résistances R3 (aucun courant dans les entrées) :
- u3 − u1 = R3 i ⇒ u3 = (1 + R3/R) u1 − (R3/R) u2 ;
- u2 − u4 = R3 i ⇒ u4 = (1 + R3/R) u2 − (R3/R) u1.
2.4.3. u5 en fonction de u1 et u2
u4 − u3 = (1 + 2R3/R)(u2 − u1), d'où
u5 = (R5/R4)(1 + 2R3/R)(u2 − u1).
2.4.4. Intérêt de (C3)
C'est un amplificateur d'instrumentation. Par rapport au soustracteur à un seul AO : ses deux entrées (entrées + des AO) ont une résistance d'entrée infinie et identique (le soustracteur simple présente des résistances d'entrée finies et différentes, R4 et R4+R5, qui chargent les sources) ; le gain différentiel se règle avec une seule résistance R sans toucher à l'équilibrage ; la réjection du mode commun est meilleure.
2.5.1. Circuit (C4)
V− = V+ = u5. Courant dans R6 : u5/R6, qui traverse aussi R7. Potentiel du nœud N (R7, R8, R9) : VN = u5(1 + R7/R6). Loi des nœuds en N : (uS − VN)/R8 = VN/R9 + u5/R6. D'où
uS = u5 [ (1 + R7/R6)(1 + R8/R9) + R8/R6 ].
Nature : amplificateur non inverseur (gain G4 > 1, positif), avec un réseau de contre-réaction en T.
2.5.2. Condition de linéarité
|uS| < Vsat ⇔ |u5| < Vsat/G4 = 15 V/G4, avec G4 le facteur entre crochets.
2.5.3. Intérêt de (C4)
Avec un non-inverseur simple, G = 1 + Rb/Ra : un grand gain exige un rapport de résistances très élevé (résistances de très forte valeur, sensibles au bruit et aux courants de fuite). Le réseau en T permet d'obtenir un gain élevé avec des résistances de valeurs raisonnables, tout en gardant une résistance d'entrée infinie.
2.6.1. Chaîne complète
u2 = uC ; u5 = G3(uC − u1) avec G3 = (R5/R4)(1 + 2R3/R) ; uS = G4u5. Donc uS = A(uC − u1) avec
A = (R5/R4)(1 + 2R3/R) [ (1 + R7/R6)(1 + R8/R9) + R8/R6 ].
2.6.2. Condition uS = KB
uS = A(αVCC + βB − u1) est proportionnel à B si u1 = αVCC, c'est-à-dire (R2 − R1)/(R1 + R2) = α, soit R2/R1 = (1 + α)/(1 − α) (réglage du zéro). Alors
K = A β = β (R5/R4)(1 + 2R3/R) [ (1 + R7/R6)(1 + R8/R9) + R8/R6 ].
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
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