نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2017: الرياضيات 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2017, filière TSI (classes préparatoires). Durée : 4 heures, tout matériel électronique (calculatrice comprise) interdit. Deux problèmes indépendants : (1) la somme Σ 1/n² = π²/6 puis l'étude de f(x) = ∫₀^+∞ e^−t/(1 + x²t²) dt ; (2) les fonctions génératrices de variables aléatoires à valeurs dans ℕ, avec une application (jeton + dé tétraédrique). Voici une correction proposée.

💡 Notation : φ_t(x) = e^−t/(1 + x²t²). Les majorations |φ_t′(x)| ≤ te^−t (II.2) et l'inégalité de III.1 servent trois fois (continuité de f, dérivabilité de f, puis la fonction ξ en IV.3) : soignez-les.

Problème 1

Partie I : Σ 1/n² = π²/6

1. Soit p(x) = x²/(2π) − x : p′(x) = x/π − 1, p′(0) = −1, p′(π) = 0, p″ = 1/π. Deux intégrations par parties :
∫₀^π p(x)cos(kx) dx = [p(x)sin(kx)/k]₀^π − (1/k)∫₀^π p′(x)sin(kx) dx = −(1/k)∫₀^π p′(x)sin(kx) dx ;
∫₀^π p′(x)sin(kx) dx = [−p′(x)cos(kx)/k]₀^π + (1/(kπ))∫₀^π cos(kx) dx = −(0 − (−1))/k + 0 = −1/k.
D'où ∫₀^π (x²/(2π) − x)cos(kx) dx = 1/k².

2. (a) Pour x ∈ ]0, π], e^ix ≠ 1. Avec 1 − e^iθ = −2i sin(θ/2)e^iθ/2 :
(1 − e^inx)/(1 − e^ix) = [sin(nx/2)/sin(x/2)] e^i(n−1)x/2 (sin(x/2) ≠ 0). En multipliant par e^ix : e^ix(1 − e^inx)/(1 − e^ix) = [sin(nx/2)/sin(x/2)] e^i(n+1)x/2.

(b) Le membre de gauche est la somme géométrique Σ_k=1ⁿ e^ikx. En prenant la partie réelle : Σ_k=1ⁿ cos(kx) = sin(nx/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2).

3. Par parties (ψ de classe C¹) : ∫₀^π ψ(x)sin(mx) dx = [−ψ(x)cos(mx)/m]₀^π + (1/m)∫₀^π ψ′(x)cos(mx) dx, donc
|∫₀^π ψ(x)sin(mx) dx| ≤ (|ψ(0)| + |ψ(π)| + ∫₀^π|ψ′|)/m → 0 quand m → +∞ (lemme de Riemann-Lebesgue).

4. Sur ]0, π], g est C¹ (quotient de fonctions C¹, sin(x/2) ≠ 0). En 0 : 2sin(x/2) = x − x³/24 + o(x³), donc g(x) = (x/(2π) − 1)·x/(2sin(x/2)) = (x/(2π) − 1)(1 + x²/24 + o(x²)) → −1 = g(0) : g est continue sur [0, π].
Pour x ∈ ]0, π] : g′(x) = [p′(x)·2sin(x/2) − p(x)cos(x/2)]/(4sin²(x/2)). Au voisinage de 0 : p′(x)·2sin(x/2) = −x + x²/π + O(x³) et p(x)cos(x/2) = −x + x²/(2π) + O(x³) ; le numérateur vaut x²/(2π) + O(x³) et le dénominateur ~ x². Donc g′(x) → 1/(2π).
Par le théorème de la limite de la dérivée, g est dérivable en 0, g′(0) = 1/(2π), et g′ est continue en 0 : g est C¹ sur [0, π].

5. (a) Par 2.(b) et sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a − b))/2 : pour x ∈ ]0, π], Σ_k=1ⁿ cos(kx) = sin((2n+1)x/2)/(2sin(x/2)) − 1/2. Avec 1 :
Σ_k=1ⁿ 1/k² = ∫₀^π p(x)Σcos(kx) dx = ∫₀^π g(x)sin((2n+1)x/2) dx − (1/2)∫₀^π p(x) dx
(les intégrandes sont continus sur [0, π] et coïncident sur ]0, π]). Or ∫₀^π p = π²/6 − π²/2 = −π²/3, d'où
Σ_k=1ⁿ 1/k² = π²/6 + ∫₀^π g(x)sin((2n+1)x/2) dx.

