نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2020: الرياضيات - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2020)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- 2020
- عدد الصفحات
- 4
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
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Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle,
de l'Enselgnement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Département de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
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NI 2 0)
CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'Admission dans les Établissements de Formation d'Ingénieurs
et Établissements Assimilés
Épreuve de Mathématiques
Filière : TSI
Durée 4 heures
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Cette épreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de la page de garde
| L'usage de tout document et de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit
| Page de garde
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Concours National Commun - Session 2020 - TSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière TSI,
comporte 3 pages. j :
L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision
des misonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. H convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce sujet est composée de deux exercices et d'un problème indépendants à traiter dans l’ordre souhaité.
1
Le premier exercice est noté sur 4 points sur 20 ; le reste de l'épreuve est noté sur 16 points sur 20.
Exercice 1
Étude d’une équation intégrale
(Noté sur 4 points sur 20)
Soit g : [0,1] — R continue ; on suppose qu’il existe a €]0, 1] tel que :
0
L'objet de l'exercice est de montrer que la fonction و est nulle.
1. Montrer que la fonction و est dérivable sur le segment [0,1] et exprimer sa dérivée.
2. En déduire que la fonction و est de classe C sur le segment [0, 1].
3. On suppose ici que a = 1.
3.1. Montrer que و est solution sur [0,1] d'une équation différentielle linéaire du premier ordre
que l'on déterminera.
3.2. Résoudre l'équation différentielle linéaire ainsi trouvée et montrer que la fonction و est nulle.
Dans la suite, on suppose que a €]0, 1{.
4. Montrer que
5. En déduire que, pour tout k € N. 9 (0) = 0.
6. Montrer que
On pourra user de la formule de Taylor avec reste intégrale.
7. On pose M = sup |g(s)|. Déduire de ce qui précède que
0O‹s‹1
VnEN,Vr 2
8. En déduire que و est la fonction nulle,
; Exercice 2
Etude d’une série entière
On considère la série entière › الاو ا تمه mr er ,'
Epreuve de Mathématiques 1/3 Tournez la page svp :
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Concours National Commun - Session 2020 - TSI
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière 1 ف
020777
Dans la suite de cet exercice, on note
: ل 10 fonctiof de ما variable réelle somme de cette série entière
sur son intervalle ouvert de
convergence.
2. Montrer que la fonc tion f vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre à préciser.
3. Résoudre l'équation différentielle
: linéaire trouvée ci-dessus puis exprimer f sous forme d’une
intégrale faisant interve
nir des fonctions usuelles.
; Problème
À propos de matrices de permutations
Notations
Dans ce problème, K désigne le corps des réels où celni des complexes (K = R ou C) et n un entier
naturel supérieur ou égal à 2. Si p € N°, on note Mn,p(K) l’espace vectoriel des matrices à coefficients
dans K, à n lignes et P colonnes; si p = n, Mn,p(K) est noté simplement Mn(K), c'est l’algèbre des
matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K ; la matrice identité de Myn(K) se note I.
Pour toute matrice A de Mn,p(K), ‘A désigne la matrice transposée de À et rg (A) son rang; si
A € Mn(K). Tr (A) désigne la trace de A, x4 son polynôme caractéristique et A7! représente l'inverse
de À si elle est inversible ; on rappelle que
On note GL,(K) l’ensemble des matrices carrées d'ordre n, inversibles et à coefficients dans بكرا
désigne l’ensemble des bijections de l’ensemble {1,-.,n} sur lui même ; les éléments de Sn s'appellent
aussi des permutations de l’ensemble {1,,nt.
Si 6 € Gp, on note f4 l’endomorphisme du K-espace vectoriel K” défini par :
où B = (c:,...,en) désigne la base canonique عل K”.
De même, on note P, la matrice de Mn (K) définie par :
dite matrice de la permutation 6, où pour tout i, 6101 d;,j est le symbole de Kroneker égal 1
sii= 7 et 0 sinon.
1ère Partie
Étude d’un exemple dans le cas n = 3
On note o € 63 la permutation définie par o = 0 1 ل y cela veut dire que o(1) = 3, o(2)=1 et
1.1. Inversibilité et inverse de P,
1.1.1. Expliciter la matrice P, € M3(R) puis exprimer la matrice de l’endomorphisme fa dans la
base B = (c,, €2,€3) en fonction de P,.
