نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2009: الرياضيات 2 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), session 2009, filière TSI (accès aux écoles d'ingénieurs après les classes préparatoires). Énoncé de 3 pages, calculatrice interdite. Le problème porte sur l'application d'évaluation f_m : P ↦ (P(x₀), …, P(x_n)), l'interpolation de Lagrange puis l'approximation polynomiale au sens des moindres carrés. Voici une correction proposée, question par question.

💡 Le fil rouge : un polynôme de degré ≤ n qui s'annule en n+1 points distincts est nul. Presque toutes les questions d'injectivité (Parties 1 et 2) reposent sur ce seul résultat : citez la question 1 à chaque fois.

1ère Partie : Étude de l'application f_m

1.

R ∈ P_n admet les n+1 racines distinctes x₀, …, x_n. Un polynôme non nul de degré d ≤ n a au plus d ≤ n racines ; R a donc plus de racines que son degré ne le permet : R = 0.

2.

Pour P, Q ∈ P_m et λ ∈ ℝ : (λP+Q)(x_i) = λP(x_i) + Q(x_i) pour tout i, donc f_m(λP+Q) = λf_m(P) + f_m(Q) : f_m est linéaire (de P_m dans ℝⁿ⁺¹).

3. Cas m ≥ n+1

(a) ⊇ : si Q ∈ P_m−n−1, deg(Qπ) ≤ (m−n−1)+(n+1) = m, donc Qπ ∈ P_m, et (Qπ)(x_i) = Q(x_i)·0 = 0 : Qπ ∈ Ker f_m.
⊆ : soit P ∈ Ker f_m. Division euclidienne par π (de degré n+1) : P = Qπ + R avec deg R ≤ n. Comme deg P ≤ m, deg Q = deg P − (n+1) ≤ m−n−1 (ou Q = 0). Alors R(x_i) = P(x_i) − Q(x_i)π(x_i) = 0 pour tout i, et R ∈ P_n, donc R = 0 par la question 1 : P = Qπ.
Conclusion : Ker f_m = {Qπ ; Q ∈ P_m−n−1}.

(b) Intersection : si P ∈ Ker f_m ∩ P_n, alors P ∈ P_n s'annule en tous les x_i, donc P = 0 (question 1).
Somme : tout P ∈ P_m s'écrit P = Qπ + R (division euclidienne) avec Qπ ∈ Ker f_m (vu en (a)) et R ∈ P_n.
Donc P_m = Ker f_m ⊕ P_n.

(c) dim Ker f_m = dim P_m − dim P_n = (m+1) − (n+1) = m − n.
L'application Q ↦ Qπ est linéaire et injective (π ≠ 0, ℝ[X] intègre) de P_m−n−1 sur Ker f_m ; elle envoie la base (1, X, …, X^m−n−1) sur une base : (π, Xπ, X²π, …, X^m−n−1π) est une base de Ker f_m (m−n vecteurs, cohérent avec la dimension).

(d) Théorème du rang : rg f_m = dim P_m − dim Ker f_m = (m+1) − (m−n) = n+1 = dim ℝⁿ⁺¹. Donc Im f_m = ℝⁿ⁺¹ : f_m est surjective.

4. Cas m ≤ n

(a) Si f_m(P) = 0, P ∈ P_m ⊂ P_n s'annule en x₀, …, x_n, donc P = 0 (question 1) : Ker f_m = {0}, f_m est injective.

(b) Ker f_m = {0} et, par le théorème du rang, rg f_m = dim P_m = m+1.

(c) f_m est surjective ⇔ rg f_m = n+1 ⇔ m+1 = n+1 ⇔ m = n. (Avec la question 3 : f_m est surjective si et seulement si m ≥ n.)

5. Polynômes de Lagrange

(a) L_i est le produit de n facteurs de degré 1 (j ≠ i, j ∈ {0,…,n}) divisé par la constante non nulle ∏_j≠i(x_i−x_j) (les x_j sont distincts) : deg L_i = n.
Si k ≠ i, le facteur (X − x_k) figure dans le produit, donc L_i(x_k) = 0. Si k = i, chaque facteur vaut (x_i−x_j)/(x_i−x_j) = 1, donc L_i(x_i) = 1. D'où L_i(x_k) = δ_i,k.

(b) f_n(L_i) = (δ_i,0, …, δ_i,n) = e_i, i-ième vecteur de la base canonique (indices de 0 à n). La famille (f_n(L₀), …, f_n(L_n)) est donc la base canonique de ℝⁿ⁺¹.