(b) Par 3 avec ψ = g (C¹ par 4) et m = (2n+1)/2 → +∞, l'intégrale tend vers 0. Les sommes partielles convergent donc : la série converge et Σ_n≥1 1/n² = π²/6.

Partie II : domaine, limites et continuité de f

1. (a) Pour tout x réel, t ↦ φ_t(x) est continue sur [0, +∞[ et 0 < φ_t(x) ≤ e^−t, intégrable : D_f = ℝ.
(b) φ_t(−x) = φ_t(x) : f est paire.

2. (a) x ↦ φ_t(x) est une fraction rationnelle sans pôle réel, dérivable : φ_t′(x) = −2xt²e^−t/(1 + x²t²)². Avec u = xt ≥ 0 : |φ_t′(x)| = te^−t·2u/(1 + u²)², et 2u ≤ 1 + u², (1 + u²)² ≥ 1 + u², donc 2u/(1 + u²)² ≤ 1 : |φ_t′(x)| ≤ te^−t.

(b) Inégalité des accroissements finis sur le segment d'extrémités x et x + h (inclus dans ℝ⁺) : |φ_t(x + h) − φ_t(x)| ≤ |h|te^−t.

(c) En intégrant : |f(x + h) − f(x)| ≤ |h|∫₀^+∞ te^−t dt = |h| (par parties, ∫₀^+∞ te^−t dt = 1). f est 1-lipschitzienne sur ℝ⁺, donc continue sur ℝ⁺, et par parité continue sur ℝ.

3. Pour 0 ≤ x < y et t > 0 : φ_t(x) > φ_t(y), donc f(x) > f(y) (intégrande continu, positif, non nul). f est strictement décroissante sur ℝ⁺, strictement croissante sur ℝ⁻ (parité), maximum f(0) = ∫₀^+∞ e^−t dt = 1.

4. (a) Pour x > 0, changement de variable u = xt : f(x) = (1/x)∫₀^+∞ e^−u/x/(1 + u²) du.
(b) 0 ≤ f(x) ≤ (1/x)∫₀^+∞ du/(1 + u²) = π/(2x) : lim_+∞ f = 0.

5. (a) Pour u ∈ [0, √x] : e^−√x/x = e^−1/√x ≤ e^−u/x ≤ 1. En multipliant par 1/(1 + u²) et en intégrant : e^−1/√xarctan(√x) ≤ ∫₀^√x e^−u/x/(1 + u²) du ≤ arctan(√x).
(b) Les deux bornes tendent vers π/2 : la limite est π/2.
(c) 0 ≤ ∫_√x^+∞ e^−u/x/(1 + u²) du ≤ ∫_√x^+∞ du/(1 + u²) = π/2 − arctan(√x).
(d) Ce reste tend vers 0, donc ∫₀^+∞ e^−u/x/(1 + u²) du → π/2.
(e) Par 4.(a) : f(x) ~ π/(2x) en +∞.
(f) f est continue et positive sur [0, +∞[, f(x) ~ π/(2x) et ∫₁^+∞ dx/x diverge : par comparaison de fonctions positives, ∫₀^+∞ f(x) dx diverge.

Partie III : dérivabilité de f

1. φ_t(x) = e^−tF(xt) avec F(u) = 1/(1 + u²), donc φ_t″(x) = t²e^−tF″(xt), où F″(u) = (6u² − 2)/(1 + u²)³. On a |F″(u)| ≤ 2 : si 6u² ≥ 2, 6u² − 2 ≤ 2 + 6u² ≤ 2(1 + u²)³ ; sinon |6u² − 2| ≤ 2 ≤ 2(1 + u²)³. Donc |φ_t″| ≤ 2t²e^−t, et l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1 donne
|φ_t(x + h) − φ_t(x) − hφ_t′(x)| ≤ (h²/2)·2t²e^−t. En divisant par |h| : |(φ_t(x + h) − φ_t(x))/h − φ_t′(x)| ≤ |h|t²e^−t.