1.1.2. Vérifier que l’endomorphisme fa est bijectif et en déduire que la matrice P, est inversible.
1.1.3. Calculer ‘P, P, et en déduire l'inverse de P,.
1.2. Diagonalisation de P,
1.2.1. Vérifier que P3 = I3.
1.2.2. Montrer alors que la matrice P, est diagonalisable dans Ma3(C).
1.2.3. Calculer les valeurs propres de la matrice P5 ainsi qu’une base de vecteurs propres associées.
Épreuve de Mathématiques 2/3 يج
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| Concours National Commun - Session 2020 - TSI
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1 11 6 : :
1.2.4. On note Q la matrice Q = [1 ; j? | avec ÿj = eF. Montrer que Q est inversible puis
1j j
justifier que la matrice Q-! P, Q est diagonale en précisant ses éléments diagonaux.
2ème Partie
Quelques généralités sur les matrices de permutations
Dans cette partie, » désigne un élément quelconque de ©»
2.1. Inversibilité d’une matrice de permutation
2.1.1. Exprimer la matrice de l’endomorphisme f dans la base B en fonction de la matrice Pa.
2.1.2. Justifier que l’endomorphisme f, est bijectif puis en déduire que la matrice P, est inversible.
2.2. Transposée d’une matrice de permutation
| 2.2.1. Soit (i,j) € {1,..,n}?. Calculer, selon à et j. la valeur de la somme 3, Ok,o(i)0k,0(;)- On
k=1
pourra distinguer les cas i = j et à # j.
2.2.2. En déduire que ‘P, P, = I, puis exprimer l'inverse de la matrice P, en fonction de sa trans-
posée. Que peut-on alors dire de la matrice P,?
2.3. Structure de l’ensemble des matrices de permutations
On note و7 l’ensemble des matrices de permutations de Mn(K) : Pn = {Ps ; 0 € Sn}-
2.3.1. Soient ه et كه deux éléments de 6. Exprimer fa 0 بير en fonction de fgcot puis en déduire que
Po Pat = Pooot.
| 2.3.2. On rappelle que ه ١ désigne l'inverse de la permutation o. Justifier que l'inverse de la matrice
| P, est la matrice P,-1 : أرط = P,-1.
| 3ème Partie
Diagonalisation d’une matrice de permutation d’ordre n
0 1 0 ›. 0
| 001
| On considère la matrice À € Mn(B) définie par A= |: ا 2 2 0
1 0 .… 0 0
3.1. Vérifier que À أي la matrice de M,(R) associée à la permutation م6 € ه définie par :
3.2. Calculer le polynôme caractéristique de À et déterminer ses valeurs propres dans ©.
3.3. Que peut-on alors dire de la matrice À ?
1
نار
3.4. On pose w = ea Ve = uk k€ {0,...,n—1}. Vérifier que, pour tout À € {0,...,n—1},
ln 1)k
١ AV, = اام
3.5. En déduire une base de Mn,1(C) formée de vecteurs propres de la matrice A.
FIN DU SUJET
Épreuve de Mathématiques 3/3 FIN
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✅ التصحيح المقترح
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Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques du Concours National Commun (CNC) 2020, filière TSI, concours d'admission dans les établissements de formation d'ingénieurs. Durée : 4 heures, tout matériel électronique interdit. Il comporte deux exercices et un problème indépendants : l'exercice 1 (équation intégrale) est noté sur 4 points, le reste (exercice 2 sur une série entière + problème sur les matrices de permutation) sur 16 points. Correction proposée :
Exercice 1 — Étude d'une équation intégrale
1. Dérivabilité de g
g est continue sur [0, 1], donc G(x) = ∫0x g(t)dt est C1 sur [0, 1] avec G′ = g. Or g(x) = G(ax) avec ax ∈ [0, 1] : par composition, g est dérivable et g′(x) = a g(ax).
2. g est C∞
Récurrence : si g est Ck, alors x ↦ a g(ax) est Ck, donc g′ est Ck et g est Ck+1. Comme g est C0, g est C∞ sur [0, 1].
3.1. Cas a = 1
g′(x) = g(x) sur [0, 1], et g(0) = ∫00 g = 0 : g est solution de y′ − y = 0 avec y(0) = 0.
3.2.
Les solutions sont x ↦ Cex ; g(0) = 0 impose C = 0, donc g = 0.
