نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2005: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun

École Hassania des Travaux Publics
EHTP

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Écoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2005

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière TSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2005 - Filière TSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Champ magnétique et propriétés de la matière

On se propose dans ce problème d'étudier, à travers deux exemples différents, comment
un champ magnétostatique externe peut agir sur certaines propriétés de la matière. C’est ainsi
que le problème aborde d’abord l’action d’un champ magnétique sur les charges d’un faisceau
électronique. Ensuite, on s'intéresse à la modification du spectre d'émission d’un atome sous l’action
d’un champ magnétique extérieur. Toutes les questions du problème seront abordées dans le cadre
de la théorie classique non relativiste et non quantique. Dans toute cette étude, le référentiel du
laboratoire sera considéré comme galiléen.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).

Données utiles
e Charge élémentaire : ‏ع‎ = 1,6x10-"? C.
٠ Masse de l’électron : me = 9,1 x 1073! kg.
+ Perméabilité magnétique du vide : ‏مير‎ = 4x x 1077 Ham.

e Célérité de la lumière dans le vide : ‏و‎ = 3x 108 ‏قم‎

1°'° partie
Faisceau électronique

Un électron, d’un faisceau électronique, de masse me et de charge q = —e est animé d’un
mouvement rectiligne uniforme à la vitesse ‏.و77‎ À l’instant pris comme origine des temps t = 0,
il pénètre une région de l’espace où règne un champ magnétostatique uniforme 72 =B 7 .
suppose que la vitesse initiale 70 n’a pas de composante non nulle suivant la direction du champ
magnétostatique B. On négligera le poids de l’électron.

1.1. Nature de la trajectoire et application

1.1.1. Écrire le théorème de la résultante cinétique pour l’électron considéré.

1.1.2. En projetant l'équation obtenue, d'abord sur la direction du champ magnétique, puis
ensuite sur le vecteur vitesse instantanée, montrer que la trajectoire de l’électron est plane et que le
module de la vitesse de l’électron reste constant au cours du mouvement.

Épreuve de Physique I 1.7/7 Tournez la page S.V.P.

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1.1.3. Quelle est la nature de la trajectoire de l’électron ? La dessiner en l’orientant relativement
au champ magnétique B.

1.1.4. Exprimer son rayon de giration R en fonction de me, e, B et du module ‏ون‎ de Vo

1.1.5. Montrer que la période T du mouvement de l’électron s'exprime simplement en fonction
de la pulsation cyclotron définie par :

_ 48

Calculer numériquement 7 dans le cas d’un électron plongé dans un champ magnétique B =
5410-3 1

1.1.6. L'électron, initialement émis avec une vitesse négligeable, est accéléré sous une différence
de potentiel AV = 10 kV. Il décrit une trajectoire circulaire de diamètre D = 13, 4 cm dans la région
de l’espace où règne un champ magnétostatique de module B = 5x 107% 1. Exprimer la charge

2

spécifique de l’électron donnée par le rapport 77 en fonction de B, D et AV. Commenter le résultat

numérique obtenu et préciser les éventuelles sources d'incertitude.
1.1.7. Comment mesure-t-on la charge électrique de l’électron ?

1.1.8. Vérifier à l’aide d’un calcul numérique, que le poids de l’électron est effectivement
négligeable devant la force de LORENTZ.

1.1.9. Sans faire de calcul supplémentaire, dessiner la trajectoire de l’électron dans la région où

règne le champ magnétostatique B = B 7, lorsque la vitesse initiale V0 possède une composante
non nulle suivant l'axe Oz. Quelle est sa nature ?

1.2. Stabilité de la trajectoire électronique

On se propose d'étudier la stabilité de la trajectoire électronique circulaire initiale décrite dans
le plan 2 = 0. Pour cela on se place en coordonnées cylindriques (r, 0, =) d’axe Oz et on pose :

0
À A ma dé a

où w = q B/me. Les trois grandeurs algébriques ‏رثن‎ ég(t) et =(t) seront considérées comme des
infiniment petits de même ordre et nuls à + = 0. On rappelle l'expression de l'accélération @ en
coordonnées cylindriques :

1.2.1. Écrire le théorème de la résultante cinétique en projection sur les vecteurs de base ‏مل‎
‏وله‎ et ‏ول‎ des coordonnées cylindriques.