2. ∫₀^+∞ φ_t′(x) dt converge (|φ_t′(x)| ≤ te^−t). En intégrant 1 en t (∫₀^+∞ t²e^−t dt = 2) :
|(f(x + h) − f(x))/h − ∫₀^+∞ φ_t′(x) dt| ≤ 2|h| → 0. Donc f est dérivable sur ℝ⁺ (à droite en 0) et
f′(x) = ∫₀^+∞ φ_t′(x) dt = −2x∫₀^+∞ t²e^−t/(1 + t²x²)² dt.

3. Remarque : w_n(x) = e^−x/(1 + x²/n²) = φ_x(1/n), donc ∫₀^+∞ w_n(x) dx = f(1/n).
(a) f est continue sur [0, 1/n] et dérivable sur ]0, 1/n[ : par le théorème des accroissements finis, il existe c_n ∈ ]0, 1/n[ tel que f(1/n) − f(0) = (1/n)f′(c_n). Or f(0) = 1 et |f′(c)| ≤ 2c∫₀^+∞ t²e^−t dt = 4c. D'où |∫₀^+∞ w_n(x) dx − 1| ≤ 4c_n/n.
(b) 4c_n/n ≤ 4/n² → 0 : lim ∫₀^+∞ w_n(x) dx = 1.

Partie IV : séries liées à φ_t

1. (a) f est décroissante sur ℝ⁺ : pour k ≥ 1, f(k) ≤ ∫_k−1^k f ≤ f(k − 1). En sommant de k = 1 à n : Σ_k=1ⁿ f(k) ≤ ∫₀ⁿ f ≤ Σ_k=0ⁿ⁻¹ f(k). Donc ∫₀ⁿ f ≤ Σ_k=0ⁿ⁻¹ f(k) ≤ S_n et S_n = f(0) + Σ_k=1ⁿ f(k) ≤ 1 + ∫₀ⁿ f : ∫₀ⁿ f ≤ S_n ≤ 1 + ∫₀ⁿ f.
(b) ∫₀ⁿ f → +∞ (II.5.f, f ≥ 0), donc S_n → +∞ : Σ f(n) diverge.
(c) En divisant par ∫₀ⁿ f > 0 : 1 ≤ S_n/∫₀ⁿ f ≤ 1 + 1/∫₀ⁿ f → 1 : S_n ~ ∫₀ⁿ f(t) dt.

2. v_n = ∫₀^+∞ e⁻¹/(1 + n⁴x²) dx ; avec u = n²x : v_n = (e⁻¹/n²)∫₀^+∞ du/(1 + u²) = π/(2en²). Série de Riemann convergente, et par la partie I :
Σ_n≥1 v_n = (π/(2e))·(π²/6) = π³/(12e).

3. (a) 0 < φ_n(x) = e⁻ⁿ/(1 + x²n²) ≤ e⁻ⁿ, terme général d'une série géométrique convergente : Σ φ_n(x) converge pour tout x.

(b) Par II.2.(b) avec t = n : pour x, x + h ≥ 0, |φ_n(x + h) − φ_n(x)| ≤ |h|ne⁻ⁿ. En sommant : |ξ(x + h) − ξ(x)| ≤ |h|Σ ne⁻ⁿ (série convergente, par exemple par d'Alembert). ξ est lipschitzienne donc continue sur ℝ⁺ ; comme chaque φ_n est paire, ξ est paire : ξ est continue sur ℝ.