4. g(k)(x) = ak(k+1)/2 g(akx)
k = 1 : g′(x) = a g(ax) (question 1). Si c'est vrai au rang k, en dérivant : g(k+1)(x) = ak(k+1)/2 ak g′(akx) = ak(k+1)/2 + k · a g(ak+1x) = a(k+1)(k+2)/2 g(ak+1x), car k(k+1)/2 + k + 1 = (k+1)(k+2)/2.
5. g(k)(0) = 0
g(0) = ∫00 g = 0, et pour k ≥ 1, g(k)(0) = ak(k+1)/2 g(0) = 0.
6. Formule de Taylor
g est Cn+1 : g(x) = Σk=0n g(k)(0)xk/k! + ∫0x (x−t)n/n! g(n+1)(t)dt. La somme est nulle (question 5) et g(n+1)(t) = a(n+1)(n+2)/2 g(an+1t) (question 4), d'où g(x) = a(n+1)(n+2)/2 ∫0x (x−t)n/n! g(an+1t)dt.
7. Majoration
0 < a ≤ 1 donne a(n+1)(n+2)/2 ≤ 1, et an+1t ∈ [0, 1] donne |g(an+1t)| ≤ M. Donc |g(x)| ≤ M ∫0x (x−t)n/n! dt = M xn+1/(n+1)!.
8. Conclusion
Pour x ∈ [0, 1], |g(x)| ≤ M/(n+1)! → 0 quand n → +∞ : g est la fonction nulle.
Exercice 2 — Étude d'une série entière
1. Rayon de convergence
Pour z ≠ 0 : |an+1z2n+3| / |anz2n+1| = |z|²/(2n+3) → 0 < 1. Par la règle de d'Alembert, la série converge pour tout z : R = +∞.
2. Équation différentielle
f(x) = Σ anx2n+1 est dérivable terme à terme sur ℝ : f′(x) = Σ (2n+1)anx2n. Or (2n+1)an = 1/(1·3···(2n−1)) = an−1 pour n ≥ 1, et vaut 1 pour n = 0. Donc f′(x) = 1 + Σn≥1 an−1x2n = 1 + x Σm≥0 amx2m+1, soit
f′(x) − x f(x) = 1, avec f(0) = 0.
3. Résolution
Solutions homogènes : Cex²/2. Variation de la constante : C′(x)ex²/2 = 1, soit C(x) = K + ∫0x e−t²/2dt. Solution générale : y(x) = ex²/2(K + ∫0x e−t²/2dt). La condition f(0) = 0 donne K = 0 :
f(x) = ex²/2 ∫0x e−t²/2dt (contrôle : le développement commence par x + x³/3, comme la série).
Problème — Matrices de permutation
💡 Clé de tout le problème : la j-ième colonne de Pσ = (δi,σ(j)) contient un seul 1, à la ligne σ(j). Autrement dit Pσej = eσ(j).
1.1.1. La matrice Pσ (σ(1) = 3, σ(2) = 1, σ(3) = 2)
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Colonne 1 : 1 en ligne σ(1) = 3 ; colonne 2 : ligne 1 ; colonne 3 : ligne 2. Comme fσ(ej) = eσ(j) est la j-ième colonne de Pσ, MatB(fσ) = Pσ.
1.1.2.
fσ envoie la base (e1, e2, e3) sur (e3, e1, e2), qui est encore une base : fσ est bijectif, donc Pσ est inversible (on peut aussi calculer det Pσ = 1).
1.1.3.
Les colonnes de Pσ sont e3, e1, e2, orthonormées : (ᵗPσPσ)ij = ⟨Ci, Cj⟩ = δij, donc ᵗPσPσ = I3 et
Pσ−1 = ᵗPσ =
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
1.2.1. Pσ3 = I3
Pσ : e1 ↦ e3 ↦ e2 ↦ e1 (cycle de longueur 3). Donc Pσ3ek = ek pour k = 1, 2, 3 : Pσ3 = I3 (par le calcul : Pσ2 = ᵗPσ, puis Pσ3 = PσᵗPσ = I3).
1.2.2. Diagonalisabilité dans M3(ℂ)
X³ − 1 = (X − 1)(X − j)(X − j²) annule Pσ ; il est scindé à racines simples dans ℂ : Pσ est diagonalisable dans M3(ℂ).