(c) Si Σ a_iL_i = 0, en appliquant f_n (linéaire) : Σ a_ie_i = 0, donc tous les a_i sont nuls : la famille est libre. Elle compte n+1 = dim P_n vecteurs : (L₀, …, L_n) est une base de P_n.

(d) i. D'après 4.(a) et 4.(c) avec m = n, f_n est injective et surjective, donc bijective de P_n sur ℝⁿ⁺¹ : il existe un unique P_y ∈ P_n tel que f_n(P_y) = y.
ii. Q = Σ_i y_iL_i ∈ P_n et f_n(Q) = Σ y_ie_i = y ; par unicité, P_y = y₀L₀ + y₁L₁ + … + y_nL_n.

2ème Partie : Approximation polynomiale au sens des moindres carrés

A. Cas m ≥ n+1

1. On prend Q₀ = P_y = Σ y_iL_i : deg Q₀ ≤ n ≤ m donc Q₀ ∈ P_m, et Q₀(x_i) = y_i pour tout i. Donc Φ_m(Q₀) = Σ (y_i − y_i)² = 0.

2. Φ_m(P) est une somme de carrés, donc Φ_m(P) ≥ 0 = Φ_m(Q₀) : λ_m = 0.
Φ_m(P) = 0 ⇔ P(x_i) = y_i pour tout i ⇔ f_m(P) = f_m(Q₀) ⇔ P − Q₀ ∈ Ker f_m. Le minimum est atteint exactement sur Q₀ + Ker f_m = {Q₀ + Qπ ; Q ∈ P_m−n−1} (un sous-espace affine de dimension m−n).

B. Cas m ≤ n

1. (^t(M+N))_ij = (M+N)_ji = M_ji + N_ji = (^tM)_ij + (^tN)_ij, donc ^t(M+N) = ^tM + ^tN.
Pour M' ∈ M_p,q, N' ∈ M_q,r (i ≤ r, j ≤ p) : (^t(M'N'))_ij = (M'N')_ji = Σ_k=1^q M'_jkN'_ki = Σ_k (^tN')_ik(^tM')_kj = (^tN' ^tM')_ij. Donc ^t(M'N') = ^tN' ^tM'.

2. (a) La ligne i de A est (1, x_i, …, x_i^m), donc (Av)_i = Σ_k=0^m v_kx_i^k = P_v(x_i) : Av = ^t(P_v(x₀), P_v(x₁), …, P_v(x_n)) (c'est f_m(P_v) écrit en colonne).
(b) Si Av = 0, P_v ∈ P_m ⊂ P_n (car m ≤ n) s'annule en n+1 points distincts, donc P_v = 0 (question 1 de la 1ère partie) : tous ses coefficients v_k sont nuls, v = 0.

3. ^tuu = Σ_i=0ⁿ u_i² (matrice 1×1 identifiée à un réel). Somme de carrés : ^tuu ≥ 0, et ^tuu = 0 ⇔ chaque u_i² = 0 ⇔ u = 0.

4. (a) ^tuu = ^t(Av)(Av) = ^tv ^tA A v = ^tv (^tAAv) = ^tv·0 = 0 (question 1). Par la question 3, u = Av = 0, puis par 2.(b), v = 0.
(b) ^tAA ∈ M_m+1(ℝ) est carrée et, d'après (a), Ker(^tAA) = {0}. Donc rg(^tAA) = m+1 et ^tAA est inversible.
(c) En numérotant lignes et colonnes de 0 à m : (^tAA)_jk = Σ_i=0ⁿ A_ijA_ik = Σ_i=0ⁿ x_i^j+k, 0 ≤ j, k ≤ m. Notant s_p = Σ_i x_i^p, c'est la matrice de Hankel (s_j+k), avec s₀ = n+1 en haut à gauche.

5. M = ^tAA est inversible (4.(b)), donc MZ = c ⇔ Z = M⁻¹c : solution unique w = M⁻¹c = (^tAA)^{−1 t}Ab.

6. (a) Par la question 1, ^t(b−Av) = ^tb − ^tv ^tA. En développant : g(v) = ^tbb − ^tbAv − ^tv ^tAb + ^tv ^tAAv.
Pour v = w, ^tAAw = ^tAb, donc ^tw ^tAAw = ^tw ^tAb et les deux derniers termes se compensent : g(w) = ^tbb − ^tbAw.