1.2.2. En se limitant aux termes d’ordre un, montrer que la projection sur ‏و7‎ conduit à une
relation simple entre €, et és.

1.2.3. Montrer alors que la projection sur d, permet d’obtenir une équation différentielle de
second ordre vérifiée par e,(t).

1.2.4. Donner la solution €,(t) de l'équation différentielle précédente en tenant compte des con-
ditions initiales et en déduire ép(t). Le mouvement radiale suivant ‏ل‎ et le mouvement orthoradial
suivant ‏و ل‎ sont-ils stables ?

Épreuve de Physique I 2/7 ‏هب‎

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125. Qu'en est-il de la stabilité du mouvement axial suivant Oz ?

gème

partie
Effet ZEEMAN

2.1. Théorème de Larmor

Considérons un électron atomique de masse me et de charge q = —e en mouvement orbital
autour du noyau supposé fixe dans le référentiel du laboratoire R, L'électron est soumis de la part
de son entourage à l’action d’un champ électrostatique £.

2.1.1. Exprimer l'accélération 7 ‏و‎ d’un tel électron relativement au référentiel R du laboratoire
en fonction de me, q et 7

2.1.2. L'électron est en plus soumis à l’action d’un champ magnétostatique uniforme B =
B ‏و‎ . Exprimer son accélération 7 en fonction de Me, 9, 72: et de la vitesse 7 de l’électron
par rapport au référentiel du laboratoire.

2.13. On considère un référentiel R en rotation uniforme par rapport à R, On désigne par 9
le vecteur rotation instantané de R par rapport à Ret on note @' (resp. V') l'accélération (resp. la
vitesse) de l’électron relativement au référentiel R'. On rappelle les formules de composition des
vitesses et des accélérations :

)4( د 7

7 dun ui ‏تومه‎ (5)

‎2.1.3.1. En utilisant les résultats précédents, exprimer Z' en fonction de me, q, 2: B, à, ”'
et 7.

2.1.3.2. Montrer que par un choix judicieux de 3, l’accélération &' de l’électron relativement
au référentiel R est donnée par :

me 4 ‏و + 7 وح‎ 2 x 3 x 7) (6)

4Me

Un tel choix définit le référentiel de LARMOR relatif au champ magnétostatique 72 1

On se propose d'examiner l’ordre de grandeur des deux termes qui constituent le second
membre de (6). Pour cela on considère le cas simple de l'atome d'hydrogène.

2.1.3.3.  Exprimer le champ électrostatique É créé par le noyau de l'atome d'hydrogène.
2.13.4. En déduire que le rapport o des deux termes du second membre de (6) peut être
majoré par :
x 3

1066 Mme

max =

2.1.3.5. Compte tenu des ordres de grandeurs des dimensions atomiques (r = 10-19 m) et
des champs magnétostatiques qui peuvent être créés au laboratoire (B = 1 T), vérifier à l’aide d’un
calcul numérique, que emax ›› 1. Montrer alors que :

me d'=q 72 (8)

Épreuve de Physique I 3/7 Tournez la page S.V.P.

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2.1.4. En déduire le théorème de LARMOR : le mouvement électronique dans le référentiel de LAR-
MOR après établissement du champ magnétostatique 5, est identique au mouvement existant normalement
en l'absence de champ magnétique dans le référentiel du laboratoire par rapport auquel le référentiel de LAR-
MOR est animé d’un mouvement de rotation uniforme de vecteur rotation instantané © donné par :

271

2.2. Oscillateur harmonique spatial

Dans le cadre de la théorie classique de l'émission de la lumière par les atomes, l’électron est
élastiquement lié au noyau à l’aide de la seule force de rappel 7 donnée par :

7 = 17107 7? (10)
‏ومس‎ étant une constante positive.

2.2.1. Montrer que, dans le cas général, le mouvement est plan. Peut-il être rectiligne ? Dans
quel cas ? Par la suite on considérera le cas général.

2.2.2. Dans cette question, on se place dans le plan de la trajectoire. On note r et 0 les
coordonnées polaires de l’électron dans ce plan et 7 le vecteur unitaire perpendiculaire au plan
de la trajectoire.