1.2.3. Valeurs propres et vecteurs propres
χ(x) = det(xI3 − Pσ) = x · x² − (−1)(0 − 1) = x³ − 1, de racines 1, j, j² (simples). Pσ(x, y, z)ᵀ = (y, z, x)ᵀ ; l'équation = λ(x, y, z)ᵀ donne y = λx, z = λ²x (et x = λ³x, vrai). D'où :
- λ = 1 : u1 = (1, 1, 1)ᵀ ;
- λ = j : u2 = (1, j, j²)ᵀ ;
- λ = j² : u3 = (1, j², j)ᵀ (car j⁴ = j).
(u1, u2, u3) est une base de vecteurs propres (valeurs propres distinctes).
1.2.4. La matrice Q
Les colonnes de Q sont exactement u1, u2, u3, vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, donc libres : Q est inversible (c'est aussi une matrice de Vandermonde de paramètres distincts 1, j, j²). C'est la matrice de passage de la base canonique vers cette base propre :
Q−1PσQ = diag(1, j, j²).
2.1.1.
La j-ième colonne de Pσ a pour coefficients δi,σ(j) : ce sont les coordonnées de eσ(j) = fσ(ej). Donc MatB(fσ) = Pσ.
2.1.2.
σ étant une bijection, (eσ(1), …, eσ(n)) est la base B réordonnée : fσ transforme une base en une base, donc fσ est bijectif et Pσ est inversible.
2.2.1.
δk,σ(i)δk,σ(j) ≠ 0 seulement si k = σ(i) = σ(j). Donc Σk=1n δk,σ(i)δk,σ(j) = δσ(i),σ(j) = 1 si i = j, 0 si i ≠ j (σ injective).
2.2.2.
(ᵗPσPσ)ij = Σk (Pσ)ki(Pσ)kj = Σk δk,σ(i)δk,σ(j) = δij, donc ᵗPσPσ = In et Pσ−1 = ᵗPσ : Pσ est une matrice orthogonale.
2.3.1.
fσ∘fσ′(ek) = fσ(eσ′(k)) = eσ(σ′(k)) = fσ∘σ′(ek) pour tout k : fσ∘fσ′ = fσ∘σ′. En passant aux matrices dans B (2.1.1) : PσPσ′ = Pσ∘σ′.
2.3.2.
PσPσ−1 = Pσ∘σ−1 = Pid = In : Pσ−1 = Pσ−1.
3.1. A est la matrice de σ
La colonne 1 de A a son 1 en ligne n, donc σ(1) = n ; pour j ≥ 2, la colonne j a son 1 en ligne j − 1 (coefficient aj−1,j = 1), donc σ(j) = j − 1. Ainsi A = Pσ.
3.2. Polynôme caractéristique
xIn − A a des x sur la diagonale, des −1 sur la sur-diagonale et −1 en position (n, 1). Développement selon la première colonne :
- terme x · det(triangulaire supérieure de diagonale x) = x · xn−1 = xn ;
- terme (−1) · (−1)n+1 · Δ, où Δ (lignes 1…n−1, colonnes 2…n) est triangulaire inférieure de diagonale −1, Δ = (−1)n−1 : contribution (−1)2n+1 = −1.
χA(x) = xn − 1. Valeurs propres dans ℂ : les racines n-ièmes de l'unité wk = e2ikπ/n, k = 0, …, n − 1.
3.3.
χA est scindé à racines simples sur ℂ (n valeurs propres distinctes) : A est diagonalisable dans Mn(ℂ). (Pour n ≥ 3, A a des valeurs propres non réelles, elle n'est donc pas diagonalisable dans Mn(ℝ) ; pour n = 2, A est diagonalisable sur ℝ, de valeurs propres ±1.)
3.4. AVk = wkVk
Pour un vecteur v, (Av)i = vi+1 si i ≤ n − 1 et (Av)n = v1. Avec (Vk)i = w(i−1)k : (AVk)i = wik = wk·w(i−1)k pour i ≤ n − 1, et (AVk)n = 1 = wnk = wk·w(n−1)k (car wn = 1). Donc AVk = wkVk.
3.5. Base propre
Chaque Vk est non nul (première coordonnée 1), donc vecteur propre pour wk. Les n valeurs propres w0, …, wn−1 sont distinctes, donc la famille (V0, …, Vn−1) est libre ; ayant n vecteurs, c'est une base de Mn,1(ℂ) formée de vecteurs propres de A (la matrice de colonnes Vk est la matrice de Vandermonde de la transformée de Fourier discrète).
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
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