(c) Σ φ_n′(x) converge absolument (|φ_n′(x)| ≤ ne⁻ⁿ). Par III.1 avec t = n, en sommant :
|(ξ(x + h) − ξ(x))/h − Σ φ_n′(x)| ≤ |h|Σ n²e⁻ⁿ → 0 (série convergente). Donc ξ est dérivable sur ℝ⁺ (à droite en 0) avec ξ′(x) = Σ φ_n′(x). Pour x < 0, ξ(x) = ξ(−x) donne ξ′(x) = −ξ′(−x) = −Σ φ_n′(−x) = Σ φ_n′(x) (φ_n′ impaire). En 0, la dérivée à droite vaut Σ φ_n′(0) = 0 et, par parité, la dérivée à gauche aussi. ξ est dérivable sur ℝ et ξ′ = Σ_n≥0 φ_n′.

Problème 2 : fonctions génératrices

Partie I

1. Pour |t| ≤ 1 : |t^kP(X = k)| ≤ P(X = k) et Σ P(X = k) = 1 : la série converge absolument. G_X est définie sur [−1, 1] (rayon de convergence ≥ 1).

2. G_X est la somme d'une série entière de rayon R ≥ 1 > 0 ; elle est C^∞ sur ]−R, R[ et ses coefficients sont donnés par a_k = G_X^(k)(0)/k! (dérivation terme à terme). Avec a_k = P(X = k) : G_X^(k)(0) = k!P(X = k). En particulier la fonction génératrice caractérise la loi.

3. (a) Bernoulli : G_X(t) = 1 − p + pt, définie sur ℝ.
(b) Binomiale : G_X(t) = Σ_k=0ⁿ C(n,k)(pt)^k(1 − p)^n−k = (1 − p + pt)ⁿ, définie sur ℝ.
(c) Géométrique (P(X = k) = p(1 − p)^k−1, k ≥ 1, q = 1 − p) : G_X(t) = pt Σ_k≥1 (qt)^k−1 = pt/(1 − qt), définie pour |t| < 1/q (pour |t| ≥ 1/q le terme général ne tend pas vers 0).

4. Pour t ∈ [0, 1[ : (G_X(1) − G_X(t))/(1 − t) = Σ_k≥1 P(X = k)(1 + t + … + t^k−1), et 1 + t + … + t^k−1 croît vers k quand t → 1⁻.
• Pour tout N : Σ_k≤N kP(X = k) = lim_t→1⁻ Σ_k≤N P(X = k)(1 + … + t^k−1) ≤ lim_t→1⁻ (G_X(1) − G_X(t))/(1 − t) = G_X′(1). Les sommes partielles de la série positive Σ kP(X = k) sont bornées : E(X) existe et E(X) ≤ G_X′(1).
• Inversement 1 + … + t^k−1 ≤ k donne (G_X(1) − G_X(t))/(1 − t) ≤ E(X), puis G_X′(1) ≤ E(X). Donc G_X′(1) = E(X).

5. Si R > 1, G_X est C^∞ sur ]−R, R[ ∋ 1, et G_X′(1) = Σ kP(X = k), G_X″(1) = Σ k(k − 1)P(X = k), séries absolument convergentes (1 est intérieur au disque de convergence). Par le théorème de transfert, E(X) = G_X′(1) et E(X(X − 1)) = G_X″(1) existent, donc E(X²) = G_X″(1) + G_X′(1) existe et
V(X) = E(X²) − E(X)² = G_X″(1) + G_X′(1) − (G_X′(1))².

6. Ici R = 1/q > 1. G_X′(t) = p/(1 − qt)², G_X″(t) = 2pq/(1 − qt)³ ; G_X′(1) = 1/p, G_X″(1) = 2q/p². D'où E(X) = 1/p et V(X) = 2q/p² + 1/p − 1/p² = (2q + p − 1)/p², soit V(X) = (1 − p)/p².

7. (a) φ_X(1) = Σ P(X = k) = 1 : ae² = 1, a = e⁻².
(b) φ_X(t) = e^t²−1 = e⁻¹Σ_j≥0 t^2j/j! (rayon infini). Par unicité des coefficients (question 2) : P(X = 2j) = e⁻¹/j! pour j ∈ ℕ, et P(X = 2j + 1) = 0. Autrement dit X = 2Y avec Y de loi de Poisson de paramètre 1.
(c) R = +∞ > 1 : φ_X′(t) = 2te^t²−1, φ_X″(t) = (2 + 4t²)e^t²−1 ; φ_X′(1) = 2, φ_X″(1) = 6. E(X) = 2, V(X) = 6 + 2 − 4 = 4 (cohérent avec E(2Y) = 2, V(2Y) = 4V(Y) = 4).