2.2.2.1. Exprimer la projection ‏ه‎ sur ‏له‎ du moment cinétique de l’électron en fonction de me,
retô.

2.2.2.2. Montrer que l'énergie mécanique de l’électron peut s’écrire sous la forme :
E= 5m #2 + Ucre(r) (11)
et exprimer Uerr(r) en fonction de me, ‏روم‎ 0 et r. On pourra prendre l’origine de l'énergie potentielle
enr =0.

2.2.23. Représenter graphiquement Uer(r) et en déduire la nature de la trajectoire de
l’électron. On montrera auparavant que l'énergie mécanique est une constante du mouvement.

2.2.2.4. La trajectoire peut-elle être circulaire ? Quel est son rayon dans ce cas ? Quelle est
l'énergie mécanique correspondante ?

2.2.3. Écrire le théorème de la résultante cinétique et en déduire l'expression du vecteur
position 7 (t) de l’électron en fonction de 7 (0), 7 (0), wo et +

2.2.4. On s'intéresse au mouvement de l’électron le long de l'axe Oz.
2.2.4.1. Donner l'expression de z(t) en fonction de z(0), #(0), ‏وه‎ et t.

2.2.4.2. Montrer que la représentation complexe de la composante suivant l'axe Oz du
déplacement de l’électron peut s’écrire sous la forme :

et donner les expressions du module Z et de l'argument Ç en fonction de z(0), #(0) et wo.

2.2.5. De même, la représentation complexe de la composante du déplacement de l’électron le
long de l'axe Or peut s’écrire :

Épreuve de Physique I 4/7 ‏ب‎

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2.2 5.1. Montrer que l'on peut toujours écrire :

et exprimer A’ en fonction de A.

2.25.2. En déduire que la composante suivant Ox du mouvement de l’électron peut se
décomposer en un mouvement circulaire dans le sens direct (ou circulaire gauche) et un mouvement
circulaire dans le sens rétrograde (ou circulaire droit).

2.2.6. Montrer de même que la composante suivant Oy du mouvement de l’électron peut se
décomposer en un mouvement circulaire gauche et un mouvement circulaire droit. On prendra :

2.2.7. Plus généralement, considérons le mouvement de l’électron dans le plan perpendiculaire
à l'axe Oz décrit par :

2.2.7.1. Montrer que l’on peut écrire :
Pt) = 2,17 +i À) ‏أ 4 وم 1- دونع‎ —i dy) exp —iwot (17)

et donner les expressions de R, et R, en fonction de À, B, a et /.

2.2.7.2. Quelle est ainsi la nature du mouvement le plus général dans le plan xOy ?

2.3. Changements de fréquence dus à la rotation de Larmor

On se propose d'étudier l'influence d’un champ magnétostatique B=B À; uniforme sur le
mouvement de l’électron atomique. L'étude précédente (2.2.) a montré que le mouvement le plus
général d’un tel électron peut être décomposé en :

— un mouvement rectiligne sinusoïdal le long de l'axe Oz de pulsation wo ;

- deux mouvements circulaires l’un gauche, l’autre droit dans le plan perpendiculaire à l'axe
Oz de même pulsation wo.

Nous allons donc étudier l'influence du champ magnétostatique B=B ‏وله‎ sur chacune des
trois composantes de ce mouvement.

2.3.1. Écrire le théorème de la résultante cinétique relativement au référentiel du laboratoire,
pour l’électron atomique soumis à l’action du champ magnétostatique B i

2.3.2. Montrer que la composante suivant Oz du mouvement de l’électron n’est pas modifiée
par l'application du champ magnétostatique.

2.3.3. Donner les projections du théorème de la résultante cinétique selon 02 puis selon Oy.

2.3.4. Considérons maintenant la composante du mouvement circulaire dans le sens direct ou
gauche. D’après le théorème de LARMOR, en présence du champ magnétostatique, la trajectoire
reste circulaire. Elle est décrite à la pulsation w+ dans le sens direct.

2.3.4.1. Donner sans démonstration les expressions de x(t) et y(t) pour un tel mouvement.
Exprimer alors ÿ(t) en fonction de x(t) ‏دسا‎

Épreuve de Physique I 5/7 Tournez la page S.V.P.