(b) g(v) − g(w) = −^tbAv − ^tv ^tAb + ^tv ^tAAv + ^tbAw.
Or ^tAb = ^tAAw, et ^tbA = ^t(^tAb) = ^t(^tAAw) = ^tw ^tAA (car ^tAA est symétrique). En posant S = ^tAA :
g(v) − g(w) = −^twSv − ^tvSw + ^tvSv + ^twSw = ^t(w−v) S (w−v), d'où g(v) − g(w) = ^t(w−v) ^tAA (w−v).

(c) Avec u = A(w−v) : ^t(w−v) ^tAA(w−v) = ^tuu ≥ 0 (question 3), donc g(v) ≥ g(w). Égalité ⇔ ^tuu = 0 ⇔ A(w−v) = 0 (question 3) ⇔ w − v = 0 (question 2.(b)) ⇔ v = w.

7. Aw ∈ F. Pour tout Av ∈ F : <Av, b − Aw> = ^tv ^tA(b − Aw) = ^tv(^tAb − ^tAAw) = 0. Donc b − Aw ∈ F^⊥ : Aw est la projection orthogonale de b sur F.
g(w) = ^t(b−Aw)(b−Aw) = ‖b − Aw‖² : c'est le carré de la distance de b au sous-espace F, d(b, F)².

8. V_P est le vecteur des coefficients de P, donc P_VP = P et, par 2.(a), AV_P = ^t(P(x₀), …, P(x_n)). Les composantes de b − AV_P sont y_i − P(x_i), i = 0, …, n. Par la question 3 : g(V_P) = Σ_i (y_i − P(x_i))² = Φ_m(P).

9. (a) Pour P ∈ P_m : Φ_m(P) = g(V_P) ≥ g(w) = g(V_Pw) = Φ_m(P_w) (6.(c) et 8, car V_Pw = w). Égalité ⇔ V_P = w ⇔ P = P_w (un polynôme est déterminé par ses coefficients).
(b) λ_m = Φ_m(P_w) = g(w) = ^tbb − ^tbAw = Σ y_i² − Σ y_iP_w(x_i) = d(b, F)².

10. Application (n = 3, m = 2)

Points : (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0).

(a) A = [[1, −1, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 1], [1, 2, 4]] (lignes (1, x_i, x_i²)).
Sommes : s₀ = 4, s₁ = −1+0+1+2 = 2, s₂ = 1+0+1+4 = 6, s₃ = −1+0+1+8 = 8, s₄ = 1+0+1+16 = 18. D'après 4.(c) :

(b) ^tAb = (Σy_i, Σx_iy_i, Σx_i²y_i) = (1+2+1+0, −1+0+1+0, 1+0+1+0) = (4, 0, 2).

(c) Système en Z = (a, b, c) (après division des équations par 2) :

• L₁ : 2a + b + 3c = 2
• L₂ : a + 3b + 4c = 0
• L₃ : 3a + 4b + 9c = 1

Pivot a dans L₂ : L₁ − 2L₂ : −5b − 5c = 2 ; L₃ − 3L₂ : −5b − 3c = 1. Différence : 2c = −1, donc c = −1/2 ; puis b = −2/5 − c = −2/5 + 1/2 = 1/10 ; enfin a = −3b − 4c = −3/10 + 2 = 17/10.
Vérification dans L₁ : 34/10 + 1/10 − 15/10 = 2. Solution : w = (17/10, 1/10, −1/2).

(d) P₀(t) = 17/10 + t/10 − t²/2.
Valeurs aux points : P₀(−1) = 1,1 ; P₀(0) = 1,7 ; P₀(1) = 1,3 ; P₀(2) = −0,1. Résidus y_i − P₀(x_i) : −0,1 ; 0,3 ; −0,3 ; 0,1.
λ₂ = 0,01 + 0,09 + 0,09 + 0,01 = 0,2 = 1/5 (même résultat par ^tbb − ^tbAw = 6 − (1,1 + 3,4 + 1,3 + 0) = 6 − 5,8).
Graphe : parabole tournée vers le bas, sommet en t = 1/10, P₀(1/10) = 341/200 ≈ 1,705 ; racines (1 ± √341)/10 ≈ −1,75 et 1,95. Les quatre points (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0) sont proches de la courbe (écarts verticaux 0,1 ou 0,3), de part et d'autre de celle-ci.