Partie II

1. Les X_i prennent un nombre fini de valeurs, donc t^X_i aussi, pour tout t réel. Par indépendance, l'espérance d'un produit est le produit des espérances :
G_X1+…+Xk(t) = E(t^X₁⋯t^X_k) = E(t^X₁)⋯E(t^X_k) = G_X(t)^k.

2. (a) Formule des probabilités totales avec le système complet ([N = k])_1≤k≤n (probabilités non nulles) : P(Y = y) = Σ_k P(N = k)P(Y = y | N = k). Donc (sommes finies, on peut les permuter)
E(Y) = Σ_y y Σ_k P(N = k)P(Y = y | N = k) = Σ_k=1ⁿ P(N = k)E(Y | [N = k]).

(b) Sur [N = k], S = X₁ + … + X_k. L'énoncé sous-entend que N est indépendante de (X₁, …, X_n) (c'est le cas dans l'application) ; alors P(S = s | N = k) = P(X₁ + … + X_k = s), et
E(t^S | [N = k]) = E(t^X₁+…+X_k) = G_X^k(t) (question 1).

(c) On applique (a) à Y = t^S (nombre fini de valeurs) : G_S(t) = Σ_k=1ⁿ P(N = k)G_X^k(t).

(d) G_N(u) = Σ_k=1ⁿ P(N = k)u^k ; avec u = G_X(t) : G_S = G_N ∘ G_X.

3. Toutes ces fonctions sont polynomiales (lois finies), donc dérivables, et par 4 de la partie I, E = G′(1). G_S′(t) = G_N′(G_X(t))·G_X′(t) ; en t = 1, G_X(1) = 1, donc G_S′(1) = G_N′(1)G_X′(1) : E(S) = E(N)E(X).

Partie III : application (jeton et dé tétraédrique)

1. (a) Jeton non truqué : P(N = 1) = P(N = 2) = 1/2.

(b) Sachant [N = 1] : S est le résultat d'un lancer, uniforme sur {1, 2, 3, 4} : P(S = s | N = 1) = 1/4.
Sachant [N = 2] : S est la somme de deux lancers indépendants (16 issues équiprobables) :

(c) P(S = s) = (1/2)P(S = s | N = 1) + (1/2)P(S = s | N = 2) :

(total 32/32). E(S) = (4 + 10 + 18 + 28 + 20 + 18 + 14 + 8)/32 = 120/32 = 15/4.
E(S²) = (4 + 20 + 54 + 112 + 100 + 108 + 98 + 64)/32 = 560/32 = 35/2, donc V(S) = 35/2 − 225/16 = 55/16.

2. (a) X est le résultat d'un lancer du dé : loi uniforme sur ⟦1, 4⟧ (m = 4), les lancers X₁, X₂ étant indépendants, de même loi que X et indépendants de N (n = 2).

(b) G_N(u) = (u + u²)/2, G_X(t) = (t + t² + t³ + t⁴)/4, et
G_S(t) = G_N(G_X(t)) = (t + t² + t³ + t⁴)/8 + (t + t² + t³ + t⁴)²/32.

(c) Avec (t + t² + t³ + t⁴)² = t² + 2t³ + 3t⁴ + 4t⁵ + 3t⁶ + 2t⁷ + t⁸ :
G_S(t) = (4t + 5t² + 6t³ + 7t⁴ + 4t⁵ + 3t⁶ + 2t⁷ + t⁸)/32. Les coefficients redonnent la loi de 1.(c).
E(S) = G_S′(1) = G_N′(1)G_X′(1) = (3/2)(5/2) = 15/4.
G_S″(1) = Σ s(s − 1)P(S = s) = (10 + 36 + 84 + 80 + 90 + 84 + 56)/32 = 55/4, donc V(S) = 55/4 + 15/4 − 225/16 = 55/16. On retrouve bien les résultats de 1.(c).