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2.3.4.2. Montrer que w, est solution de l'équation :

wi = ww, wi = =0 (18)
2.3.4.3. Donner un ordre de grandeur de ‏وه‎ dans le domaine visible ainsi que du rapport
e B/me pour un champ fort (B = 1 T). Commenter.

2.3.4.4... En déduire l'expression approchée du décalage en fréquence Av; = (w4 — wo)/27.
Le résultat obtenu est-il en accord avec le théorème de LARMOR ? Expliquer.

2.3.5. Reprendre l'étude précédente pour la composante circulaire rétrograde de pulsation
modifiée w_ et déterminer l'expression approchée du décalage en fréquence correspondant Ay_ =
(w_ — wo)/2 x. Comparer Av; et Av_. Expliquer comment le résultat obtenu est-il en accord avec le
théorème de LARMOR.

2.4. Conséquence sur les raies d’émission de l’atome

Selon la théorie classique du rayonnement, lorsque l’électron oscille à la pulsation w, l'atome
acquiert un moment dipolaire électrique instantané 7 (t) = —e P(t). 11 rayonne alors à grande

distance une onde électromagnétique (€, B) donnée, au point M par :

‎2 0 8

007 - ‏ب خخ‎ et B = OÙ l’origine © étant prise au centre de l'atome.

‎2.4.1. On s’intéresse tout d'abord au mouvement de l’électron le long de l'axe Oz en l'absence
de tout champ magnétostatique extérieur.

‎2.4.1.1. Trouver l'expression de 2 en coordonnées sphériques d'axe Oz. On prendra p(t) =
Poexp -1

‎2.4.1.2. Montrer que dans une direction d'observation À quelconque, le champ électrique
rayonné est proportionnel à la projection de F7 sur le plan perpendiculaire à A appelé plan
d'observation dans la suite. Quelle est la polarisation d’une telle onde ?

‎2.4.1.3. Que vaut le champ électromagnétique rayonné par un tel dipôle dans la direction de
son axe ? Dans une direction perpendiculaire à son axe ?

‎2.42. Montrer que, plus généralement, la polarisation du champ électrique rayonné à grande
distance par un dipôle oscillant quelconque, c’est-à-dire pas nécessairement rectiligne le long de Oz,
est celle du vecteur projection de son moment dipolaire instantané 7 sur le plan d'observation.

‎2.43.  L'atome est soumis à l’action d’un champ magnétostatique 7 uniforme. On s’intéresse à
l'émission de lumière dans une direction À perpendiculaire à B ou, ce qui revient au même, dans
un plan d'observation parallèle à

‎2.4.3.1. Montrer que, pour une raie donnée de fréquence initiale vo = wo/2 (en l'absence de
B), la lumière émise est constituée de trois radiations dont on donnera les fréquences.

‎2.4.3.2. Quelle est l’état et la direction de polarisation de chacune de ses trois raies ?

‎2.4.3.3. Quelles sont les intensités relatives de ces trois raies ?

‎Épreuve de Physique I 6/7 ‏ب‎

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2.4.4. On s'intéresse à présent à l'émission de lumière, sous le même champ magnétostatique,
dans une direction À parallèle à 5 ou, ce qui revient au même, dans un plan d'observation
perpendiculaire à 5.

2.441. De combien de raies la lumière émise est-elle constituée ?
2.442. Déterminer l’état de polarisation et l'intensité relative des raies observées.

2.45. On plonge une lampe à vapeur de cadmium dans un champ magnétostatique uniforme
et on sélectionne la radiation rouge de longueur d’onde AY = 643,8 nm à l’aide d’un filtre
interférentiel adéquat de bande passante de largeur 10 nm. Dans une direction d’observation
donnée, une telle radiation se décompose par effet ZEEMAN en trois raies de longueurs d’onde
voisines ‏ول رملا‎ + AA et ‏ول‎ — AA. La figure 1 donne les variations de AA en fonction du champ
magnétostatique appliqué.

20
18
16

0

10° x AM

0,0 0,1 02 0,3 0,4 0,5 0,6

Figure 1: Variation de la longueur d'onde avec le champ magnétique.

2.4.5.1. Exprimer PS en fonction de B, ‏رما‎ €, Me et Co.
0

2.45.2. En déduire la valeur du rapport e/me.

2.4.5.3... Comment pourrait-on mesurer AA dans la pratique ?

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique I 747 FIN

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